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        一個三角不等式的求解及推廣

        2017-11-01 17:25:24史建軍
        關(guān)鍵詞:邊形平方和四面體

        史建軍

        江蘇省丹陽高級中學(xué) (212300)

        一個三角不等式的求解及推廣

        史建軍

        江蘇省丹陽高級中學(xué) (212300)

        1.問題的提出及求解

        由柯西不等式可知:

        2.問題的變形

        3.問題的推廣

        “=”當(dāng)且僅當(dāng)圓內(nèi)接n邊形A1A2…An為正n邊形時成立.

        圖1

        證明:如圖1,設(shè)圓心為O,連結(jié)A1O,A2O,…,AO,設(shè)∠A1OA2=θ1,∠A2OA3=θ2,…,∠AnOA1=θn,則由余弦定理有

        l21=R2+R2-2R·Rcosθ1,l22=R2+R2-2R·Rcosθ2,…,l2n=R2+R2-2R·Rcosθn.

        引理任意四面體的各棱長平方和不大于其外接球半徑平方的16倍,即:設(shè)四面體ABCD的6條棱長分別為l1,l2,…,l6,外接球半徑為R,則l21+l22+…+l26≤16R2.“=”當(dāng)且僅當(dāng)四面體的重心和外心重合時成立.

        證明:以四面體的外接球球心(外心)為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則各棱長平方和為

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