吳朝陽,數(shù)學(xué)博士,歷史學(xué)博士,計算機科學(xué)碩士,目前任教于南京大學(xué)。
“阿尚,1加2等于幾?”“5啦。拜托——人家開學(xué)就3年級了。”“好吧,那4加5加6等于多少?”“很簡單,等于15?!薄盀槭裁床徽f等于7加8呢?”“哦,真的是噢?!薄鞍⑸校悄阏f9加10加11加12等于多少?”“那就等于13加14加15嘍?!?/p>
在去瑞士的大巴上與小侄子的這段對話,引出的是如下一系列有趣的等式:
1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
16+17+18+19+20=21+22+23+24
這個系列可以一直寫下去,它有以下兩大特點:①每個等式里的數(shù)都是連續(xù)自然數(shù);②左邊比右邊多1個數(shù)。此外,我們還注意到,這系列等式恰好用盡所有的自然數(shù),而第n個等式右邊有刀個數(shù),左邊則比右邊多1個。還有,等式中左右兩串?dāng)?shù)的分界數(shù)有一個簡單的公式:n(n+1)。
有趣的事情還有很多,例如,我們還有如下的系列等式
0+1+2=3
4+5+…+8=9+10+11
12+13+…+18=19+20+…+23
24+25+…+31+32=33+34+…+38+39
……=……
這系列等式從0開始,恰好用盡所有非負(fù)整數(shù)。與上一個系列不同,這系列等式左邊總是比右邊多2個數(shù),其第n個等式左邊有(n+2)個數(shù),右邊是n個,而這兩串?dāng)?shù)的分界為2n2。
如此有趣,我們自然會想:如果左邊比右邊多出u個數(shù),會不會有系列等式?如果有的話,又會是什么樣子?于是,我們開啟探索模式。
設(shè)等式中參與加法的數(shù)從左到右是連續(xù)自然數(shù),右邊有m個數(shù),左邊多了u個,有m+u個數(shù)。記左邊開始的數(shù)為后,則左邊最后一個數(shù)是k+m+u-1。相應(yīng)地,等式右邊開始于k+m+u而終結(jié)于k+2m+u-1。于是,由等差數(shù)列的求和公式,我們得到:
于是,第一個等式的左邊是從2到43,右邊是從44到61。暗藏的一個趣味點是:這系列等式雖然不是從1開始,但后一個等式的數(shù)也恰好是接著上一個等式的。換句話說,這系列等式恰好用盡除了1之外的所有自然數(shù)。
我們略去繁瑣的公式推導(dǎo),僅在這里指出:當(dāng)u為奇數(shù),或者u的因數(shù)中恰有奇數(shù)個2,即u=22s-1(2t-1)時,我們都可以得到相似的系列和式,每個系列中的自然數(shù)前后相接,都用盡起始數(shù)之后的所有自然數(shù)。而當(dāng)u是偶數(shù)且其因數(shù)中恰有偶數(shù)個2時,不存在類似的等式系列。
有一個“大名垂宇宙”的定理叫勾股定理,與之相應(yīng)的最著名的等式是:32+42=52。
這讓我們好奇,會不會對平方和也有與上述相似的系列等式呢?于是,我們也馬上展開探索。首先,我們需要明確“相似”的意思,從最直接的想法出發(fā),我們對相似提出兩點要求。
(1)左邊、右邊都是連續(xù)自然數(shù)的平方和,并且右邊的第一個恰好比左邊的最后一個大1;
(2)右邊平方和的個數(shù)比左邊少1個。
根據(jù)這種相似的意思,我們設(shè)等式的左邊開始于石2,終止于(k+m)2。也就是說,左邊的自然數(shù)從后開始,總共有(m+1)個。這樣,右邊的自然數(shù)必須從(k+m+1)開始,并終止于(k+2m)。因此,根據(jù)左右相等的條件,我們得到等式:k2+…+(k+m)2=(k+m+1)2+…+(k+2m)2。
應(yīng)用自然數(shù)連續(xù)平方和的求和公式,有:
生命不止,好奇不息,我們繼續(xù)考慮相似的問題:存在不存在左邊比右邊多2個數(shù)的平方和系列等式?左邊比右邊多u個的一般情況又如何?仔細(xì)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn):應(yīng)用相等關(guān)系所得到的關(guān)于后的方程是一元二次方程,它除了u=1之外看不到解出整數(shù)后值的可能性。因此,這回的好奇心只好轉(zhuǎn)而尋找新的興奮點。
平方和相等的系列等式?jīng)]有什么新的希望,那么考慮平方和之間有倍數(shù)關(guān)系會怎么樣?確實,我們能夠有所發(fā)
這,是不是非常有趣?
這有些難以置信?那我們就來做一做推導(dǎo)證明——這一點都不復(fù)雜。首先,很容易計算出:
然后,然后就不需要然后了。
使用代數(shù)方法推導(dǎo),我們可以找到無窮多個這種連續(xù)自然數(shù)平方和的倍數(shù)關(guān)系式。例如,對從1到11的平方和也有無窮多串11個連續(xù)自然數(shù)的平方和是它的整數(shù)倍。最小的一個從47開始到57,倍數(shù)關(guān)系是59倍。
應(yīng)用計算機計算,我們可以發(fā)現(xiàn)不少連續(xù)自然數(shù)的立方和等式,但系列等式似乎是不存在的。因此,我們對連續(xù)自然數(shù)的立方和,著重點也是尋找相似的倍數(shù)關(guān)系式,而我們也很快就找到好玩的實例:
這些公式有些抽象,但表格是非常直觀的,我們計算出上列公式中的前6個,列表如下。endprint