于志明

(連云港師范高等專科學校物理系,江蘇 連云港 222006)

“甲蟲爬環(huán)”問題求解的3個關鍵環(huán)節(jié)

于志明

(連云港師范高等專科學校物理系,江蘇 連云港 222006)

“甲蟲爬環(huán)”問題:[1]質量為m1的甲蟲,在質量為m2、半徑為r的圓環(huán)上爬行,圓環(huán)放在光滑的水平桌面上,開始時甲蟲和圓環(huán)都是靜止的.要求: (1) 甲蟲在圓環(huán)上爬行一周時,圓環(huán)自身轉過的角度.(2) 若甲蟲以相對速度u沿逆時針方向在圓環(huán)上爬行,甲蟲和環(huán)心相對于桌面運動的速度.(3) 運動開始時甲蟲與圓環(huán)接觸點的運動軌跡.

這道題的求解對于中學生來講有一定難度,下邊談談求解這道題的3個關鍵環(huán)節(jié).

1 質心知識的應用

圖1

將甲蟲和圓環(huán)組成一個質點系,設開始時甲蟲位于圓環(huán)上的A點,甲蟲和圓環(huán)組成的質點系的質心為C,甲蟲到C的距離為r1,圓環(huán)的圓心O到C的距離為r2,如圖1所示.則

m1r1=m2r2.

(1)

r1+r2=r.

(2)

所以

(3)

(4)

由于開始時甲蟲和圓環(huán)在水平桌面上都是靜止的,水平桌面是光滑的,根據(jù)質心運動定理可知,由甲蟲和圓環(huán)組成的質點系的質心C在水平桌面上是始終靜止不動的.而當甲蟲在圓環(huán)上爬行時,由于r1、r2大小恒定,故甲蟲和環(huán)心都在桌面上做以C為圓心的圓周運動,且具有相同的角速度.

根據(jù)質心的知識確定甲蟲和圓環(huán)組成的質點系的質心的位置、質心在桌面上靜止、甲蟲爬行時甲蟲和環(huán)心都在桌面上做以質心為圓心的圓周運動,這是求解這道題的第1個關鍵環(huán)節(jié).

2 爬行條件的應用

圖2

設甲蟲在圓環(huán)上以勻相對速度u沿逆時針方向爬行,由于桌面是光滑的,當甲蟲在圓環(huán)上爬行時,圓環(huán)將沿順時針方向向下轉動,同時圓環(huán)的環(huán)心O將向下移動,而環(huán)心O到C的距離保持不變.設甲蟲開始爬行時圓環(huán)的位置如圖2中的實線所示,而甲蟲爬行t時間后,圓環(huán)的位置如圖2中的虛線所示,此時甲蟲位于圓環(huán)上的B點,甲蟲相對于桌面沿逆時針方向繞質心C轉過的角度為α,而開始時甲蟲在圓環(huán)上的接觸點A繞環(huán)心O沿順時針方向轉過的角度為β,在t時間內甲蟲在圓環(huán)上由A點爬行到了B點,爬過的弧長為ut.由圖2可知，

(5)

上式兩邊對時間t求導得

(6)

3 角動量守恒定律的應用

在本題中,由甲蟲和圓環(huán)組成的質點系對其質心C的角動量是守恒的.甲蟲對于質心C的角動量為

(7)

(8)

由于甲蟲和圓環(huán)組成的系統(tǒng)開始時是靜止的,故由角動量守恒定律得

(9)

將式(9)和式(6)聯(lián)立求解得

(10)

(11)

將式(3)、(4)代入式(10)、(11)可得

(12)

(13)

(14)

(15)

有了α和β隨時間t的變化關系,“甲蟲爬環(huán)”的所有問題就可以迎刃而解了.

(16)

而由式(15)可知此時圓環(huán)上的A點在桌面上繞環(huán)心O轉過的角度為

(17)

且

α+β=2π.

(18)

(2) 由式(14)和式(3)、(4)可得甲蟲和環(huán)心O在桌面上繞質心C圓周運動的速度分別為

(19)

(20)

圖3

(3) 建立以質心C為原點的靜止在桌面上的直角坐標系C-xy,如圖3所示.由圖3可知,圓環(huán)上的A點在C-xy中的坐標為

x=rcosβ-r2cosα.

(21)

y=rsinβ+r2sinα.

(22)

將式(3)、(4)、(14)、(15)代入式(21)、(22)即得A點的坐標隨時間t的變化關系為

(23)

(24)

式(23)、(24)就是圓環(huán)上的A點在桌面上運動的軌跡方程.可以肯定的是如果m2?m1,則質心C就非?？拷h(huán)心O,A點運動的軌跡就非常接近于圓環(huán).

1 李力,張銀.“甲蟲爬環(huán)”問題的解析[J].大學物理,2016,35(8):22-24.

2 哈爾濱工業(yè)大學理論力學教研室編.理論力學[M].北京:高等教育出版社,2012.

2017-03-02)