☉湖北省武漢中學(xué) 田 靖

概率解題錯誤分析

☉湖北省武漢中學(xué) 田 靖

在概率解題過程中常常陷入一些誤區(qū)，讓人覺察不到自己的錯誤.其原因是因?yàn)闆]有真正理解概率的模型，以及事件的度量，從而導(dǎo)致了錯誤思維的發(fā)生.本文以如下幾道高考模擬題為例進(jìn)行分析.

例1在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進(jìn)4個球且最后2個球都投進(jìn)者獲獎；否則不獲獎.已知教師甲投進(jìn)每個球的概率都是

（1）記教師甲在每場的6次投球中投進(jìn)球的個數(shù)為x，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率.

解析：（1）由題意可得x的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.

（2）設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，包含恰好投進(jìn)4個球，恰好投進(jìn)5個球，恰好投進(jìn)6個球共三種情況，故P（A）=，所以教師甲在一場比賽中獲獎的概率為

這道題能得到這樣的解法其實(shí)是一件很自然的事情，但是有時多思考一會，覺得第一問如果換一種分析方式是不是也正確呢？

投球事件的結(jié)果只能有這7種可能，分別投進(jìn)0個球，1個球，2個球，3個球，…，6個球.所以有：

出現(xiàn)這樣截然不同的結(jié)果，原因在于求概率時將概率模型誤當(dāng)成了古典概型.例如：“第一個球投進(jìn)，后五個球投不進(jìn)”這個事件的概率與“第一個球投進(jìn)，后五個球也都投進(jìn)”這個事件的概率是不等的.

例2設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出2只球.

（1）求這2只球都是白球的概率；

（2）求這2只球中1只是白球，1只是黑球的概率.

解析：我們把4只白球分別標(biāo)為1，2，3，4號，2只黑球標(biāo)為5，6號.則基本事件有：（1，2），（1，3），…，（1，6），（2，1），（2，3），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，5），共30個.

（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A=｛（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）｝，共12個.

（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B=｛（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4）｝，共16個.

錯解：一次摸出2只球，觀察結(jié)果只能是（白，白），（白，黑），（黑，黑）3種情況.

（1）用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A=｛（白，白）｝，所以P（A）=

（2）用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B=｛（白，黑）｝，所以P（B）=

出現(xiàn)這個錯誤的原因是：（白，白），（白，黑），（黑，黑）3種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的.

例3在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率.

錯解：如圖1，點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB的長為基本事件的度量.

當(dāng)M位于線段AD（不含端點(diǎn)AC=AD）上時，AM＜AD，所以線段AD的長為所求事件的度量.

圖1

出現(xiàn)這個錯誤的原因是：本題是在∠ACB內(nèi)作射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置，因此基本事件的度量應(yīng)是∠ACB的大小，而不是線段AB的長.

正解：AM＜AC的概率應(yīng)該為滿足條件的∠ACM與∠ACB大小的比，即P（AM＜AC）=

變式：已知等腰Rt△ACB，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長小于AC的長的概率.

解析：因?yàn)镸點(diǎn)可以等可能地取遍線段AB上的點(diǎn)，所以P（AM＜AC）=

概率是高考考查的熱點(diǎn)問題，如果對概率知識理解不夠透徹就往往會陷入困境.所以，在解答概率問題時，需要認(rèn)清概率模型，找到事件正確的度量，對號入座，才能給出正確的答案.