陳為強(qiáng)

“用字母表示數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的起始課，對于小學(xué)生來說，從具體的、確定的數(shù)過渡到用字母表示抽象的數(shù)、可變的數(shù)（即深刻理解字母既可以表示已知的數(shù)量，又可以表示未知的數(shù)量；字母既可以表示確定的數(shù)量，又可以表示變化的數(shù)量；含有字母的式子既可以表示結(jié)果，又可以表示關(guān)系），這是認(rèn)識(shí)上的一次重大轉(zhuǎn)折，更是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。因此教師要深度挖掘“用字母表示數(shù)”的數(shù)學(xué)意蘊(yùn)，幫助學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，理解從確定到可變，從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注關(guān)系，邁好從算術(shù)思維到代數(shù)思維的關(guān)鍵一步。

一、感受字母“表示” 運(yùn)用的廣泛性

字母在生活中有著廣泛的運(yùn)用，因此要從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)入手，使其感受到字母在生活中的運(yùn)用具有廣泛性，明確生活中“用字母表示”的更多特點(diǎn)是簡潔性。上課伊始，教師詢問學(xué)生是否知道“KFC”店面圖片代表的意思。學(xué)生回答“KFC”是“肯德基”的標(biāo)志。教師緊接著問車牌“蘇C 01765”和英語單詞centimeter和kilogram中英文各代表什么意思？學(xué)生指出車牌中“C”特指江蘇省徐州市，而對于另外兩個(gè)單詞表示的意思不清楚。教師指出centimeter縮寫為cm，代表長度單位厘米后，學(xué)生馬上猜測Kilogram的縮寫是Kg，代表質(zhì)量單位千克。教師肯定學(xué)生的推測后，追問為什么在生活中大家喜歡使用字母來表示。教師在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上總結(jié)用字母表示含義比較固定，書寫簡潔方便。字母在現(xiàn)實(shí)生活中被廣泛使用，這是學(xué)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，但教師要明確這里的字母有時(shí)會(huì)賦予其 特定的數(shù)值或內(nèi)涵，如撲克牌中的英文字母；有時(shí)字母被看作一個(gè)具體對象的速記，如“KFC”表示“肯德基”；有時(shí)被看作一個(gè)單位名稱的縮寫，如“kg”“km”等。生活中字母表示的內(nèi)涵往往是固定的、約定俗成的，凸顯更多的是字母表示的方便簡潔，落腳點(diǎn)更多是“表示”。

二、感悟字母表示“數(shù)”的概括性

基于學(xué)情和對新知識(shí)學(xué)習(xí)障礙的理性分析，教師選擇了最樸素、最簡單的材料作為教具（白、黃、藍(lán)粉筆盒各一個(gè)，粉筆若干），以便于學(xué)生能直面數(shù)的狀態(tài)，體悟字母表示“數(shù)”的形成過程以及其豐富的內(nèi)涵。在接下來的教學(xué)中，教師取出一個(gè)白粉筆盒，兩次分別放入2支和5支粉筆，學(xué)生明確粉筆支數(shù)分別用數(shù)字2和5來表示。教師接著隱蔽裝進(jìn)若干支粉筆，并讓學(xué)生說明現(xiàn)在盒中粉筆支數(shù)。學(xué)生提出幾種猜想，但不能確定。教師追問：大家前兩次意見比較統(tǒng)一，為什么這次無法確定？學(xué)生指出前兩次他們看見了粉筆盒中放入粉筆的支數(shù)，這次放入粉筆的支數(shù)沒讓看到，所以無法確定。教師：既然有那么多種可能，為什么沒有同學(xué)猜測盒子中有200支粉筆呢？學(xué)生闡釋：因?yàn)榉酃P盒的容量有限，根本裝不下。教師追問：盡管盒中粉筆支數(shù)無法確定，但有一定的范圍，它又該怎樣表示？學(xué)生們有的說用“？”表示，有的建議用“□”表示，還有的主張用字母“a”來表示。教師借勢而導(dǎo)：這幾種方法都能表示無法確定的數(shù)量，如何表示它，數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)過了上千年，大家猜想數(shù)學(xué)家最終會(huì)選用什么方法？學(xué)生統(tǒng)一意見——用字母表示。教師：對于不能確定的數(shù)可以用字母表示（老師在此粉筆盒上寫上a），這里的a可以代表哪些數(shù)，用a來表示有什么優(yōu)勢？學(xué)生踴躍表達(dá)：字母a代表的數(shù)很多，包括粉筆盒中能裝下粉筆的支數(shù)，它能把多種情況全部囊括，尤其當(dāng)數(shù)目不能確定時(shí)，用它更合適。教師再追問：粉筆支數(shù)a與長度單位cm都用字母表示，有何不同？學(xué)生明確字母a表示粉筆的支數(shù)，是一個(gè)在一定范圍內(nèi)不確定的數(shù)，除了可用字母a表示之外，還可用其他字母表示；用cm表示的是厘米這個(gè)長度單位，是一種簡寫，并且單位名稱的縮寫往往是固定的。教師順勢總結(jié)這里面用字母表示的是數(shù)，一個(gè)不確定的數(shù)。

由于粉筆盒不帶有情境因素，因而很快就將學(xué)生的思考聚焦到數(shù)的表示上，當(dāng)學(xué)生看見教師向粉筆盒放粉筆時(shí)，數(shù)是確定的、唯一的，可以用數(shù)字來表示數(shù)；當(dāng)學(xué)生看不到放入粉筆的支數(shù)時(shí)，用數(shù)字就無法表示不確定的數(shù)，從而產(chǎn)生一種表征不確定的數(shù)的需要，這樣用字母表示數(shù)像呼吸一樣自然產(chǎn)生，讓學(xué)生體驗(yàn)到用字母表示數(shù)的必要性和概括性，完成字母表示數(shù)從“個(gè)”到“類”的提升。同時(shí)在粉筆盒容量的大小中，教師也幫助學(xué)生理解字母表示的數(shù)有時(shí)候是有一定范圍的。通過生活中的用字母表示和粉筆盒中粉筆的支數(shù)用字母表示這兩類字母內(nèi)涵的對比，學(xué)生在交流中感悟到它們內(nèi)涵本質(zhì)的不同，明晰用字母表示的數(shù)是不確定的、是未知的，是一種對特定數(shù)的描述，其根本在于數(shù)，數(shù)發(fā)生變化了，所以表示數(shù)的方法也跟著發(fā)生變化，學(xué)生在順應(yīng)中實(shí)現(xiàn)用數(shù)字表示確定數(shù)到用字母表示不確定數(shù)的轉(zhuǎn)變，符號(hào)意識(shí)得到培養(yǎng)，代數(shù)意識(shí)開始萌芽。

三、體悟“字母式”表示的優(yōu)越性

通過直抵?jǐn)?shù)學(xué)本質(zhì)的操作和思維碰撞，學(xué)生感悟到用字母表示數(shù)中的數(shù)的變化，領(lǐng)悟“用字母表示數(shù)”外延的豐富性，但學(xué)生常常對字母式與字母在表示數(shù)的優(yōu)、缺點(diǎn)上理解的不深刻，不能感悟出字母表達(dá)式對于關(guān)系、結(jié)構(gòu)的關(guān)照，教師可讓學(xué)生在對比中體會(huì)字母式表示的優(yōu)越性。教師拿出一個(gè)放了粉筆的黃色粉筆盒問，這盒內(nèi)粉筆的支數(shù)又該如何表示？一生主張用字母a表示，另一生反駁：白粉筆盒中粉筆的支數(shù)已用字母a表示了，此處不能再用a表示了，否則就區(qū)別不出a代表哪盒粉筆的支數(shù)，粉筆盒不同，粉筆支數(shù)也不一定相同，可以用其余字母來表示。通過爭辯學(xué)生明晰兩個(gè)盒中的粉筆支數(shù)可能不同，最好用不同字母表示。（教師在黃色粉筆盒上標(biāo)注字母b。）教師問：用a和b分別表示白色、黃色粉筆盒中粉筆的支數(shù)，如果再增加一個(gè)信息，黃粉筆盒比白粉筆盒多3支，那么a、b大小之間的關(guān)系能確定嗎？能舉例嗎？學(xué)生說明：比如a小于b，表示如果白粉筆盒中有10支，那么黃粉筆盒的支數(shù)就是13支。教師趁勢追問：這位同學(xué)使用了一組關(guān)聯(lián)詞語，它有什么好處？學(xué)生回答：使用“如果……就……”關(guān)聯(lián)詞的好處是如果a確定，b也隨之確定，如果a發(fā)生變化，b也隨之發(fā)生變化，但是黃粉筆盒比白粉盒多的支數(shù)沒有變化——還是3支。

上述教學(xué)，既及時(shí)鞏固了學(xué)生用剛剛學(xué)到的知識(shí)解決新問題——用字母表示黃粉筆盒中粉筆的支數(shù)，同時(shí)又補(bǔ)充條件，將兩盒中粉筆的支數(shù)進(jìn)行溝聯(lián)，溝通兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，確定了兩個(gè)數(shù)量之間的特定關(guān)聯(lián)性。通過學(xué)生列舉數(shù)據(jù)，將靜止的數(shù)學(xué)變得思維涌動(dòng)，將學(xué)生孤立、靜止的認(rèn)識(shí)引向全面和運(yùn)動(dòng)，在列舉數(shù)據(jù)的過程中學(xué)生體悟到一個(gè)數(shù)量變化，另一個(gè)數(shù)量相應(yīng)地隨之變化，但保持不變是這兩個(gè)數(shù)量之間的差，代數(shù)思維中的函數(shù)思想得到了初步滲透。endprint

用含有字母的代數(shù)式既能表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，也能表示運(yùn)算結(jié)果，比較而言，后者學(xué)生理解起來比較困難，于是教師這樣教學(xué)。教師：大家剛舉了許多例子，老師也想舉一個(gè)，你能猜出來嗎？學(xué)生表示有多種可能，不能保證一定猜對。教師：大家猜不出我的例子，但我卻能“猜出”你們所有人舉的例子（板書a+3），大家隨意舉例驗(yàn)證是否正確？（學(xué)生舉例驗(yàn)證。）教師追問：現(xiàn)在黃粉筆盒中的粉筆數(shù)有了兩種表示方法b和a+3，哪種方法更好？為什么？師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用a+3表示的優(yōu)勢，不僅看出黃粉筆盒中粉筆的支數(shù)比白粉筆盒中的支數(shù)多3支，而且還知道只要明確a的數(shù)量，就能求出黃粉筆盒中粉筆的支數(shù)，逐步感悟出a+3不僅能表示出兩盒粉筆中支數(shù)的關(guān)系，還能表示黃粉筆盒中粉筆的數(shù)量，如果用b來表示，則無法確定a與b之間的大小關(guān)系。教師歸納字母式不僅能表示兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系，還可以表示黃粉筆盒中粉筆的支數(shù)。

上述教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生依據(jù)教師增補(bǔ)的條件輕松地舉例，而這些例子為學(xué)生下一步的對比和感悟提供了材料。教師一句“你們猜不出我的例子，但我卻能‘猜出你們所有人舉的例子”激起學(xué)生的認(rèn)知興趣，也激發(fā)新知識(shí)學(xué)習(xí)的需求。而用a+3這一簡單的字母表達(dá)式與學(xué)生之前例舉的大量例子形成強(qiáng)烈的對比，使學(xué)生感受到字母表達(dá)式形式上的簡約性和外延的豐富性，感悟到字母表達(dá)式的優(yōu)勢與內(nèi)涵，而a+3本身，既表示兩個(gè)數(shù)作加法運(yùn)算，又表示a+3的結(jié)果，學(xué)生在此過程中經(jīng)歷了“縮略”代數(shù)形成的過程，體悟到雖然字母表示的是未知的、不確定的數(shù)，但含有字母的式子，卻能較好反映兩個(gè)數(shù)量之間特有的關(guān)聯(lián)性，表示出對數(shù)量關(guān)系的一種確定。學(xué)生深層次明晰a+3本身既可以看作運(yùn)算過程，又可以看作運(yùn)算結(jié)果，初步了解到代數(shù)思維既包括過程性，又體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)性的特征。

四、體驗(yàn)“字母”表示的相對性

從用字母表示確定的數(shù)到用字母表示不確定的數(shù)是學(xué)生代數(shù)思維的第一次提升，引導(dǎo)學(xué)生用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)思維的第二次提升，但如果僅僅到此為止，學(xué)生代數(shù)意識(shí)的培養(yǎng)還是有所欠缺，為了充分打破學(xué)生算術(shù)思維的藩籬，教師可引領(lǐng)學(xué)生感悟 “用字母表示數(shù)”的相對性，樹立辯證意識(shí)和標(biāo)準(zhǔn)意識(shí)，如此學(xué)生才能觸摸到代數(shù)思維的本質(zhì)，感受代數(shù)思維內(nèi)在文化特質(zhì)，領(lǐng)悟其特有的理性精神。教師特意這樣教學(xué)：白粉筆盒的粉筆支數(shù)為a，黃粉筆盒的粉筆的支數(shù)為a+3，現(xiàn)在還有一個(gè)藍(lán)粉筆盒的支數(shù)為a-1，那么黃色和藍(lán)色兩個(gè)粉筆盒中粉筆的支數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生推測藍(lán)色比黃色盒中粉筆的支數(shù)少4支。教師設(shè)問：如果藍(lán)盒粉筆支數(shù)為a，那么另外兩盒中粉筆的支數(shù)呢？學(xué)生推測若藍(lán)盒粉筆的支數(shù)為a，那白盒粉筆的支數(shù)為a+1，黃盒粉筆的支數(shù)為a+4。教師引導(dǎo)學(xué)生辨析同樣是黃盒粉筆的支數(shù)，為何有時(shí)用a+3表示，有時(shí)用a+4來表示？學(xué)生發(fā)現(xiàn)a表示的數(shù)目不同，所以表示黃盒的支數(shù)也就不同，但三個(gè)盒子中粉筆支數(shù)之間的相差關(guān)系是無法改變的。上述教學(xué)主要滲透了標(biāo)準(zhǔn)不同，造成表示同一個(gè)事物數(shù)量的算式也不同，引導(dǎo)學(xué)生注意到用字母表示數(shù)還要關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)量這一要素，巧妙樹立標(biāo)準(zhǔn)量的意識(shí)，同時(shí)在變化中尋找不變，相機(jī)滲透辯證思想。

五、明確字母“乘法”運(yùn)算簡寫的合理性

對“數(shù)與字母、字母與字母相乘，乘號(hào)可以省略”這一規(guī)定性的內(nèi)容，教師要深挖教材，引導(dǎo)學(xué)生理解這一規(guī)定存在的合理性，理解任何數(shù)學(xué)規(guī)定都有其背后的道理，培養(yǎng)其質(zhì)疑能力，發(fā)展其理性觀念。在本節(jié)課課尾，教師引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：大家通過數(shù)學(xué)閱讀已知“數(shù)與字母、字母與字母相乘，乘號(hào)可以省略”這一規(guī)定，對于這一規(guī)定你有什么疑問嗎？一位學(xué)生不明白為什么“數(shù)與字母、字母與字母相乘，乘號(hào)可以省略，其他運(yùn)算卻不能省略？”教師啟發(fā)：學(xué)貴有疑，想一想是什么原因？另一生指出：可以舉例如5÷a，5-a，5+a，如果也把運(yùn)算符號(hào)省略的話，都寫成5a這一形式，反過來我們碰到5a時(shí)，就不能辨別5a代表是哪種運(yùn)算。又一生補(bǔ)充：如果把數(shù)字與數(shù)字之間的乘號(hào)省略也會(huì)出現(xiàn)問題，例如6×6，如果中間的乘號(hào)省略，就變成了66，與兩位數(shù)66就混為一談了，看來“數(shù)與字母、字母與字母相乘，乘號(hào)可以省略”這樣的數(shù)學(xué)規(guī)定是有一定道理的，既能達(dá)到簡寫的目的，又能避免出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。在這個(gè)教學(xué)片段中，學(xué)生質(zhì)疑，自我釋疑，通過火熱的思考感悟到數(shù)學(xué)規(guī)定不是冷冰冰的，而是存在著“脈脈溫情”，教師引導(dǎo)學(xué)生明晰這樣規(guī)定的道理，也就是我們常說的讓學(xué)生不僅知其然，還要知其所以然，感悟數(shù)學(xué)是講“理”的，當(dāng)學(xué)生明白其中隱藏道理后，才能夠把知識(shí)看清、看明、看透。在一定意義上說，唯有學(xué)生對于知識(shí)“入木三分”地理解，才能對于知識(shí)“入骨三分”地掌握。

[責(zé)任編輯：陳國慶]endprint