合肥工業(yè)大學(xué)附中 余樹寶 (郵編:230009)

2017年高考三角題的探究剖析及教學(xué)啟示

合肥工業(yè)大學(xué)附中 余樹寶 (郵編:230009)

2017年高考數(shù)學(xué)新課標全國卷Ⅰ理科第17題:

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且 △ABC的面積為

(1)求sinBsinC;

(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求 △ABC的周長．

我們試圖就此題的來龍去脈,來透視命題者的理念與意圖,探究與剖析此類問題的特點與思路,為今后高效備考三角問題談?wù)勛约耗w淺的認識,供同行參考．

1 追根溯源

為提高備考復(fù)習(xí)的針對性和有效性,每年高考前使用全國卷的一線老師(也包括學(xué)生及學(xué)生家長)都積極踴躍地投入到試題研究、猜題押題的隊伍中,我們也不例外．不同于分省自主命題,歷年全國卷的試題結(jié)構(gòu)、考點分布、難度系數(shù)等方面相對比較穩(wěn)定,于是研究歷年考題特點、規(guī)律是各地老師樂此不疲．

1．1 延承重點

2017年高考前,重點研究了2014－2016全國新課標理科Ⅰ卷對“三角”內(nèi)容的考查,試圖從中發(fā)現(xiàn)端倪,以有效備戰(zhàn)2017年高考．

(1)重點考查三角形中的求值問題

2014年第16題:已知a、b、c分別為△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊,a＝2,且(2＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,則△ABC面積的最大值為______．

2015年第16題:在平面四邊形ABCD中,∠A＝∠B＝∠C＝75°,BC＝2,則AB的取值范圍是______．

2016年第17題:△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c．

這三題主要考查正、余弦定理、三角形面積公式及其應(yīng)用,這是歷年高考考查的熱點．2014年第16題是利用正弦定理化角為邊得b2＋c2－a2＝bc,再由余弦定理得,于是A＝,由基本不等式得bc≤4,再由面積公式得最大值為 3．2015年第16題題考查了數(shù)形結(jié)合及極限的思想,當(dāng)A與D重合時,AB最長,當(dāng)D與C重合時,AB最短,由正弦定理解兩個三角形分別得AB的極限長度,于是AB的取值范圍為2016年第17題也是由正弦定理化邊為角得,于是,再由面積公式及余弦定理得a＋b＝5,故周長為5＋

(2)重點考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題2014年第6題:如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x),則y＝f(x)在[0,π]的圖象大致為( )

2015年第8題:函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )

這兩題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．2014年第6題先根據(jù)三角函數(shù)的定義得點M(cosx,0),后由等積關(guān)系得f(x)＝|sinxcosx|,故最大值為是其一個零點,故選C．2015年第8題先由圖象確定ω＝π,φ＝,再依余弦函數(shù)的單調(diào)性,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為選項D．

(3)重點考查三角恒等變換問題

2015年第2題:sin20ocos10o－cos160osin10o＝( )

此兩題主要考查三角恒等變換,解題主要涉及到誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式、倍角公式的應(yīng)用．2014年第8題由已知得考慮正切函數(shù)單調(diào)性得,故選C．2015年第2題先由誘導(dǎo)公式得原式＝sin20°cos10°＋,故選D．

縱觀歷年考題,不難發(fā)現(xiàn)高考全國卷對三角函數(shù)與解三角形內(nèi)容的考查,突出了日常教學(xué)的重點內(nèi)容,重點考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角公式在求值、化簡中的應(yīng)用,正、余弦定理、面積公式在解三角形中的應(yīng)用．同時,我們也關(guān)注到2014、2015年對三角問題考查的試題出現(xiàn)在選擇、填空題中,2016年僅在解答題中出現(xiàn)三角問題．另外,我們還發(fā)現(xiàn),全國卷理科第17題(即解答題第一題)呈現(xiàn)出兩個數(shù)列、兩年三角的變化規(guī)律,所以在2017年考前我們就估計2017年高考第17題仍將會考查三角問題,重點會考查三角形中的求值問題或三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．2017年高考后,我們再次覺得研究歷年高考試題對備戰(zhàn)高考非常重要．

1．2 源于教材

嚴格來說,高考命題是依據(jù)部頒《普通高中課程方案》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》的必修課程、選修課程的內(nèi)容來確定考試內(nèi)容,因此高考試題的來源往往是課程內(nèi)容的再現(xiàn)、綜合和深化．細心觀察,多數(shù)歷年的考題都均在教材中找到源頭．

例如,2016年高考第17題源于人教A版第一章《解三角形》1．2《應(yīng)用舉例》課后練習(xí)題第3題:“在三角形中,求證:c＝acosB＋bcosA．”利用此題結(jié)果,輕松得到于是

2017年高考第17題也不例外,它源自并深化于人教A版第一章《解三角形》習(xí)題1．2B組第1題:“證明三角形的面積公式如果利用此題結(jié)果,由易得

由此說明高考試題雖然高于課本,但是源于課本,這也是為什么每年高考試題都給人以“似曾相識”感覺的原因．

作為一線數(shù)學(xué)老師,我們依據(jù)全國卷高考試題穩(wěn)定性的特點,深入研究歷年高考真題,可以預(yù)測高考題的“前世”;根據(jù)全國卷高考試題高于課本、源于課本的特點,回歸教材,深化課本,可以尋索高考題的“前世”．當(dāng)你知道她是從哪里來,你才有可能知道她會往哪里去．知己知彼,百戰(zhàn)不殆,對于備戰(zhàn)高考也是如此．

2 試題探究

2017年高考題的誕生,她的“容貌”及“內(nèi)涵”引起諸多老師的關(guān)注,喜歡與不喜歡、欣賞與不欣賞,她還是她,我們都必須接受,零距離接觸,你會發(fā)現(xiàn)她真的很“美”,值得研究．2017年理科第17題較全面地考查了兩角和與差公式、正弦定理、余弦定理、面積公式及其應(yīng)用,考查運算求解能力、分析問題和解決問題等能力．

2．1 問題(1)剖析

審好題是解好題的前提．審題時,要弄清楚試題給什么及求什么,要抓住已知中的有效條件．此題中“△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c”不是有效條件,它是一個習(xí)慣性的約定．問題中有效條件是“△ABC的面積為”,由此來求sinBsinC,涉及面積,自然我們應(yīng)該想到三角形面積公式．

三角形面積公式常用的有兩組(當(dāng)然它們之間可以相互推導(dǎo)):選擇也是一種能力,選擇哪一組公式最適合問題的解決是關(guān)鍵,此時要結(jié)合需要解決的問題來做選擇．由于題設(shè)中“△ABC的面積為”,故應(yīng)選擇含有邊角關(guān)系的面積公式,但這三個選一個也有講究,因中含sinA,故應(yīng)優(yōu)先考慮S△＝與已知相等,然后利用正弦定理“化邊為角”即可得到問題(1)sinBsinC的值．當(dāng)然,選擇另外兩個也可求解．

第(1)問解答(略解):

解法1由,得a2＝,由正弦定理得sin2A,又sinA≠0,得

解法3由,化邊為角得,于是

解法2由化邊為角得,于是

2．2 問題(2)剖析

問題(2)是在問題(1)解決的基礎(chǔ)上,增加兩個條件求此三角形的周長,即求b、c的值．由這樣的條件求邊長,還是有別于歷年常規(guī)．如2016年第17題,同樣是求 △ABC的周長,但它的條件很常規(guī):,△ABC的面積為因為它至少告訴六個邊角元素中的兩個．而今年這種“不走尋常路”的做法,應(yīng)該說也是一種“創(chuàng)新”．怎樣用好sinBsinC與cosBcosC的值這兩個條件,對考生來說一種能力的考驗．從方程的角度來說,兩個未知數(shù)兩個方程應(yīng)該可以分別求B、C的大小,再加上a的值已知,此三角形可解．但是不是真的能求出B、C的大小,是不是有必要去分別地去求B、C的大小,也是值得商榷的．事實上,要求此三角形的周長,只需要求出b＋c的值即可,這是考生應(yīng)該具備的整體性思想．

第(2)問解答(略解):

解法1由及已知6cosBcosC＝1,得

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA,得(b＋c)2＝9＋3bc, ①

解法2由(1)中及6cosBcosC＝1,得

解法3由及6cosBcosC＝1,得

3 教學(xué)啟示

三角函數(shù),作為高考的重要內(nèi)容之一,相比其它重點內(nèi)容,雖然難度不大,但從日常教學(xué)測試中發(fā)現(xiàn),學(xué)生得分率往往并不是很高,究其主要原因,還是師生對三角內(nèi)容的復(fù)習(xí)重視程度不夠,“輕視”導(dǎo)致“忽視”．除態(tài)度上要高度重視外,建議我們的備考復(fù)習(xí)還要注意以下兩點:

3．1 立足教材

教材內(nèi)容是最基本的數(shù)學(xué)文化知識,無論高考考題怎么命制,都要用教材中的知識及其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法去解決．如果考生連教材中最基本的概念、公式、定理等就沒有掌握,那么想順利解決那些以能力立意的試題,幾乎是不可能的．因為基礎(chǔ)知識是數(shù)學(xué)能力提升的基礎(chǔ)與前提,故回歸教材是正道．

特別是教材中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其反映的數(shù)學(xué)思想方法,還包括按照一定程序與步驟進行運算求解、數(shù)據(jù)處理、圖表繪制等基本技能,要加以分類、梳理、歸納和總結(jié)．另外,對教材中一些典型的例、習(xí)題要加以剖析和深化,籍此來提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題解決問題能力．

教學(xué)中要做到重點內(nèi)容重點復(fù)習(xí),突出“二三四”,即:兩大問題(三角形中的求值問題、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題)、三個定理(內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理)、四大公式(同角三角函數(shù)基本式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式、二倍角公式,及其變形后的公式,如輔助角公式、降次公式),因為多年來高考始終堅持重點內(nèi)容重點考查,抓住了重點,才能做到有的放矢,復(fù)習(xí)才能有針對性,也才能有備考的高效率高質(zhì)量．

3．2 強化思維

高考承載著國家選拔人才的任務(wù),為了把具有較強思維能力與創(chuàng)新能力的考生選拔出來,命題專家就會打破常規(guī),設(shè)計出一些新穎的試題,以考查考生的應(yīng)變能力．

作為教師,一定要改變過去那種把學(xué)生看作解題機器,埋頭講題刷題,強調(diào)學(xué)生機械記憶,以題海戰(zhàn)術(shù)代替數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),以經(jīng)驗積累代替理性思考,以操練代替創(chuàng)新．教學(xué)中注重分析解題思路是怎樣形成的,解決問題的方法怎樣想到的,否則,我們培養(yǎng)的學(xué)生就養(yǎng)成了善于模仿,思維定勢,創(chuàng)新能力缺失,靈活應(yīng)變能力薄弱．如平時備考資料中經(jīng)常出現(xiàn)形如asin2x＋bcos2x的問題,遇此問題,學(xué)生都知道用降冪公式將它化為asinx＋bcosx的形式,接著用輔助角公式化成 a2＋b2sin(x＋φ)形式,然后就可以求解此函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．化簡此函數(shù)解析式的目的是什么?方向是什么?如何做?為什么要這樣做?這樣做是為什么?這些問題一定要與學(xué)生講明白,只有這樣,學(xué)生在考試中遇到近似或遠似的問題,他的思路就會清晰,不至于問題條件的變化而導(dǎo)致問題的解決無從下手．再如今年高考第17題(2)問,用sinBsinC、cosBcosC及a的值來求三角形周長,條件平凡而不俗,體現(xiàn)了命題者的獨具匠心,值得我們深思!

總之,三角問題每年都會考,但?？汲Ｐ?不落俗套,只有我們幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ),強化能力,才能應(yīng)對挑戰(zhàn),取得高考的成功．

2017-07-18)

安徽省教育科學(xué)研究課題“名師工作室平臺下的教師專業(yè)發(fā)展策略的研究”(項目編號:JKZ1703)

基金項目:本文系廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃項目課題《滲透數(shù)學(xué)的真善美,提升初中數(shù)學(xué)教育的價值》研究成果(課題批準號2016YQJK168)