洪 波 于正榮

(1. 江蘇省鹽城中學(xué)，江蘇 鹽城 224005 2. 鹽城市伍佑中學(xué)，江蘇 鹽城 224041)

·問(wèn)題討論·

感生電場(chǎng)中導(dǎo)體回路間的電勢(shì)差

洪 波1于正榮2

(1. 江蘇省鹽城中學(xué)，江蘇 鹽城 224005 2. 鹽城市伍佑中學(xué)，江蘇 鹽城 224041)

變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng),此電場(chǎng)分布于整個(gè)空間,導(dǎo)體回路處于感生電場(chǎng)中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)．本文針對(duì)一道電磁感應(yīng)習(xí)題,指出中學(xué)階段常見(jiàn)解答中的科學(xué)性錯(cuò)誤,并定量計(jì)算了區(qū)域?yàn)檎叫蔚淖兓艌?chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng),從而正確求出導(dǎo)體回路中的兩點(diǎn)在感生電場(chǎng)中的電勢(shì)差．

電磁感應(yīng);感生電場(chǎng);電動(dòng)勢(shì)

1 問(wèn)題的提出

題目.輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)吊著一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.8m、匝數(shù)n=10的正方形線(xiàn)圈,R1=R2=R3=1Ω,其他電阻不計(jì)．邊長(zhǎng)為L(zhǎng)/2的正方形磁場(chǎng)區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)分布在線(xiàn)圈下邊的兩側(cè),如圖1(甲)所示,磁場(chǎng)方向垂直紙面向里,大小隨時(shí)間變化如圖1(乙)所示．求:

圖1

(1) 2s時(shí)通過(guò)電阻R1的電流大小和方向.

(2) 2s時(shí),C、D兩點(diǎn)間的電勢(shì)差大小是多少?

(3) 6s內(nèi)通過(guò)電阻R1的電荷量q及電阻R1上產(chǎn)生的熱量.

類(lèi)似習(xí)題中學(xué)階段也不少見(jiàn)．本題中的第(2)問(wèn),得到廣大中學(xué)教師的熱烈討論,但結(jié)果莫衷一是．參考答案如下:

上述解答實(shí)際上存在一個(gè)重大的科學(xué)性錯(cuò)誤．因?yàn)楦鶕?jù)麥克斯韋電磁場(chǎng)理論,變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng),這個(gè)感生電場(chǎng)通常構(gòu)成閉合曲線(xiàn),所以又稱(chēng)之為渦旋電場(chǎng)．并且此電場(chǎng)并不只僅僅處于有磁場(chǎng)的區(qū)域內(nèi),而是分布在包括磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)、外的整個(gè)空間．本題盡管磁場(chǎng)限定于abcd內(nèi)部,但abcd以外、線(xiàn)圈ABEF的四周都將存在感生電場(chǎng)．由于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就是由感生電場(chǎng)推動(dòng)線(xiàn)圈內(nèi)的自由電子移動(dòng)引起的,因此線(xiàn)圈的4條邊都可能存在電動(dòng)勢(shì)．所以,原參考答案僅僅把線(xiàn)圈的CD部分看成電源、其余部分看成外電路的處理方法是錯(cuò)誤的．

上述觀(guān)點(diǎn)得到絕大多數(shù)教師的肯定．但原題的結(jié)果究竟如何,大家無(wú)法確定．顯然,要正確解答本題,首先要了解由于正方形區(qū)域內(nèi)的變化磁場(chǎng)在空間所激發(fā)的的感生電場(chǎng)的分布情況,然后求出線(xiàn)圈ABEF各條邊所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),最后結(jié)合電路結(jié)構(gòu)才能得出令人信服的結(jié)果．

2 有限區(qū)域的變化磁場(chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)

根據(jù)麥克斯韋方程,感生電場(chǎng)沿任何閉合路徑的環(huán)流滿(mǎn)足

∮lE·dl=-S·dS.

(1)

圖2

圖3

(2)

(2)式即為有限區(qū)域內(nèi)隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)在周?chē)臻g所激發(fā)的感生電場(chǎng)的計(jì)算公式．其中位矢r的方向由Q指向P．

3 區(qū)域?yàn)檎叫蔚拇艌?chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)

圖4

下面計(jì)算正方形磁場(chǎng)區(qū)域所激發(fā)的感生電場(chǎng)．設(shè)圖1中正方形磁場(chǎng)區(qū)域abcd的邊長(zhǎng)為2a,以該正方形的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)、bc方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系,如圖4所示．在矩形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)取一面積元Q,其坐標(biāo)為(x0,y0),面積為dS=dx0dy0．則Q到xy平面上任一點(diǎn)P(x,y)的位矢QP可表示為r=(x-x0)i+(y-y0)j．代入(2)式可得P點(diǎn)的感生電場(chǎng)為

E(x,y)在x方向的分量為

(3)

同理E(x,y)在y方向的分量為

(4)

考察(3)、(4)兩式,不難發(fā)現(xiàn)該感生電場(chǎng)具有以下特點(diǎn):

(1) 當(dāng)x=0,y=0時(shí),Ex=0,Ey=0．即坐標(biāo)原點(diǎn)處無(wú)電場(chǎng)．當(dāng)x=∞,y=∞時(shí),Ex=0,Ey=0．即無(wú)窮遠(yuǎn)處感生電場(chǎng)也為0．

(2) 當(dāng)x=0時(shí),Ey=0,E=Ex,當(dāng)y=0時(shí),Ex=0,E=Ey．即x、y軸上各點(diǎn)的感生電場(chǎng)分別與x、y軸垂直．

(3) 此感生電場(chǎng)還具有下列對(duì)稱(chēng)關(guān)系.

Ex(x,y)=Ex(-x,y);Ey(x,y)=-Ey(-x,y)，

Ex(x,y)=-Ex(x,-y);Ey(x,y)=Ey(x,-y)，

Ex(x,y)=-Ex(-x,-y);

Ey(x,y)=-Ey(-x,-y).

即此感生電場(chǎng)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．

圖5

通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬出此感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)如圖5所示,其形狀類(lèi)似圓形但不是圓形．

4 對(duì)原題的分析

綜上所述,由于磁場(chǎng)變化所激發(fā)的感生電場(chǎng),不僅與磁場(chǎng)變化的快慢有關(guān),還與磁場(chǎng)的區(qū)域(即邊界條件)有關(guān);除了圓形區(qū)域以外,其他形狀的磁場(chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)的計(jì)算一般都非常復(fù)雜;由于感生電場(chǎng)分布在整個(gè)空間,我們可以通過(guò)其線(xiàn)積分來(lái)計(jì)算處于感生電場(chǎng)中的各部分導(dǎo)體產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì),與法拉第電磁感應(yīng)定律的結(jié)果一致,但具體計(jì)算遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出中學(xué)內(nèi)容的要求,所以在涉及相關(guān)內(nèi)容的命題時(shí)一定要注意回避,更不可犯科學(xué)性錯(cuò)誤．

1 桑芝芳.導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是如何分布的[J].物理通報(bào)，2010(2)：8-11.

2 楊曉峰，許麗萍.變化磁場(chǎng)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)的一般形式[J].工科物理，1994(4)：4-5.

3 李衛(wèi)平.渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)總是圓形嗎[J].中學(xué)物理，2012(23)：51-52.

4 趙堅(jiān).對(duì)渦旋電場(chǎng)中所謂“引入”電勢(shì)、電勢(shì)差概念問(wèn)題的討論[J].物理教師，2009(10)：6-7.

2017-02-27)