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        趣味連續(xù)和等式

        2017-10-27 09:44:36吳朝陽
        中國(guó)科技教育 2016年10期
        關(guān)鍵詞:平方和奇數(shù)偶數(shù)

        吳朝陽,數(shù)學(xué)博士,歷史學(xué)博士,計(jì)算機(jī)科學(xué)碩士,目前任教于南京大學(xué)。

        “阿尚,1加2等于幾?”“5啦。拜托——人家開學(xué)就3年級(jí)了?!薄昂冒桑?加5加6等于多少?”“很簡(jiǎn)單,等于15。”“為什么不說等于7加8呢?”“哦,真的是噢?!薄鞍⑸校悄阏f9加10加11加12等于多少?”“那就等于13加14加15嘍?!?/p>

        在去瑞士的大巴上與小侄子的這段對(duì)話,引出的是如下一系列有趣的等式:

        1+2=3

        4+5+6=7+8

        9+10+11+12=13+14+15

        16+17+18+19+20=21+22+23+24

        這個(gè)系列可以一直寫下去,它有以下兩大特點(diǎn):①每個(gè)等式里的數(shù)都是連續(xù)自然數(shù);②左邊比右邊多1個(gè)數(shù)。此外,我們還注意到,這系列等式恰好用盡所有的自然數(shù),而第n個(gè)等式右邊有刀個(gè)數(shù),左邊則比右邊多1個(gè)。還有,等式中左右兩串?dāng)?shù)的分界數(shù)有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式:n(n+1)。

        有趣的事情還有很多,例如,我們還有如下的系列等式

        0+1+2=3

        4+5+…+8=9+10+11

        12+13+…+18=19+20+…+23

        24+25+…+31+32=33+34+…+38+39

        ……=……

        這系列等式從0開始,恰好用盡所有非負(fù)整數(shù)。與上一個(gè)系列不同,這系列等式左邊總是比右邊多2個(gè)數(shù),其第n個(gè)等式左邊有(n+2)個(gè)數(shù),右邊是n個(gè),而這兩串?dāng)?shù)的分界為2n2

        如此有趣,我們自然會(huì)想:如果左邊比右邊多出u個(gè)數(shù),會(huì)不會(huì)有系列等式?如果有的話,又會(huì)是什么樣子?于是,我們開啟探索模式。

        設(shè)等式中參與加法的數(shù)從左到右是連續(xù)自然數(shù),右邊有m個(gè)數(shù),左邊多了u個(gè),有m+u個(gè)數(shù)。記左邊開始的數(shù)為后,則左邊最后一個(gè)數(shù)是k+m+u-1。相應(yīng)地,等式右邊開始于k+m+u而終結(jié)于k+2m+u-1。于是,由等差數(shù)列的求和公式,我們得到:

        于是,第一個(gè)等式的左邊是從2到43,右邊是從44到61。暗藏的一個(gè)趣味點(diǎn)是:這系列等式雖然不是從1開始,但后一個(gè)等式的數(shù)也恰好是接著上一個(gè)等式的。換句話說,這系列等式恰好用盡除了1之外的所有自然數(shù)。

        我們略去繁瑣的公式推導(dǎo),僅在這里指出:當(dāng)u為奇數(shù),或者u的因數(shù)中恰有奇數(shù)個(gè)2,即u=22s-1(2t-1)時(shí),我們都可以得到相似的系列和式,每個(gè)系列中的自然數(shù)前后相接,都用盡起始數(shù)之后的所有自然數(shù)。而當(dāng)u是偶數(shù)且其因數(shù)中恰有偶數(shù)個(gè)2時(shí),不存在類似的等式系列。

        有一個(gè)“大名垂宇宙”的定理叫勾股定理,與之相應(yīng)的最著名的等式是:32+42=52。

        這讓我們好奇,會(huì)不會(huì)對(duì)平方和也有與上述相似的系列等式呢?于是,我們也馬上展開探索。首先,我們需要明確“相似”的意思,從最直接的想法出發(fā),我們對(duì)相似提出兩點(diǎn)要求。

        (1)左邊、右邊都是連續(xù)自然數(shù)的平方和,并且右邊的第一個(gè)恰好比左邊的最后一個(gè)大1;

        (2)右邊平方和的個(gè)數(shù)比左邊少1個(gè)。

        根據(jù)這種相似的意思,我們?cè)O(shè)等式的左邊開始于石2,終止于(k+m)2。也就是說,左邊的自然數(shù)從后開始,總共有(m+1)個(gè)。這樣,右邊的自然數(shù)必須從(k+m+1)開始,并終止于(k+2m)。因此,根據(jù)左右相等的條件,我們得到等式:k2+…+(k+m)2=(k+m+1)2+…+(k+2m)2

        應(yīng)用自然數(shù)連續(xù)平方和的求和公式,有:

        生命不止,好奇不息,我們繼續(xù)考慮相似的問題:存在不存在左邊比右邊多2個(gè)數(shù)的平方和系列等式?左邊比右邊多u個(gè)的一般情況又如何?仔細(xì)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn):應(yīng)用相等關(guān)系所得到的關(guān)于后的方程是一元二次方程,它除了u=1之外看不到解出整數(shù)后值的可能性。因此,這回的好奇心只好轉(zhuǎn)而尋找新的興奮點(diǎn)。

        平方和相等的系列等式?jīng)]有什么新的希望,那么考慮平方和之間有倍數(shù)關(guān)系會(huì)怎么樣?確實(shí),我們能夠有所發(fā)

        這,是不是非常有趣?

        這有些難以置信?那我們就來做一做推導(dǎo)證明——這一點(diǎn)都不復(fù)雜。首先,很容易計(jì)算出:

        然后,然后就不需要然后了。

        使用代數(shù)方法推導(dǎo),我們可以找到無窮多個(gè)這種連續(xù)自然數(shù)平方和的倍數(shù)關(guān)系式。例如,對(duì)從1到11的平方和也有無窮多串11個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和是它的整數(shù)倍。最小的一個(gè)從47開始到57,倍數(shù)關(guān)系是59倍。

        應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算,我們可以發(fā)現(xiàn)不少連續(xù)自然數(shù)的立方和等式,但系列等式似乎是不存在的。因此,我們對(duì)連續(xù)自然數(shù)的立方和,著重點(diǎn)也是尋找相似的倍數(shù)關(guān)系式,而我們也很快就找到好玩的實(shí)例:

        這些公式有些抽象,但表格是非常直觀的,我們計(jì)算出上列公式中的前6個(gè),列表如下。endprint

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