陳 長(zhǎng)
(惠州一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校,廣東 惠州516000)
恢復(fù)系數(shù)在一維碰撞中的巧妙運(yùn)用
陳 長(zhǎng)
(惠州一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校,廣東 惠州516000)
2017年高考改革,原本選修3-5納入必考范圍.與動(dòng)量相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)必將成為高考熱點(diǎn)問(wèn)題,其中一維碰撞問(wèn)題是動(dòng)量守恒類問(wèn)題的重中之重.本文主要探討一維碰撞問(wèn)題下的速度變化,將恢復(fù)系數(shù)引入到碰撞問(wèn)題的簡(jiǎn)單計(jì)算中.
恢復(fù)系數(shù); 一維碰撞; 速度
一般的參考書(shū)上重點(diǎn)討論一維碰撞中的彈性碰撞和完全非彈性碰撞.高考對(duì)碰撞類的考查側(cè)重于對(duì)動(dòng)量守恒規(guī)律的運(yùn)用,往往涉及繁瑣的計(jì)算.若在該類問(wèn)題中巧妙運(yùn)用恢復(fù)系數(shù)將有利于迅速解題.
質(zhì)量分別為m1和m2的物塊分別以初速度v1和v2在光滑的水平地面上發(fā)生碰撞,碰撞之后,m1和m2的速度分別為v1′和v2′.規(guī)定m1的初速度v1為正方向,那么m1和m2的接近速度v12>0(接近速度v12=v1-v2),m1和m2的遠(yuǎn)離速度v21′≥0(遠(yuǎn)離速度v21′=v2′-v1′).
引入恢復(fù)系數(shù)為
(1)
兩物塊發(fā)生碰撞滿足動(dòng)量守恒,有
m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′.
(2)
碰撞之后動(dòng)能不能增加,故有
(3)
結(jié)合實(shí)際情況v21′≥0,以及(3)式可以得到
0≤e≤1.
由(1)式和(2)式可得
(4)
(5)
兩物體的初速度亦可以表示成如下形式
(6)
(7)
在(4)~(7)式中,等式右邊的第1項(xiàng)為質(zhì)心的速度,第2項(xiàng)為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的速度.可以發(fā)現(xiàn)碰撞后質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度對(duì)于碰撞前質(zhì)點(diǎn)相對(duì)與質(zhì)心的速度多出系數(shù)-e.碰撞前后質(zhì)心的速度沒(méi)有發(fā)生改變,質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng).碰撞前后速度的改變本身只發(fā)生在質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的速度上.
在(4)式和(5)式中,恢復(fù)系數(shù)在0≤e≤1的范圍內(nèi).當(dāng)碰撞為彈性碰撞時(shí),e=1.當(dāng)碰撞為完全非彈性碰撞時(shí),e=0.而碰撞為非完全彈性碰撞時(shí),0 (8) (9) 例1.(2009年全國(guó)卷Ⅰ第21題)質(zhì)量為M的物塊以速度v運(yùn)動(dòng),與質(zhì)量為m的靜止物塊發(fā)生正碰,碰撞后兩者的動(dòng)量正好相等,兩者質(zhì)量之比M/m可能為 (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 例2.動(dòng)量分別為5 kg·m/s和6 kg·m/s的小球A、B沿光滑平面上的同一條直線同向運(yùn)動(dòng),A追上B并發(fā)生碰撞后.若已知碰撞后A的動(dòng)量減小了2 kg·m/s,而方向不變,則A、B質(zhì)量之比可能是 (A) 5∶6. (B) 3∶8. (C) 1∶2. (D) 4∶7. 常規(guī)解法: 碰撞過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)能不增加;碰前、碰后兩個(gè)物體的位置關(guān)系(不穿越)和速度大小應(yīng)保證其順序合理. 1 張大同,黃洪才,彭大斌.物理競(jìng)賽教程(高一年級(jí))[M].第5版.上海:華東師范大學(xué)出版社,2016:167-169. 2 [俄]朗道,栗弗席茲.朗道理論物理教程(卷01)-力學(xué)(第5版)[M].李俊峰,鞠國(guó)興,譯.北京:高等教育出版社,2007:45-46. 2017-04-12)