朱建良
江蘇省太倉市第一中學(xué) (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領(lǐng)銜人
問題引導(dǎo) 關(guān)聯(lián)思考 明晰本質(zhì)
——例說初中數(shù)學(xué)微探究的實(shí)踐與思考
朱建良
江蘇省太倉市第一中學(xué) (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領(lǐng)銜人
初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)微探究主要著力于學(xué)生的學(xué),是一種類似于課題研究的學(xué)習(xí)模式,微探究的教學(xué)目標(biāo)指向培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和探究能力,教師嘗試將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔⑻骄俊比蝿?wù),在問題引導(dǎo)下啟發(fā)學(xué)生主動探究,有效改善傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的缺點(diǎn),基于學(xué)生的親身經(jīng)歷,以疑問激發(fā)他們的求知欲望,優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式和思維品質(zhì),具有提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果和探究能力的功效.
《數(shù)學(xué)課標(biāo)2011版》指出,綜合與實(shí)踐是一類以問題為載體,重視問題情境創(chuàng)設(shè),以學(xué)生主動參與為主的學(xué)習(xí)活動.倡導(dǎo)教師深入用好教材、挖掘教材,并在教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上開發(fā)微探究學(xué)習(xí)實(shí)踐活動,精心設(shè)計一個微探究學(xué)習(xí)內(nèi)容,充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,引導(dǎo)學(xué)生善于思考、樂于探究.筆者以蘇科版九(上)數(shù)學(xué)第二章《圓》第四節(jié)《圓周角(3)——圓內(nèi)接四邊形》為微探究課題,談?wù)勗诮虒W(xué)實(shí)踐中的一些收獲和認(rèn)識,供同行參考.
微探究學(xué)習(xí)內(nèi)容為九(上)蘇科版數(shù)學(xué)§2.4 圓周角(3)——圓的內(nèi)接四邊形,其學(xué)習(xí)目標(biāo)為:(1)掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理.(2)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”的學(xué)習(xí)過程,培養(yǎng)學(xué)生動手操作、自主探索和合作交流的能力.(3)培養(yǎng)學(xué)生合情推理意識,掌握說理的基本方法,滲透從特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
從具體的作四邊形的外接圓的動手操作實(shí)驗(yàn)出發(fā)來設(shè)計微探究學(xué)習(xí)內(nèi)容,類比作三角形外接圓的方法,激發(fā)學(xué)生的思維始終處于積極主動的狀態(tài),通過猜想、發(fā)現(xiàn)與歸納推理,理解數(shù)學(xué)概念.?dāng)?shù)學(xué)概念的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的最好載體,引導(dǎo)學(xué)生理解沒有“過程”就沒有“思想”.
圖1
問題1 (1)過三角形的三個頂點(diǎn)能畫一個圓嗎?為什么?(2) 過三角形的三個頂點(diǎn)這個圓叫什么?這個三角形又稱為什么?(3) 過四邊形的四個頂點(diǎn)能畫一個圓嗎?為什么?(4) 如圖1,已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,請?zhí)骄俊螦與∠C,∠B與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?(說明理由)用幾何語言準(zhǔn)確表述你的發(fā)現(xiàn).
解析:嘗試畫圖實(shí)踐操作入手,類比探究圓內(nèi)接四邊形ABCD性質(zhì),得出∠A+∠C=∠B+∠D=180°的數(shù)量關(guān)系,歸納出“圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”.
設(shè)計意圖:關(guān)注學(xué)生微探究學(xué)習(xí)方式,引導(dǎo)學(xué)生自己經(jīng)歷思考的過程,通過交流合作和動手操作來感悟和體驗(yàn)知識發(fā)生、由來的過程,在學(xué)生親身感受、體驗(yàn)的歷程后,抓住四邊形ABCD與⊙O的位置特征,運(yùn)用合情推理去探索結(jié)論,從“共同特征”中歸納“本質(zhì)特征”,獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).
從簡單的特例出發(fā),尋求圓周角之間的數(shù)量關(guān)系,以數(shù)學(xué)知識的探究過程為學(xué)習(xí)重心,通過學(xué)生獨(dú)立思考發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),設(shè)計動態(tài)變化的微探究問題情境,從本質(zhì)上探究圓周角之間的合理聯(lián)系與邏輯聯(lián)系.
圖2
問題2 如圖2,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠AOC=140°.
求:(1)∠ABC的度數(shù);
(2) ∠OAD+∠OCD的度數(shù).
變式1 (續(xù)問題2)如圖2,若DA=DC,你能求出哪些角的度數(shù)?
變式2 如圖2,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若有ABCO,你能求出哪些角的度數(shù)?
微探究問題設(shè)計基于學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn),言簡意賅,應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)解決問題簡約明了,以特殊圓周角度數(shù)為突破口,幫助學(xué)生快速捕捉、理解有效信息、解決問題.
圖3
解析:(1)連接AC,在等腰ΔDAC中,求出∠DAC=55°,解讀四邊形ACED內(nèi)接于⊙O模型,得∠DAC+∠E=180°,求出∠E=125°.
在圓上增加一動點(diǎn),將圖形變換,一圖多用,一題多變,問題設(shè)置別致精巧,平中見奇,微探究指向培養(yǎng)學(xué)生探究能力,幫助學(xué)生正確理解基本圖形、基本知識,通過特殊圓周角的求解,實(shí)現(xiàn)知識立意到能力立意的轉(zhuǎn)變.
設(shè)計意圖:通過將條件弱化或增強(qiáng),從而轉(zhuǎn)化為微探究新問題,引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行引申、推廣,促使學(xué)生積極思考,尋求最佳的解決思路,積累經(jīng)驗(yàn)方法,培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)的能力.問題2難度較低,為后續(xù)探究做好鋪墊,拓展問題為學(xué)生提供了展示自己智慧的舞臺,使其在新問題情境中探求出解決陌生問題的方法.
構(gòu)建“圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角”幾何模型,聯(lián)系三角形角平分線和三角形相似等相關(guān)性質(zhì),采用類比聯(lián)想的研究方法,及時歸納總結(jié)出解決此類問題的一般方法,幫助學(xué)生在變式的微探究的思考中發(fā)現(xiàn)一類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律,經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的再發(fā)現(xiàn)過程.
圖4
問題3 如圖4,四邊形ABCD內(nèi)接⊙O,DB=DC,∠DAE是四邊形ABCD的一個外角,問∠DAE與∠DAC相等嗎?為什么?
變式1 如圖4,ΔABC內(nèi)接⊙O,AD為ΔABC的外角平分線,交⊙O于D,連接BD、CD,判斷ΔDBC的形狀,并說明理由.
變式2 (續(xù)問題3)如圖5,若AF平分∠BAC,連接DF,問:DF與BC有怎樣的位置關(guān)系?為什么?
解析:通過尋求相等量,巧妙轉(zhuǎn)化,尋求∠DAE=∠DCB=∠DBC,變式1互逆變換問題3的條件
圖5
拓展如圖6,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC、BD相交于點(diǎn)F,BA、CD的延長線交于點(diǎn)E,若CB=CA=AE.
(1)判斷BD是否平分∠EBC,說明理由;(2)若CD=6,BD=8,求DF的長.
圖6
解析:依據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì),尋求等腰ΔACE、ΔCAB角之間數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn),∠CAB=2∠EBD,又∠CAB=
通過變式問題縱向拓展,在編制問題、解決問題、完善問題的系列操作過程中經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用與逐步完善,數(shù)學(xué)微探究過程不止于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程,更在于數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)、思想方法的內(nèi)化和遷移過程,從特殊到一般進(jìn)行探究,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的“火熱思考”,指向解題突破時要回歸到“圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)”的核心概念.
設(shè)計意圖:基于“理解數(shù)學(xué)”的視角,通過將問題設(shè)計成同一模型多個層次的問題串,變式探究,分散難點(diǎn),逐層展開,循序深入,數(shù)學(xué)微探究按圖示方式展開:
真正體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》人人學(xué)有用的數(shù)學(xué),不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的理念.
突出能力培養(yǎng)應(yīng)重視在問題解決中滲透數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的重要目的是積累解題經(jīng)驗(yàn),拓展數(shù)學(xué)思維深度,優(yōu)化解題策略.在思考題中以旋轉(zhuǎn)變換為問題載體,涉及操作不變性思想和分類討論的思想方法,幫助學(xué)生從特殊到一般的角度理解“化動為靜、動靜結(jié)合”的方法.
思考題已知在ΔABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.(1)如圖7①,若AB=6,CD=2,求CE的長;(2)如圖7②,當(dāng)∠A為銳角時,試判斷∠BAC與∠CBE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)圖7②中的邊AB不動,邊AC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠BAC為鈍角時,如圖7③,CA的延長線與⊙O相交于點(diǎn)E,試判斷∠BAC與∠CBE的數(shù)量關(guān)系是否與(2)中你得出的關(guān)系相同.若相同,請加以證明;若不同,請說明理由.
圖7
設(shè)計意圖:“好奇——探究——解題——感悟——創(chuàng)新”是數(shù)學(xué)微探究學(xué)習(xí)的必由之路,以激發(fā)學(xué)生動手操作實(shí)驗(yàn)為主線貫穿整個教學(xué)過程,問題設(shè)計從發(fā)散性視角培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,因材施教,引導(dǎo)學(xué)生在微探究學(xué)習(xí)過程中深層地體會學(xué)習(xí)的樂趣.
課堂教學(xué)中,教師重視微探究學(xué)習(xí)的過程,微探究問題設(shè)計遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,立足于學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平和能力.以開放性、探究性的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、合作發(fā)現(xiàn),幫助學(xué)生正確理解問題,避免出現(xiàn)“只見教師智慧,不見學(xué)生感悟”現(xiàn)象,數(shù)學(xué)微探究對于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識,培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑問難的能力,具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.
教學(xué)微探究是一種行之有效的教學(xué)方法,教師根據(jù)教材特點(diǎn)、學(xué)情設(shè)計微探究內(nèi)容,讓學(xué)生在經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程中,真正理解數(shù)學(xué)知識,內(nèi)化知識結(jié)構(gòu),形成技能,積累方法,獲得數(shù)學(xué)思想方法,通過數(shù)學(xué)微探究的學(xué)習(xí),讓學(xué)生更加有興趣地學(xué)習(xí)知識,提升學(xué)生實(shí)踐動手能力,提高數(shù)學(xué)思維模式的層次,提高教學(xué)效果,真正踐行有效教學(xué).