☉江蘇省南京市第二十七高級中學(xué) 丁海峰

點擊三角函數(shù)中的幾個高頻點問題

☉江蘇省南京市第二十七高級中學(xué) 丁海峰

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是高考數(shù)學(xué)的必考知識點，以三角函數(shù)作為載體的最值問題又是一類重要題型，是函數(shù)最值問題的重要組成部分，極具靈活性，這部分內(nèi)容是個難點，它不僅與三角函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識息息相關(guān)，更與二次函數(shù)、一元二次方程、不等式等知識緊密聯(lián)系，它對三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用能力要求比較高.而三角函數(shù)問題往往被同學(xué)們誤認(rèn)為只要掌握幾個三角公式和定理即可，而實際解題時如果對問題的方向判斷不對，解題的角度切入不好，就會耗費大量的時間和精力.本文記錄了筆者在課堂教學(xué)過程中，與學(xué)生一起對一道三角函數(shù)最值問題進行了多角度的探討和研究，再現(xiàn)當(dāng)時上課過程，希望能夠與同行共同交流、進步.

一、三角函數(shù)中的最值問題

基本不等式是解決最值問題行之有效的利器，在最值問題中用得很多，在三角函數(shù)中也是如此.用基本不等式解決問題時一定要注意“一正、二定、三相等”的原則.

分析：將分母中的1用sin2β+cos2β替換，然后用“齊次式”的化簡方式，即分子分母同除以cos2β.

通過化簡整理后發(fā)現(xiàn)，此題適合用基本不等式來求最值，只是要注意合理地拆添項、湊常數(shù)，同時也要注意等號成立的條件，否則可能會陷入誤區(qū)，得出錯解.

二、求解三角函數(shù)值問題

例2如圖1，E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF=________.

圖1

分析：本題考查三角函數(shù)的計算、解析化應(yīng)用意識.

下面我們從不同角度出發(fā)，采用五種方法解答該題.

解法1：（利用余弦定理）設(shè)AB=6，AC=BC=3.

圖2

解法2：（利用向量夾角公式）如圖2，設(shè)AB=6，AC=BC=3，F(xiàn)（1，0），E（-1，0），C（0，3），則=（-1，-3），￣=（1，-3）.

解法3：（利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式）設(shè)AB=6，作CD⊥AB，如圖3，則CD=3，ED=1.

圖3

所以tan∠ECF=tan（180°-2∠CED）=-tan2∠CED=

解法4：（利用二倍角公式）設(shè)AB=6，作CD⊥AB，則CD=3，ED=1.

設(shè)∠ECD=α，則∠ECF=2α.

三、求函數(shù)解析式問題

圖像相鄰的最高點與最低點橫坐標(biāo)的差是3π，得到T=2×3π=6π，從而ω=，所以得到y(tǒng)=2sinx+φ）.

已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的最值及圖像的性質(zhì)，可逐步求出A、ω、φ的值，從而確定函數(shù)解析式.三角函數(shù)的知識點比較多，要靈活解決三角函數(shù)的相關(guān)問題，熟悉性質(zhì)與特點是關(guān)鍵.

例3函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值為-2，其圖像相鄰的最高點與最低點橫坐標(biāo)的差是3π，而圖像又過點（0，1），求函數(shù)的解析式.

分析：可先求出最值A(chǔ)，由相鄰的最高點與最低點橫坐標(biāo)的差來求周期T，再由圖像過定點求φ.

解：由于函數(shù)的最小值為-2，則A=2.

四、求三角函數(shù)中的角的大小問題

剖析：由于α、β是銳角，這里要注意在確定α-β的值時需要根據(jù)已知條件求解.

在已知三角函數(shù)求角的問題中，選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)則是解決問題的關(guān)鍵，一般需要根據(jù)問題中所給已知角的范圍確定未知角的范圍，從而來確定未知角的象限，再根據(jù)角的象限及三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號確定最終合適的三角函數(shù)，避免增解的產(chǎn)生.

五、求參數(shù)范圍或參數(shù)值問題

剖析：研究三角函數(shù)值域、參變數(shù)取值范圍的問題，應(yīng)注意對區(qū)間端點、最值點、零點（圖像與x軸交點）等特殊值進行討論.上述錯解在于對區(qū)間端點分析不夠.

注意：對端點處的問題則一定要細(xì)致分析.

總之，對于三角函數(shù)問題，我們首先要善于觀察和分析所給條件，確定大致的解題方向，然后靈活運用三角函數(shù)公式，對題目條件進行整理和化簡.數(shù)學(xué)解題實質(zhì)上是利用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法建立條件與結(jié)論間的聯(lián)系.在解決三角函數(shù)的問題中，一定要抓住題目條件中的特點，聯(lián)想基本不等式等.當(dāng)然很多問題也可以數(shù)形結(jié)合思想或方程思想等來解決問題.

正如波利亞所說，這是“領(lǐng)會方法的最佳時期”，“當(dāng)讀者完成了任務(wù)，而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實質(zhì)，他可以對自己提出許多有用的問題：‘關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以做得更好些？我為什么沒有察覺到這一點？要看出這一點我必須具備哪些知識？應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問題時應(yīng)用？’所有這些問題都提得不錯，而且還有許多別的問題——但最好的問題是自然而然地浮現(xiàn)在你腦海里的問題”.只有通過回顧總結(jié)，才能除去那些不必要的步驟，弄清問題的關(guān)鍵所在，使思路明晰起來，才能抓住問題的本質(zhì)，給出一些簡單、漂亮的解法和變式訓(xùn)練.幾經(jīng)波折，對原問題做一做（解答或證明）、變一變（變式訓(xùn)練等）、拓一拓（對問題進行改進、加強、推廣等）、研一研（深入挖掘問題的本質(zhì)）.問題變得愈加豐滿和清晰，也愈加貼近問題的本質(zhì).這樣，我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時收獲了學(xué)習(xí)知識的方法，也收獲了愉悅充實的心情.