楊柳

[摘 要]分部積分是針對被積函數(shù)是乘積形式的積分，分部積分公式運用比較靈活。就列表的方法對分部積分加以說明，并列舉列表法適用的類型。

[關鍵詞]分部積分；乘積列表法

[中圖分類號]O172.2 [文獻標識碼]A

高等數(shù)學是大學一年級學生的一門專業(yè)基礎課，在學習高等數(shù)學的時候總感覺到很困難。特別是學習了求導之后，學習積分。積分是求導運算的逆運算，卻比求導運算復雜。常見的積分方法有直接積分法、換元積分法、分部積分法。

在被積函數(shù)是乘積形式的積分時，如果不能直接積分或者換元積分，那么一般會用到分部積分。分部積分公式。分部積分前提是要選取恰當?shù)暮秃瘮?shù)，利用分部積分公式得到最后的結果，選取和的方法比較固定，按照“反、對、冪、指、三”的順序依次選擇，兩個函數(shù)乘積的積分，順序靠左的函數(shù)是，順序靠右的函數(shù)是，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積中，和函數(shù)的選取方式任意?；蛘哂械慕滩闹袑Ρ环e函數(shù)分類，然后直接說明每一類中和函數(shù)的選取。

1 列表法的計算規(guī)則

分布函數(shù)列表法是把被積函數(shù)分為兩部分，分上下位置放置，上邊是被積函數(shù)中能夠求導，且越來越簡單的函數(shù)，或者多次導數(shù)之后結果是0的函數(shù)；下邊放置的是被積函數(shù)的另外一部分，依次對其積分，積分次數(shù)與上面的導數(shù)次數(shù)相同即可。一般地，對積分，如果函數(shù)經過多次求導，結果等于0，或者結果是，可以用如下計算方法：

對函數(shù)多次求導，對函數(shù)多次積分，然后依次用斜線連接上下兩行的函數(shù)，該項的符號由左向右依次為正負相間隔，然后寫出積分關系式，得到的結果中可以含有積分符號。

例1 求不定積分

解 被積函數(shù)可以看做兩個函數(shù)的乘積，可以多次求導，而可以多次積分，用列表法求不定積分。

例2 求不定積分。

解 被積函數(shù)是乘積形式，但是與都不能經過多次求導而結果是0，但是它們求導之后又會回到最初的形式，也可以用列表的方法。

移項整理得.

在例1中，求導的結果最終是0，0和下面一行中的函數(shù)相乘的積分結果還是0，因此可以直接寫出整個積分的結果；例2中求導兩次的時候，形式仍然是，這時候得到的是一個關系式，左右兩側都含有不定積分，移項得到需要的結果。

2 列表法適用的類型

（1）適用于，， ，其中是次多項式。在用列表法的時候，可以多次求導，直至導數(shù)等于零，而都可以多次積分。

（2）適用于，，，其中，，可以求導，而可以多次積分。

（3）適用于，，任意選取需要求導的函數(shù)，求導兩次之后的形式與最初相同，這時候得到關于積分的一個關系式，移項整理后就可以得到不定積分的結果，不定積分后需加常數(shù)C。

使用列表法的時候，具體要算到哪一步，根據(jù)情況而定。

3 列表法的評價

列表法的優(yōu)點是：只針對函數(shù)乘積中的某一個函數(shù)多次求導或積分，消除了在應用分部積分時，既有積分又有求導的弊端。

列表法也有它的缺點：列表法有一定的局限性，對于特定的類型能取得較好的效果。但是如反三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，就不能使用列表法。

[參考文獻]

[1] 錢吉林.數(shù)學分析題解精粹[M].湖北：湖北辭書出版社，2009.