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        探析一道解析幾何題的求解策略

        2017-11-01 17:25:24
        中學數(shù)學研究(江西) 2017年10期
        關(guān)鍵詞:解題策略

        虞 懿

        浙江省金華市第六中學 (321000)

        探析一道解析幾何題的求解策略

        虞 懿

        浙江省金華市第六中學 (321000)

        解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何量(性質(zhì)),核心思想是“數(shù)形結(jié)合”.2017年高考浙江卷第21題,保持了浙江卷背景熟悉、入口寬泛、解法多樣的一貫風格,細細品讀深感底蘊純厚,緊扣解析幾何的思想精髓.本文從解決解析幾何問題的核心思想出發(fā),著重探究本題第(Ⅱ)問的求解策略.

        圖1

        一、試題展示

        (Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍;

        (Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值.

        品讀:本題以拋物線為載體,主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、斜率與弦長等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.設(shè)計新穎,構(gòu)思巧妙,耐人尋味,令人賞心悅目,體現(xiàn)了“能力立意”的指導思想,凸顯了數(shù)學試題的選拔功能.

        二、求解策略

        (Ⅱ)策略1:選擇恰當形式,實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

        “幾何量的代數(shù)表示”是解決解幾問題的關(guān)鍵,在本題中的幾何量是“|PA|·|PQ|”,用什么樣的代數(shù)形式來表示這個幾何量?對于弦長問題,很自然地聯(lián)想到圓錐曲線的距離和弦長公式.而在解幾中描述弦長的代數(shù)形式就是點或斜率,由此可想到用點坐標或斜率來表示幾何量“|PA|·|PQ|”.

        解法1:聯(lián)立直線AP與BQ的方程

        評析:聯(lián)立兩相交直線方程求出點Q的坐標,再根據(jù)兩點間的距離公式,以斜率為參變量來表示弦長,建立目標函數(shù).

        評析:涉及弦長的問題,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系,通過設(shè)而不求計算弦長,以求達到簡化運算的目的.

        策略2:借助參數(shù)方程,實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

        評析:利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,避免了繁瑣的計算,使得方程的聯(lián)立簡便易得.

        策略3:回歸向量知識本質(zhì),實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

        向量具有代數(shù)、幾何雙重身份,融數(shù)形于一體,是溝通代數(shù)和幾何的橋梁.它可以將幾何問題坐標化、數(shù)量化,因此它是解決解析幾何問題的重要工具.

        評析:本解法構(gòu)建平面向量,利用數(shù)量積的定義求|PA|·|PQ|,簡潔明了.在探究解題思路時,要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識的聯(lián)系,在平面解析幾何中有關(guān)長度、角度的計算及有關(guān)平行、三點共線、垂直等位置關(guān)系問題都可以用向量知識解決.

        策略4:妙用極化恒等式,實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

        評析:極化恒等式的應(yīng)用,由一般的直接運用到結(jié)合具體問題的巧用,需要學生恰當?shù)剡\用轉(zhuǎn)化思想,注意化動為定,特別是要結(jié)合題中的隱性特征進行轉(zhuǎn)化處理,才能達到事半功倍的效果.

        策略5:利用圓冪定理,實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

        圓冪定理是平面幾何中的一個定理,是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)的統(tǒng)一.例如,如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交于A、B與C、D,則PA·PB=PC·PD.

        圖2

        評析:巧妙利用圓冪定理進行轉(zhuǎn)化,得|PA|·|PQ|=R2-|PC|2,避開求點Q的坐標,從而大大簡化運算,并且后續(xù)化簡也比較方便.

        三、探究感悟

        解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題,在解題過程中,首先要將文字信息、圖形條件進行轉(zhuǎn)換,通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系,將待求的幾何量表示成代數(shù)式,然后進行適當?shù)拇鷶?shù)運算得出代數(shù)結(jié)果,最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題.在這個過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉(zhuǎn)換,因此,我們必須重視對幾何量(關(guān)系)的深入研究,探究用何種代數(shù)形式能恰當表示題目中的幾何量(關(guān)系),同時有利于代數(shù)運算,從而形成正確的解題策略.

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