☉浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

整體單元化設(shè)計(jì)理念下的“漸近線”教學(xué)

☉浙江省象山縣第二中學(xué) 呂增鋒

最近，我縣舉行了數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽，上課的主題是“雙曲線的漸近線”.筆者全程觀摩了8位老師的課，他們基本上沿襲了“定義+應(yīng)用”的教學(xué)套路，如圖1所示.

圖1

一、教學(xué)過程簡介

下面是其中一位教師的上課過程.

1.給出定義與公式

問題1：雙曲線開口大小由什么決定的？

通過作圖，發(fā)現(xiàn)兩條相交直線開口大小決定了雙曲線的開口大小，由此給出漸近線的定義與公式.

問題2：如何證明漸近線與雙曲線“無限接近，永不相交”.

主要有兩種方法，一是漸近線方程與雙曲線方程作差后求極限；二是對(duì)雙曲線上的點(diǎn)到漸近線的距離取極限.

2.漸近線的應(yīng)用

例1通過求下列雙曲線的漸近線，你能得到什么啟發(fā)嗎？

（1）16x2-9y2=144；

（2）16x2-9y2=-144；

（3）16x2-9y2=1.

設(shè)計(jì)意圖：通過求雙曲線的漸近線獲得求漸近線方程的“快捷”方法，即，從而使學(xué)生擺脫對(duì)“漸近線公式”的機(jī)械記憶.

例2若雙曲線的漸近線方程為y=±3x，求滿足下列條件的雙曲線方程.

設(shè)計(jì)意圖：利用雙曲線方程與漸近線的關(guān)系，快速獲得雙曲線方程.比如，由y=±3x，可設(shè)雙曲線方程為y2-9x2=λ（λ≠0）.

例3設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）.

例4設(shè)雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，直線l與兩條漸近線交于P、Q兩點(diǎn)，如果△PQF是直角三角形，則雙曲線的離心率e=________.

設(shè)計(jì)意圖：明確漸近線方程與雙曲線方程基變量之間的關(guān)系，能夠應(yīng)用漸近線的性質(zhì)求離心率.

點(diǎn)評(píng)：單純地站在“雙曲線的幾何性質(zhì)”這節(jié)內(nèi)容來看，上述的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該是比較合理的，比如，“會(huì)求雙曲線的漸近線”的教學(xué)目標(biāo)得到了很好的落實(shí)，“漸近線雙曲線的初步聯(lián)系”得到很好的揭示；但仔細(xì)琢磨后發(fā)現(xiàn)還有幾個(gè)重要的問題沒有得到解決，比如，漸近線作為雙曲線特有的幾何要素，它跟雙曲線到底有什么內(nèi)在的聯(lián)系？我們知道反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它的漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的漸近線在求法上是否一致？還有一些函數(shù)的圖像也有漸近線，例如“對(duì)勾函數(shù)”，它跟雙曲線有什么關(guān)系？這些問題若能得到揭示，不僅能夠充實(shí)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，而且有助于學(xué)生對(duì)“漸近線”本質(zhì)的理解.

要對(duì)“漸近線”進(jìn)行詮釋，顯然不能拘泥于“雙曲線的幾何性質(zhì)”這一節(jié)課，而是要站在“圓錐曲線”整個(gè)章節(jié)甚至“解析幾何”模塊的高度，根據(jù)章節(jié)或模塊中不同知識(shí)點(diǎn)的需要，綜合利用各種教學(xué)形式和教學(xué)策略，通過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，從而讓學(xué)習(xí)者獲得對(duì)“漸近線”的完整認(rèn)知，這就是“整體單元化教學(xué)設(shè)計(jì)”.

二、整體化教學(xué)分析

數(shù)學(xué)知識(shí)間相互聯(lián)系，具有很強(qiáng)的整體性與連續(xù)性，教師在進(jìn)行教學(xué)分析時(shí)不能簡單地停留在對(duì)某節(jié)課教材文本的解讀上，而是要站在知識(shí)系統(tǒng)的高度，開展“整體化”教學(xué)分析.具體而言就是站在章節(jié)、模塊，甚至是數(shù)學(xué)課程的高度去認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，全面地整合教材，連貫地理解目標(biāo)，突出學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)性和教學(xué)的方向性.

1.漸近線求解原理的揭示

由漸近線定義中的“無限接近，永不相交”，我們可以獲得漸近線的基本求解原理，那就是“極限思想”.對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程=1（a＞0，b＞0），變形+1，當(dāng)x，y趨向于無窮大時(shí)，常數(shù)1就可以忽略不計(jì)，方程就變?yōu)?，即得到漸近線方程為y=±x.

這種求漸近線的思想可以推廣到一般函數(shù).

利用此思想，還可以求類似于“分式”函數(shù)的漸近線.通過求漸近線不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了求解的技巧，更為重要的是掌握了數(shù)學(xué)基本原理.

2.對(duì)雙曲線的再認(rèn)知

我們知道圓錐曲線一般都具有類似的定義、方程結(jié)構(gòu)和幾何性質(zhì)，唯獨(dú)雙曲線具有漸近線.漸近線的開口大小決定了雙曲線的開口大小，漸近線與雙曲線似乎存在著某種深刻的聯(lián)系.

設(shè)兩條相交直線方程為bx±ay=0，“有向”距離之積為k，當(dāng)然k不等于0.則有k，化簡得，顯然所求點(diǎn)的軌跡為雙曲線.

雙曲線第三定義：到兩條相交直線的“距離”之積為定值的點(diǎn)的軌跡，其中這兩條相交直線就是雙曲線的漸近線.

由定義出發(fā)，我們很容易得到下面推論.

推論：以兩條相交直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）.反之，曲線方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=k（k≠0）表示為以直線方程A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線.

借助定義與推論我們可以判斷曲線是否為雙曲線.

更加復(fù)雜的曲線x2+xy-2y2+3y-4=0?（x+2y-1）（xy+1）=3，它表示以x+2y-1=0，x-y+1=0為漸近線的雙曲線.

三、單元化教學(xué)設(shè)計(jì)

通過“整體化”教學(xué)分析，相關(guān)教材內(nèi)容得到統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，我們就可以將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容視為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元進(jìn)行“單元化”教學(xué)設(shè)計(jì)，如圖2所示.

圖2

這樣設(shè)計(jì)的好處是從單元教學(xué)的整體目標(biāo)出發(fā)，統(tǒng)攬全局，將教學(xué)活動(dòng)的每一步、每一個(gè)環(huán)節(jié)都放到教學(xué)活動(dòng)的大系統(tǒng)中考量，突出教學(xué)內(nèi)容的主線及知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，而不是片面地突出或者強(qiáng)調(diào)某一點(diǎn).以這節(jié)課為例，學(xué)生不僅獲得了求解漸近線的一般方法，更為重要的是同時(shí)也掌握如何判定一條曲線為雙曲線，比如，“對(duì)勾函數(shù)”原來就是雙曲線，而很多“分式函數(shù)”的圖像也是雙曲線，這樣就建立起了“圓錐曲線”與“函數(shù)”之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.

事物的聯(lián)系不僅是客觀的、普遍的，而且是辯證的，即聯(lián)系形式具有多樣性和可變性，所以對(duì)任何過程的分析都應(yīng)因時(shí)、因地、因勢，根據(jù)具休事物的實(shí)際聯(lián)系，進(jìn)行具體的分析，整體單元化設(shè)計(jì)的就是普遍聯(lián)系哲學(xué)觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用.它的價(jià)值在于從更高觀點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的各要素進(jìn)行系統(tǒng)的綜合考量，使其產(chǎn)生整體效益，從而可以避免糾纏于細(xì)枝末節(jié)，做到胸有成竹、游刃有余.