陳為強(qiáng)
“用字母表示數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的起始課,對于小學(xué)生來說,從具體的、確定的數(shù)過渡到用字母表示抽象的數(shù)、可變的數(shù)(即深刻理解字母既可以表示已知的數(shù)量,又可以表示未知的數(shù)量;字母既可以表示確定的數(shù)量,又可以表示變化的數(shù)量;含有字母的式子既可以表示結(jié)果,又可以表示關(guān)系),這是認(rèn)識上的一次重大轉(zhuǎn)折,更是認(rèn)識上的一次飛躍。因此教師要深度挖掘“用字母表示數(shù)”的數(shù)學(xué)意蘊(yùn),幫助學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,理解從確定到可變,從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注關(guān)系,邁好從算術(shù)思維到代數(shù)思維的關(guān)鍵一步。
一、感受字母“表示” 運(yùn)用的廣泛性
字母在生活中有著廣泛的運(yùn)用,因此要從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)入手,使其感受到字母在生活中的運(yùn)用具有廣泛性,明確生活中“用字母表示”的更多特點(diǎn)是簡潔性。上課伊始,教師詢問學(xué)生是否知道“KFC”店面圖片代表的意思。學(xué)生回答“KFC”是“肯德基”的標(biāo)志。教師緊接著問車牌“蘇C 01765”和英語單詞centimeter和kilogram中英文各代表什么意思?學(xué)生指出車牌中“C”特指江蘇省徐州市,而對于另外兩個(gè)單詞表示的意思不清楚。教師指出centimeter縮寫為cm,代表長度單位厘米后,學(xué)生馬上猜測Kilogram的縮寫是Kg,代表質(zhì)量單位千克。教師肯定學(xué)生的推測后,追問為什么在生活中大家喜歡使用字母來表示。教師在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上總結(jié)用字母表示含義比較固定,書寫簡潔方便。字母在現(xiàn)實(shí)生活中被廣泛使用,這是學(xué)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ),但教師要明確這里的字母有時(shí)會(huì)賦予其 特定的數(shù)值或內(nèi)涵,如撲克牌中的英文字母;有時(shí)字母被看作一個(gè)具體對象的速記,如“KFC”表示“肯德基”;有時(shí)被看作一個(gè)單位名稱的縮寫,如“kg”“km”等。生活中字母表示的內(nèi)涵往往是固定的、約定俗成的,凸顯更多的是字母表示的方便簡潔,落腳點(diǎn)更多是“表示”。
二、感悟字母表示“數(shù)”的概括性
基于學(xué)情和對新知識學(xué)習(xí)障礙的理性分析,教師選擇了最樸素、最簡單的材料作為教具(白、黃、藍(lán)粉筆盒各一個(gè),粉筆若干),以便于學(xué)生能直面數(shù)的狀態(tài),體悟字母表示“數(shù)”的形成過程以及其豐富的內(nèi)涵。在接下來的教學(xué)中,教師取出一個(gè)白粉筆盒,兩次分別放入2支和5支粉筆,學(xué)生明確粉筆支數(shù)分別用數(shù)字2和5來表示。教師接著隱蔽裝進(jìn)若干支粉筆,并讓學(xué)生說明現(xiàn)在盒中粉筆支數(shù)。學(xué)生提出幾種猜想,但不能確定。教師追問:大家前兩次意見比較統(tǒng)一,為什么這次無法確定?學(xué)生指出前兩次他們看見了粉筆盒中放入粉筆的支數(shù),這次放入粉筆的支數(shù)沒讓看到,所以無法確定。教師:既然有那么多種可能,為什么沒有同學(xué)猜測盒子中有200支粉筆呢?學(xué)生闡釋:因?yàn)榉酃P盒的容量有限,根本裝不下。教師追問:盡管盒中粉筆支數(shù)無法確定,但有一定的范圍,它又該怎樣表示?學(xué)生們有的說用“?”表示,有的建議用“□”表示,還有的主張用字母“a”來表示。教師借勢而導(dǎo):這幾種方法都能表示無法確定的數(shù)量,如何表示它,數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)過了上千年,大家猜想數(shù)學(xué)家最終會(huì)選用什么方法?學(xué)生統(tǒng)一意見——用字母表示。教師:對于不能確定的數(shù)可以用字母表示(老師在此粉筆盒上寫上a),這里的a可以代表哪些數(shù),用a來表示有什么優(yōu)勢?學(xué)生踴躍表達(dá):字母a代表的數(shù)很多,包括粉筆盒中能裝下粉筆的支數(shù),它能把多種情況全部囊括,尤其當(dāng)數(shù)目不能確定時(shí),用它更合適。教師再追問:粉筆支數(shù)a與長度單位cm都用字母表示,有何不同?學(xué)生明確字母a表示粉筆的支數(shù),是一個(gè)在一定范圍內(nèi)不確定的數(shù),除了可用字母a表示之外,還可用其他字母表示;用cm表示的是厘米這個(gè)長度單位,是一種簡寫,并且單位名稱的縮寫往往是固定的。教師順勢總結(jié)這里面用字母表示的是數(shù),一個(gè)不確定的數(shù)。
由于粉筆盒不帶有情境因素,因而很快就將學(xué)生的思考聚焦到數(shù)的表示上,當(dāng)學(xué)生看見教師向粉筆盒放粉筆時(shí),數(shù)是確定的、唯一的,可以用數(shù)字來表示數(shù);當(dāng)學(xué)生看不到放入粉筆的支數(shù)時(shí),用數(shù)字就無法表示不確定的數(shù),從而產(chǎn)生一種表征不確定的數(shù)的需要,這樣用字母表示數(shù)像呼吸一樣自然產(chǎn)生,讓學(xué)生體驗(yàn)到用字母表示數(shù)的必要性和概括性,完成字母表示數(shù)從“個(gè)”到“類”的提升。同時(shí)在粉筆盒容量的大小中,教師也幫助學(xué)生理解字母表示的數(shù)有時(shí)候是有一定范圍的。通過生活中的用字母表示和粉筆盒中粉筆的支數(shù)用字母表示這兩類字母內(nèi)涵的對比,學(xué)生在交流中感悟到它們內(nèi)涵本質(zhì)的不同,明晰用字母表示的數(shù)是不確定的、是未知的,是一種對特定數(shù)的描述,其根本在于數(shù),數(shù)發(fā)生變化了,所以表示數(shù)的方法也跟著發(fā)生變化,學(xué)生在順應(yīng)中實(shí)現(xiàn)用數(shù)字表示確定數(shù)到用字母表示不確定數(shù)的轉(zhuǎn)變,符號意識得到培養(yǎng),代數(shù)意識開始萌芽。
三、體悟“字母式”表示的優(yōu)越性
通過直抵?jǐn)?shù)學(xué)本質(zhì)的操作和思維碰撞,學(xué)生感悟到用字母表示數(shù)中的數(shù)的變化,領(lǐng)悟“用字母表示數(shù)”外延的豐富性,但學(xué)生常常對字母式與字母在表示數(shù)的優(yōu)、缺點(diǎn)上理解的不深刻,不能感悟出字母表達(dá)式對于關(guān)系、結(jié)構(gòu)的關(guān)照,教師可讓學(xué)生在對比中體會(huì)字母式表示的優(yōu)越性。教師拿出一個(gè)放了粉筆的黃色粉筆盒問,這盒內(nèi)粉筆的支數(shù)又該如何表示?一生主張用字母a表示,另一生反駁:白粉筆盒中粉筆的支數(shù)已用字母a表示了,此處不能再用a表示了,否則就區(qū)別不出a代表哪盒粉筆的支數(shù),粉筆盒不同,粉筆支數(shù)也不一定相同,可以用其余字母來表示。通過爭辯學(xué)生明晰兩個(gè)盒中的粉筆支數(shù)可能不同,最好用不同字母表示。(教師在黃色粉筆盒上標(biāo)注字母b。)教師問:用a和b分別表示白色、黃色粉筆盒中粉筆的支數(shù),如果再增加一個(gè)信息,黃粉筆盒比白粉筆盒多3支,那么a、b大小之間的關(guān)系能確定嗎?能舉例嗎?學(xué)生說明:比如a小于b,表示如果白粉筆盒中有10支,那么黃粉筆盒的支數(shù)就是13支。教師趁勢追問:這位同學(xué)使用了一組關(guān)聯(lián)詞語,它有什么好處?學(xué)生回答:使用“如果……就……”關(guān)聯(lián)詞的好處是如果a確定,b也隨之確定,如果a發(fā)生變化,b也隨之發(fā)生變化,但是黃粉筆盒比白粉盒多的支數(shù)沒有變化——還是3支。
上述教學(xué),既及時(shí)鞏固了學(xué)生用剛剛學(xué)到的知識解決新問題——用字母表示黃粉筆盒中粉筆的支數(shù),同時(shí)又補(bǔ)充條件,將兩盒中粉筆的支數(shù)進(jìn)行溝聯(lián),溝通兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,確定了兩個(gè)數(shù)量之間的特定關(guān)聯(lián)性。通過學(xué)生列舉數(shù)據(jù),將靜止的數(shù)學(xué)變得思維涌動(dòng),將學(xué)生孤立、靜止的認(rèn)識引向全面和運(yùn)動(dòng),在列舉數(shù)據(jù)的過程中學(xué)生體悟到一個(gè)數(shù)量變化,另一個(gè)數(shù)量相應(yīng)地隨之變化,但保持不變是這兩個(gè)數(shù)量之間的差,代數(shù)思維中的函數(shù)思想得到了初步滲透。endprint
用含有字母的代數(shù)式既能表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,也能表示運(yùn)算結(jié)果,比較而言,后者學(xué)生理解起來比較困難,于是教師這樣教學(xué)。教師:大家剛舉了許多例子,老師也想舉一個(gè),你能猜出來嗎?學(xué)生表示有多種可能,不能保證一定猜對。教師:大家猜不出我的例子,但我卻能“猜出”你們所有人舉的例子(板書a+3),大家隨意舉例驗(yàn)證是否正確?(學(xué)生舉例驗(yàn)證。)教師追問:現(xiàn)在黃粉筆盒中的粉筆數(shù)有了兩種表示方法b和a+3,哪種方法更好?為什么?師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用a+3表示的優(yōu)勢,不僅看出黃粉筆盒中粉筆的支數(shù)比白粉筆盒中的支數(shù)多3支,而且還知道只要明確a的數(shù)量,就能求出黃粉筆盒中粉筆的支數(shù),逐步感悟出a+3不僅能表示出兩盒粉筆中支數(shù)的關(guān)系,還能表示黃粉筆盒中粉筆的數(shù)量,如果用b來表示,則無法確定a與b之間的大小關(guān)系。教師歸納字母式不僅能表示兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系,還可以表示黃粉筆盒中粉筆的支數(shù)。
上述教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生依據(jù)教師增補(bǔ)的條件輕松地舉例,而這些例子為學(xué)生下一步的對比和感悟提供了材料。教師一句“你們猜不出我的例子,但我卻能‘猜出你們所有人舉的例子”激起學(xué)生的認(rèn)知興趣,也激發(fā)新知識學(xué)習(xí)的需求。而用a+3這一簡單的字母表達(dá)式與學(xué)生之前例舉的大量例子形成強(qiáng)烈的對比,使學(xué)生感受到字母表達(dá)式形式上的簡約性和外延的豐富性,感悟到字母表達(dá)式的優(yōu)勢與內(nèi)涵,而a+3本身,既表示兩個(gè)數(shù)作加法運(yùn)算,又表示a+3的結(jié)果,學(xué)生在此過程中經(jīng)歷了“縮略”代數(shù)形成的過程,體悟到雖然字母表示的是未知的、不確定的數(shù),但含有字母的式子,卻能較好反映兩個(gè)數(shù)量之間特有的關(guān)聯(lián)性,表示出對數(shù)量關(guān)系的一種確定。學(xué)生深層次明晰a+3本身既可以看作運(yùn)算過程,又可以看作運(yùn)算結(jié)果,初步了解到代數(shù)思維既包括過程性,又體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)性的特征。
四、體驗(yàn)“字母”表示的相對性
從用字母表示確定的數(shù)到用字母表示不確定的數(shù)是學(xué)生代數(shù)思維的第一次提升,引導(dǎo)學(xué)生用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系,從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)了代數(shù)思維的第二次提升,但如果僅僅到此為止,學(xué)生代數(shù)意識的培養(yǎng)還是有所欠缺,為了充分打破學(xué)生算術(shù)思維的藩籬,教師可引領(lǐng)學(xué)生感悟 “用字母表示數(shù)”的相對性,樹立辯證意識和標(biāo)準(zhǔn)意識,如此學(xué)生才能觸摸到代數(shù)思維的本質(zhì),感受代數(shù)思維內(nèi)在文化特質(zhì),領(lǐng)悟其特有的理性精神。教師特意這樣教學(xué):白粉筆盒的粉筆支數(shù)為a,黃粉筆盒的粉筆的支數(shù)為a+3,現(xiàn)在還有一個(gè)藍(lán)粉筆盒的支數(shù)為a-1,那么黃色和藍(lán)色兩個(gè)粉筆盒中粉筆的支數(shù)有什么關(guān)系?學(xué)生推測藍(lán)色比黃色盒中粉筆的支數(shù)少4支。教師設(shè)問:如果藍(lán)盒粉筆支數(shù)為a,那么另外兩盒中粉筆的支數(shù)呢?學(xué)生推測若藍(lán)盒粉筆的支數(shù)為a,那白盒粉筆的支數(shù)為a+1,黃盒粉筆的支數(shù)為a+4。教師引導(dǎo)學(xué)生辨析同樣是黃盒粉筆的支數(shù),為何有時(shí)用a+3表示,有時(shí)用a+4來表示?學(xué)生發(fā)現(xiàn)a表示的數(shù)目不同,所以表示黃盒的支數(shù)也就不同,但三個(gè)盒子中粉筆支數(shù)之間的相差關(guān)系是無法改變的。上述教學(xué)主要滲透了標(biāo)準(zhǔn)不同,造成表示同一個(gè)事物數(shù)量的算式也不同,引導(dǎo)學(xué)生注意到用字母表示數(shù)還要關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)量這一要素,巧妙樹立標(biāo)準(zhǔn)量的意識,同時(shí)在變化中尋找不變,相機(jī)滲透辯證思想。
五、明確字母“乘法”運(yùn)算簡寫的合理性
對“數(shù)與字母、字母與字母相乘,乘號可以省略”這一規(guī)定性的內(nèi)容,教師要深挖教材,引導(dǎo)學(xué)生理解這一規(guī)定存在的合理性,理解任何數(shù)學(xué)規(guī)定都有其背后的道理,培養(yǎng)其質(zhì)疑能力,發(fā)展其理性觀念。在本節(jié)課課尾,教師引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑:大家通過數(shù)學(xué)閱讀已知“數(shù)與字母、字母與字母相乘,乘號可以省略”這一規(guī)定,對于這一規(guī)定你有什么疑問嗎?一位學(xué)生不明白為什么“數(shù)與字母、字母與字母相乘,乘號可以省略,其他運(yùn)算卻不能省略?”教師啟發(fā):學(xué)貴有疑,想一想是什么原因?另一生指出:可以舉例如5÷a,5-a,5+a,如果也把運(yùn)算符號省略的話,都寫成5a這一形式,反過來我們碰到5a時(shí),就不能辨別5a代表是哪種運(yùn)算。又一生補(bǔ)充:如果把數(shù)字與數(shù)字之間的乘號省略也會(huì)出現(xiàn)問題,例如6×6,如果中間的乘號省略,就變成了66,與兩位數(shù)66就混為一談了,看來“數(shù)與字母、字母與字母相乘,乘號可以省略”這樣的數(shù)學(xué)規(guī)定是有一定道理的,既能達(dá)到簡寫的目的,又能避免出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。在這個(gè)教學(xué)片段中,學(xué)生質(zhì)疑,自我釋疑,通過火熱的思考感悟到數(shù)學(xué)規(guī)定不是冷冰冰的,而是存在著“脈脈溫情”,教師引導(dǎo)學(xué)生明晰這樣規(guī)定的道理,也就是我們常說的讓學(xué)生不僅知其然,還要知其所以然,感悟數(shù)學(xué)是講“理”的,當(dāng)學(xué)生明白其中隱藏道理后,才能夠把知識看清、看明、看透。在一定意義上說,唯有學(xué)生對于知識“入木三分”地理解,才能對于知識“入骨三分”地掌握。
[責(zé)任編輯:陳國慶]endprint