楊蒼洲
福建省泉州市第七中學 (362000) 林志敏福建省泉州市第五中學 (362000)
一道圓錐曲線試題的背景揭示及推廣
楊蒼洲
福建省泉州市第七中學 (362000) 林志敏福建省泉州市第五中學 (362000)
近年來,高考試題的命制往往具有深刻的高數(shù)背景,起點高落點低,試題設計來源于高等數(shù)學,但是用初等數(shù)學方法來解答,因此挖掘其背景,推廣其結(jié)論很有必要,一方面可以讓學生擺脫題海戰(zhàn)術(shù),另一方面可以把學生的思維引向深處.
圖1
(Ⅰ)求圓G的半徑r;
(Ⅱ)過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點,證明:直線EF與圓G相切.
本題的第(Ⅱ)問是Chasles對應原理的一個應用:
圖2
不相切的兩條圓錐曲線K,K′,從K上一點P0作K′的一條切線,它和K的第二個交點P1.通過P1給出K′的第二條切線,它和K的第二個交點是P2.如此繼續(xù),可以構(gòu)造出鏈P0,P1,P2,...,Pn.
則利用對應原理有:當鏈曾有一次在非平凡的意義下封閉Pn=P0,則不管P0在K上如何選取,鏈都封閉.(如圖2)
反映在本題的第(Ⅱ)問,若某個橢圓內(nèi)接三角形如ΔABC的內(nèi)切圓,則必為該橢圓任一內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓.這里的橢圓和圓可以推廣為任意兩個圓錐曲線,基于難度的控制,一般限制第二條圓錐曲線K′為圓.
(Ⅱ)過橢圓E上任一點P作圓T的兩條切線交橢圓于M,N兩點,則直線MN與圓T相切.
(Ⅱ)設P(acosθ,bsinθ),M(acosα,bsinα),
N(acosβ,bsinβ)(其中θ,α,β∈[0,2π)).
直線PM的方程為(x-acosθ)(bsinθ-bsinα)-(y-bsinθ)(acosθ-acosα)=0?(bsinθ-bsinα)x-(acosθ-acosα)y-ab(sinθcosα-
因為直線PM與圓T相切,得
同理可得(acosθ-rcosθ-t)(acosβ)+
圓心T到直線MN的距離:
故直線MN與圓T相切,結(jié)論成立.
(Ⅱ)過雙曲線E上任一點P作圓T的兩條切線交雙曲線于M,N兩點,則直線MN與圓T相切.
定理3 若圓T:(x-t)2+y2=r2是拋物線E:y2=2px(p>0)的內(nèi)接ΔABC的內(nèi)切圓,其中A為拋物線的頂點,則有
(Ⅰ)r2=2p(t-r);
(Ⅱ)過拋物線E上任一點P作圓T的兩條切線交拋物線E于M,N兩點,則直線MN與圓T相切.
以上兩個定理2、3的證明,可以參考定理1的方法,留給讀者自行完成.
圖3
變式1 如圖3,已知圓C:x2+(y-b)2=R2是拋物線
(Ⅰ)建立b與R滿足的關(guān)系式;
(Ⅱ)證明:過拋物線上的任意一點P(x0,y0),|x0|≠R,都可作拋物線的內(nèi)接ΔPEF,使得圓C為其內(nèi)切圓.
[1]彭世金.對江西卷文科第22題的探究[J].中學數(shù)學研究(江西),2009(11):37-38.
[2][荷]B.L.范德瓦爾登著,李培廉、李喬譯[M].代數(shù)幾何引論,北京:科學出版社,2008.