鄭小華

教學(xué)資源是教學(xué)的載體，它的開發(fā)程度直接影響教學(xué)效果。如何充分地開發(fā)教學(xué)資源，是廣大教師面臨的一個(gè)重大課題。本文以一道七年級下學(xué)期不等式的應(yīng)用題為載體，從三個(gè)角度來探究，以闡述如何用開放性思維構(gòu)建教學(xué)點(diǎn)，開發(fā)習(xí)題資源。

題目：用錘子頭相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力也越來越大。當(dāng)未進(jìn)入木塊的釘子長度足夠時(shí)，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的1/2，已知這個(gè)鐵釘被敲擊3次后全部進(jìn)入木塊（木塊足夠厚）且第一次敲擊后鐵釘進(jìn)入木塊的長是是2cm，若鐵釘長度為acm，求a的取值范圍。

探究1：如何培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣

本題的文字?jǐn)⑹鲚^長，具備閱讀型習(xí)題的特點(diǎn)。從結(jié)構(gòu)上看，可以分為三個(gè)部分：第一部分：如圖（見前述圖形），用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力也越來越大。第二部分：當(dāng)未進(jìn)入的釘子長度足夠時(shí)，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的1/2（條件1）。已知這個(gè)鐵釘被敲擊3次后全部進(jìn)入木塊（木塊足夠厚，）（條件2），且第一次敲擊后鐵釘進(jìn)入木塊的長度是2cm（條件3），第三部分：若鐵釘總長度為acm，求a的取值范圍。

分析如下：第一部分為問題背景，介紹的是生活中的物理知識，配合插圖，以降低難度，讓學(xué)生輕松進(jìn)入問題情境，第二部分為題干區(qū)，并列提供3個(gè)數(shù)據(jù)條件，且將題目的數(shù)量關(guān)系包含其中，第三部分為提出問題，它是問題的焦點(diǎn)，具有明確的方向，與題干區(qū)有直接的因果關(guān)系，是思維的起點(diǎn)也是終點(diǎn)。對習(xí)題結(jié)構(gòu)的把握和對各部分功能的認(rèn)識，有助于學(xué)生主動迎合命題目標(biāo)。作為一道實(shí)際問題，它承載著生活知識向數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，也覆行著數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值向生活回饋的使命，它既是綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是學(xué)科交叉滲透的典型代表。從這個(gè)意義上講，教師應(yīng)提高對問題背景的認(rèn)識，它能高屋建瓴地幫助學(xué)生建立跨學(xué)科知識體系，也有助于學(xué)生快速而準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)題干區(qū)和問題之間的數(shù)量關(guān)系。其次，怎樣分析第二、三部分之間的內(nèi)在關(guān)系，是解決問題的核心部分：分析問題→轉(zhuǎn)化問題→運(yùn)用或創(chuàng)造條析→建立數(shù)學(xué)模式→解決問題。只要我們明確閱讀型習(xí)題的命題目標(biāo)，緊抓習(xí)題結(jié)構(gòu)，借助于生活知識和數(shù)學(xué)知識體系，就能準(zhǔn)確地建立起解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模式。所以，如何培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣成了本文的第一個(gè)探究方向。

探究2：如何挖掘?qū)嶋H問題中的隱含條件

本題探究的是鐵釘總長度的取值范圍，這說明題目中應(yīng)該具備不等關(guān)系，但通讀全題并未發(fā)現(xiàn)表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞。如何挖掘題目中的隱含條件，是值得我們研究的課題。一般來講，每道數(shù)學(xué)題均有它的題眼，或直觀，或隱蔽，尤其是對于后者，將數(shù)量關(guān)系、數(shù)據(jù)特征蘊(yùn)含在生活之中，或其他學(xué)科之中，它挑戰(zhàn)著學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和跨學(xué)科的知識面。就本題而言，如果我們從實(shí)踐的角度出發(fā)，你會發(fā)現(xiàn)：錘子敲擊兩次，鐵釘沒有完全進(jìn)入木塊；敲擊三次才完全進(jìn)入木塊。前者表示：前兩次鐵釘進(jìn)入木塊的長度之和小于鐵釘?shù)目傞L度，用不等式表示為：2+2×1/2

探究3：靈活進(jìn)行問題變式，促進(jìn)習(xí)題創(chuàng)新

習(xí)題變式，可以解釋為舉一反三，它能引領(lǐng)學(xué)生的思維朝縱深方向發(fā)展，對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高習(xí)題的使用效率非常重要。以本題為例，可作以下變式：

變式1：用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力也越來越大，當(dāng)未進(jìn)入木塊的釘子長度足夠時(shí)，每次釘入木塊的釘子長度是前一次的1/2，已知這個(gè)鐵釘被敲擊3次后全部進(jìn)入木塊（木塊足夠厚），且鐵釘總長度為3cm，若第一次敲擊后鐵釘進(jìn)入木塊的長度為bcm，求b的取值范圍。

解析：同原題相比，本題將求解的對象由鐵釘?shù)目傞L度置換為求第一次敲擊后鐵釘進(jìn)入木塊的長度b的取值范圍。求解對象的改變，為本題創(chuàng)造了新的研究角度。但其依賴的不等關(guān)系沒有改變，仍然是：①前兩次鐵釘進(jìn)入木塊的長度之和小于鐵釘總長度；②前三次鐵釘進(jìn)入木塊的長度之和不小于鐵釘總長度，由此構(gòu)造不等式組：

變式2：用錘子以相同的力將鐵釘垂直釘入木塊，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力也越大，當(dāng)未進(jìn)入木塊的釘子長度足夠時(shí)，每次釘入木塊的釘子是前一次的1/2，已知鐵釘?shù)目傞L度是3cm，第一次敲擊后，鐵釘進(jìn)入木塊的長度為1.8cm，求敲擊多少次鐵釘才能完全進(jìn)入木塊？

解析：本題將探究的目光轉(zhuǎn)移到鐵釘要完全進(jìn)入木塊時(shí)所需的敲擊次數(shù)，根據(jù)上述不等關(guān)系，設(shè)第n次敲擊后鐵釘完全進(jìn)入木塊，列式如下：

觀察不等式①、②，可以發(fā)現(xiàn)不等式的左邊均為等比數(shù)列，因此學(xué)生面臨著對等比數(shù)列進(jìn)行求和的問題，盡管超出了七年級學(xué)生的要求，但對于優(yōu)生而言，老師可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法引導(dǎo)他們?nèi)ネ茖?dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式，這樣拓展了探究的內(nèi)容和方向。

在問題解決過程中還涉及到對含有乘方倒數(shù)形式的不等式組的處理，為學(xué)生深入解決不等式提供了良好的素材。就本題而言，還可對每次釘入木塊的釘子長度是前一次的幾分之幾進(jìn)行探究。

其實(shí)，很多數(shù)學(xué)問題具備廣泛的變式條件，本著培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題能力的目標(biāo)，教學(xué)中一旦出現(xiàn)這樣的機(jī)遇，教師應(yīng)把它作為優(yōu)質(zhì)習(xí)題資源深入挖掘。

回歸本文宗旨：對一道不等式應(yīng)用題從三個(gè)角度進(jìn)行探究，也就從三個(gè)領(lǐng)域構(gòu)建教學(xué)點(diǎn)，對于培養(yǎng)師生的開放性思維，建立更加完善的知識體系具有強(qiáng)大的推動力。如能對促進(jìn)有效課堂研討稍有幫助，本人將深受鼓舞。