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        利用函數(shù)零點(diǎn)式妙解一類(lèi)函數(shù)題

        2017-11-01 17:25:24嚴(yán)婷婷陳少春
        關(guān)鍵詞:浙江

        嚴(yán)婷婷 陳少春

        浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

        利用函數(shù)零點(diǎn)式妙解一類(lèi)函數(shù)題

        嚴(yán)婷婷 陳少春

        浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

        函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的核心知識(shí),二次函數(shù)作為眾多函數(shù)里的“明星”備受考試命題者的青睞.最近浙江的??季?、競(jìng)賽卷里頻頻出現(xiàn)一類(lèi)函數(shù)問(wèn)題,筆者發(fā)現(xiàn)如果用二次函數(shù)的零點(diǎn)式去處理,簡(jiǎn)潔明了,事半功倍.

        例1 (2017年浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)f(x)=x2+ax+b在[0,1]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則a2-2b的取值范圍為_(kāi)________.

        例2 (2014年浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知b,c∈R,二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,1)上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求c2+(1+b)c的取值范圍.

        例3 (2017年浙江高考調(diào)測(cè)卷17題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b在(0,1)有兩個(gè)零點(diǎn),3a+b的取值范圍是_________.

        解:設(shè)f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,則0

        例4 (2017年浙江模擬題)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在(0,1)有兩個(gè)零點(diǎn),f(0)·f(1)是正整數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值.

        例7 (2015年浙江高考文數(shù)21題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).

        (2)若函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn),0≤b-2a≤1,求b的取值范圍.

        解:(1)略;

        -3≤b<0.

        例8 (2011年北大保送生試題)設(shè)p、q為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+px+q,如果f(f(x))=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求證:p,q≥0.

        解:由題意知,f(x)=0必有實(shí)數(shù)根,設(shè)f(x)=(x-x1)(x-x2),故f(f(x))=(f(x)-x1)(f(x)-x2).下面用反證法證明x1≤0,x2≤0.不妨設(shè)x1>0,則由二次函數(shù)f(x)=x2+px+q開(kāi)口向上及f(x)=0有實(shí)根知,方程f(x)-x1=0有兩個(gè)不相等實(shí)根t1,t2,即f(x)-x1=(x-t1)(x-t2),所以f(f(x))=(f(x)-x1)(f(x)-x2)=(x-t1)(x-t2)(f(x)-x2)至少有兩個(gè)不相等的實(shí)根,與題設(shè)矛盾.從而p=-(x1+x2)≥0,q=x1x2≥0.

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