安徽省安慶市第一中學(xué) 洪汪寶 (郵編:246004)

一道高考真題的解法賞析與推廣引申

安徽省安慶市第一中學(xué) 洪汪寶 (郵編:246004)

題目已知F為拋物線C:y2＝4x的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),則AB ＋DE 的最小值為( )．

A．16 B．14 C．12 D．10

本題是2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科第10題,是平面解析幾何中常見(jiàn)的最值問(wèn)題,主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、基本不等式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),考查學(xué)生抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力等多種能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想方法．本題具有起點(diǎn)低、入口寬、解法多、有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力等特點(diǎn)．

1 解法賞析

解法1由條件知直線l1、l2的斜率存在且不為0,F1,0(),設(shè)l1:y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程消去y得k2x2－ (2 k2＋4)x＋k2＝0,根據(jù)韋達(dá)定理知,于是 AB ＝x1＋x2＋2＝,同理可得 DE ＝4＋4k2,所以 AB＋,當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時(shí)等號(hào)成立,因此 AB＋DE 的最小值為16,故選A．

解法賞析本解法比較常規(guī),設(shè)斜率利用點(diǎn)斜式給出直線,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理并根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng),利用垂直關(guān)系將代替k表示出另一焦點(diǎn)弦長(zhǎng),最后利用基本不等式求出最小值,一氣呵成!

解法2設(shè)直線l1的傾斜角為θ,則根據(jù)拋

解法賞析直接利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式(拋物線C:y2＝2px(p＞0),過(guò)其焦點(diǎn)且傾斜角為θ的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為),表示出兩條焦點(diǎn)弦長(zhǎng),再利用柯西不等式或基本不等式求出最小值．利用常見(jiàn)結(jié)論來(lái)解題,特別是圓錐曲線中的結(jié)論,以利于節(jié)約時(shí)間,快速解題．

解法3以點(diǎn)F為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,不妨設(shè)Aρ,θ(),其中ρ＞0,0＜θ＜π,則于是 BF ＝

解法賞析建立極坐標(biāo)系,將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)用極坐標(biāo)來(lái)表示,體現(xiàn)了極坐標(biāo)系的優(yōu)越性．

以上結(jié)論是否具有一般性呢?此時(shí)四邊形AEBD是對(duì)角線互相垂直的四邊形,其面積有最小值嗎?橢圓和雙曲線有類似結(jié)論嗎?下面筆者對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行了推廣引申．

2 推廣引申

結(jié)論1已知F為拋物線C:y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),則

(1)AB ＋DE 的最小值為8p;

(2)四邊形AEBD的面積的最小值為8p2．

證明設(shè)直線l1的傾斜角為θ,則根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得同理可得或DE ＝

結(jié)論2已知F為橢圓b＞0)的右焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),其離心率為e,焦準(zhǔn)距為p,則

證明以點(diǎn)F為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,不妨設(shè)Aρ,θ(),其中ρ＞0,0≤θ＜π,則于 是 AB ＝

進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),此時(shí) AB ＋DE 與四邊形AEBD的面積均存在最大值．于是可得下面的結(jié)論:

結(jié)論3已知F為橢圓b＞0)的右焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2,直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),其離心率為e,焦準(zhǔn)距為p,則

推導(dǎo)過(guò)程仿結(jié)論2的證明,當(dāng)θ＝0時(shí),均取到最大值．在此從略．

對(duì)于雙曲線,是否有類似結(jié)果?不過(guò)考慮到雙曲線具有兩條漸近線,為了研究問(wèn)題的方便,在此只考慮直線l1、l2與同支相交的情況,于是得到下面結(jié)論:

結(jié)論4已知F為雙曲線＞b＞0)的右焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2且直線l1與C的右支交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C的右支交于D、E兩點(diǎn),其離心率為e,且1＜e＜ 2焦準(zhǔn)距為p,則

此結(jié)論的證明過(guò)程可仿照結(jié)論2的證明．在此從略．

于是,我們將結(jié)論1、2、4統(tǒng)一為如下結(jié)論:

結(jié)論5已知F為圓錐曲線C的焦點(diǎn),過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1、l2,若直線l1與C交于A、B兩點(diǎn),直線l2與C交于D、E兩點(diǎn),其離心率為e(0＜e＜ 2),焦準(zhǔn)距為p,則

2017-07-16)