陳升富,常思江

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

比例導(dǎo)引法中剩余飛行時間的計算方法

陳升富,常思江

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

為了給比例導(dǎo)引法提供盡可能精確的剩余飛行時間,基于導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運動模型,研究了剩余飛行時間的計算方法。建立了以導(dǎo)彈前置角收斂到0為準(zhǔn)則的剩余飛行時間計算模型。對于比例系數(shù)為3時的特殊情形,利用解析方法得到了該計算模型的一階解和二階解,通過仿真分析對解的精度進行了評估;利用多項式擬合方法得到比例系數(shù)為其他值時剩余飛行時間的近似解,仿真分析表明多項式次數(shù)為5時擬合精度較好;將研究的剩余飛行時間算法應(yīng)用于攔截不同類型目標(biāo)的比例導(dǎo)引過程,結(jié)果表明,該算法用于比例導(dǎo)引攔截勻速目標(biāo)具有良好效果,在導(dǎo)彈速度足夠大時也可有效攔截勻加速目標(biāo)。

導(dǎo)彈;剩余飛行時間;比例導(dǎo)引法;多項式擬合;目標(biāo)攔截

Abstract:In order to provide an accurate time-to-go to the proportional navigation guidance,the calculation method of time-to-go was studied based on the missile-target relative motion model.The time-to-go caculation model was established according to the criterion of the missle’s leading angle converging to zero.For the special case that the navigation gain was three,the first and second order solutions of the model were obtained by using the analytical method,and the accuracy of these solutions were evaluated by simulation analysis.The approximate solution of time-to-go for the other navigation gain was obtained by using the polynomial fitting method.The simulation results show that the fifth order polynomial fitting has better precision.The time-to-go algorithm was applied to intercepting different types of tagets with proportion navigation guidance.The results show that the algorithm can effectively intercept the constant speed target and the constant acceleration target,as long as the missile’s velecity is large enough.

Keywords:missile;time-to-go;proportional navigation;polynomial fitting;target interception

比例導(dǎo)引法因其魯棒性和簡易性而廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈的制導(dǎo)[1-2]。比例導(dǎo)引法有多種形式,如以目標(biāo)視線變化率為導(dǎo)引參數(shù)的比例導(dǎo)引法以及以剩余飛行時間的倒數(shù)為導(dǎo)引參數(shù)的比例導(dǎo)引法等,其核心是制導(dǎo)指令與導(dǎo)引參數(shù)成一定的比例關(guān)系。隨著現(xiàn)代制導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展,以比例導(dǎo)引法中剩余飛行時間估算為基礎(chǔ)的攻擊時間受限、最優(yōu)制導(dǎo)以及聯(lián)合攻擊等問題越來越受到學(xué)者的關(guān)注[3-5],研究人員需要根據(jù)剩余飛行時間設(shè)計出滿足特定約束條件的比例導(dǎo)引法。因此,剩余飛行時間的精度對有效實現(xiàn)比例導(dǎo)引至關(guān)重要。目前,在聯(lián)合攻擊和最優(yōu)控制方面,研究人員針對剩余飛行時間的精確估算開展了一些工作。如文獻[4]在研究攻擊時間受限問題時使用近似碰撞假設(shè),將導(dǎo)彈彈道弧長用線性運動方程的解來近似,從而得到剩余飛行時間的估算公式。文獻[5]針對基于比例導(dǎo)引法的聯(lián)合攻擊問題,應(yīng)用小角度假設(shè)求取制導(dǎo)過程中的彈道弧長,進而估算出剩余飛行時間。文獻[6]采用時間比例法,通過已知初始條件下的剩余飛行時間求取所需估算條件下的剩余飛行時間,取得較好效果,但并未在多種條件下開展深入研究。

本文以文獻[6]的思路為基礎(chǔ),對基于導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運動模型的剩余飛行時間計算方法開展深入研究,得到比例系數(shù)為3時的一階解和二階解并進行對比分析;采用多項式擬合方法建立了比例系數(shù)為其他值時的剩余飛行時間計算模型,對其計算精度開展了評估。最后,將本文研究的剩余飛行時間算法分別應(yīng)用于攔截勻速目標(biāo)和勻加速目標(biāo)的比例導(dǎo)引過程中,給出了仿真分析結(jié)果。

1 導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運動模型

考慮平面內(nèi)攔截靜止目標(biāo)的情況,其導(dǎo)彈和目標(biāo)的運動關(guān)系如圖1所示。

圖中,M表示導(dǎo)彈,T表示目標(biāo);γ,θ,R分別表示導(dǎo)彈彈道角、目標(biāo)視線角以及彈目連線距離;φ=γ-θ,表示導(dǎo)彈速度矢量前置角(簡稱前置角);am表示制導(dǎo)指令;(Xm,Ym)表示導(dǎo)彈的位置。假設(shè)導(dǎo)彈速度為常值vm,N為比例系數(shù),則導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的運動關(guān)系滿足如下運動學(xué)方程:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

將方程(7)代入方程(3)和方程(6),有

(8)

根據(jù)方程(4)和方程(8),有

dR/dφ=(Rcotφ)/(N-1)

(9)

根據(jù)彈目運動的物理意義,不妨令φ∈[0,π),初始條件為(φ(0),R(0))。

解方程(9),可得到R關(guān)于φ的函數(shù)關(guān)系式:

(10)

(11)

方程(11)表示初始條件。

從方程(11)可以看出,當(dāng)前置角φ收斂到0時,彈目連線距離收斂到0,將方程(10)代入方程(8),得到:

(12)

由方程(12)可知,當(dāng)比例系數(shù)N≥2時,如果初始彈目距離R(0)確定,初始前置角φ(0)∈(0,π)時,則導(dǎo)彈攔截過程的前置角φ是關(guān)于時間的減函數(shù)(當(dāng)前置角φ=0時,剩余飛行時間通過初始彈目距離與導(dǎo)彈速度之比求取)。因此,剩余飛行時間tgo的計算可以轉(zhuǎn)換為求解使前置角趨于0所需的時間。

2 剩余飛行時間計算方法

2.1 比例系數(shù)N=3時的算法

比例導(dǎo)引法中,比例系數(shù)N越大導(dǎo)引彈道曲率越小,需用的法向過載也越小[1]。但N過大時,會對測量噪聲敏感,導(dǎo)致導(dǎo)引性能下降。因此,比例系數(shù)N一般取3到5,且比例系數(shù)N=3時,控制能量最優(yōu)[2]。因此,有必要研究N=3時tgo的準(zhǔn)確估算方法。當(dāng)N=3時,假設(shè)前置角φ是一個小角度,對方程(12)中的sinφ分別進行一階和二階泰勒展開,所得微分方程如下:

(13)

(14)

當(dāng)t=0時有φ(0)=0,將此條件代入上述2個微分方程分別求解,得到tgo關(guān)于φ、初始條件K和導(dǎo)彈速度vm的函數(shù)關(guān)系:

(15)

(16)

解析表達式(15)、式(16)分別為N=3時tgo的一階解和二階解。

2.2 比例系數(shù)為其他值時的算法

為了獲得比例系數(shù)為其他值時tgo的計算方法,對方程(12)進行積分并代入終止條件t=tf時,有φ(tf)=0,則

(17)

式中:tf為攔截終點的時間。

設(shè)φ1(t1)和φ2(t2)分別為K=K1以及K=K2時方程(14)的解。則

(18)

式中:

(19)

式(19)表明,如果前置角φ1(t1)趨于0的時間t1已知,則前置角φ2(t2)趨于0的時間可以通過求關(guān)于已知時間t1的比例關(guān)系來獲得。因此,tgo可通過以下比例關(guān)系來計算:

tgo(φ,K)=(K/Kb)tgo,b(φ,Kb)

(20)

式中:下標(biāo)b代表已知的基礎(chǔ)條件(φ,Rb(0)),tgo,b表示該基礎(chǔ)條件對應(yīng)的tgo(可稱為基礎(chǔ)解),K和Kb可通過方程(11)獲得。

同理對于導(dǎo)彈速度不同的攔截情況,有

tgo(φ,K)=(K/Kb)(vm/vm,b)tgo,b(φ,Kb)

(21)

式中:vm,b表示求取基礎(chǔ)解的導(dǎo)彈速度。當(dāng)不同前置角和不同比例系數(shù)的基礎(chǔ)解已知時,任意所求條件的tgo都可以通過式(20)或式(21)獲得。

根據(jù)以上分析,如果某個比例系數(shù)N關(guān)于前置角的基礎(chǔ)解已知,則任意初始條件下的tgo都可以通過關(guān)于該基礎(chǔ)解的時間比例關(guān)系來獲得。為了計算每一個比例系數(shù)N下的tgo,實際應(yīng)用時需要存儲每一個N所對應(yīng)的基礎(chǔ)解。從工程應(yīng)用角度,這是較為不便的。本文借鑒文獻[6]的思路,選取一定范圍內(nèi)的N和φ分別計算出對應(yīng)的基礎(chǔ)解,然后將其擬合成關(guān)于N的多項式:

(22)

式中:多項式的系數(shù)ai(φ)是關(guān)于前置角φ的函數(shù),j指多項式擬合的次數(shù)。

因此,tgo的具體算法如下:①通過式(10)計算不同條件下的K和Kb;②通過式(22)計算基礎(chǔ)解tgo,b(N,φ(0),Kb);③通過式(21)計算tgo(N,φ(0),K)。

2.3 仿真與分析

本節(jié)對上述tgo算法的性能進行仿真分析。為了驗證N=3時式(15)和式(16)的估算性能,取R0=6 000 m,φ=120°,vm=300 m/s,并與文獻[5]所給公式:

(23)

進行對比。

所得結(jié)果如圖2所示。圖中的實際值是指利用四階龍格庫塔法數(shù)值計算出的tgo,Δtgo指估算值與實際值之差。

由圖2(a)可知,3種算法所得tgo隨著時間的增加最終都趨于實際值。由圖2(b),文獻[5]的初始估算誤差最大,其次是一階解,而二階解全程的估算誤差都趨于0。這說明,當(dāng)N=3時,在較大前置角(φ=120°)條件下,3種算法中二階解的估算精度最高。需要指出的是,一階解和二階解盡管是在φ為小角度條件下得到的,但對于較大φ的情形仍適用。

為了擬合多項式,需要計算不同比例系數(shù)N和不同前置角φ下的基礎(chǔ)解?？紤]到工程應(yīng)用,比例系數(shù)選N=2～10(步長0.1),前置角φ(0)=0°～170°(步長0.2°),初始彈目距離Rb=3 000 m,導(dǎo)彈速度vm=200 m/s。

為得到更為準(zhǔn)確的多項式,將數(shù)值計算得到的基礎(chǔ)解分別進行4次到7次的多項式擬合。在R=6 000 m,vm=500 m/s,φ(0)=0°～170°(步長5°)的條件下,驗證不同階次多項式的計算精度。所得結(jié)果如圖3所示,圖中,縱坐標(biāo)為多項式計算值與實際值之差Δtgo。

由圖3可知,5次擬合多項式的計算精度較好且計算量相對較小。圖4(a)～4(f)為5次多項式系數(shù)隨前置角φb的變化關(guān)系圖,其中a1～a6分別表示5次擬合多項式的系數(shù)。

在N=5,R=8 000 m,vm=400 m/s條件下,考察上述5次多項式在不同初始前置角φ0下的計算精度并與文獻[5]和文獻[7]的算法進行比較,其中文獻[7]所給公式:

(24)

所得結(jié)果如圖5所示,圖中,“本文方法”是指基于5次擬合多項式求得基礎(chǔ)解并用于求解tgo的算法。

由圖5可知,當(dāng)前置角φ>100°時,文獻[5]和文獻[7]的估算精度迅速下降,而本文方法能在φ∈[0,π)的范圍內(nèi)均具有良好精度,可較好地實現(xiàn)大前置角下tgo的估算。

3 剩余飛行時間算法的應(yīng)用

3.1 攔截勻速目標(biāo)的比例導(dǎo)引過程中的應(yīng)用

本文所研究的剩余飛行時間的算法可應(yīng)用于攔截勻速目標(biāo)的比例導(dǎo)引。導(dǎo)彈與目標(biāo)的運動關(guān)系如圖6所示。下標(biāo)p表示預(yù)測攔截點。假設(shè)目標(biāo)的加速度at=0,vt為非零常數(shù),h表示目標(biāo)的預(yù)測飛行距離。

主要思想是通過構(gòu)建導(dǎo)彈與目標(biāo)飛行時間的誤差方程來預(yù)測攔截點,進而計算tgo。假設(shè)導(dǎo)彈在計算攔截點的時間內(nèi)靜止,則誤差方程可表示為

(25)

將上述誤差方程對h求一階導(dǎo)數(shù),可得:

(26)

由式(10)求得:

(27)

由彈目相對幾何關(guān)系求得:

(28)

然后可利用迭代方法(如牛頓-拉夫森迭代法)求得預(yù)測攔截點。

3.2 攔截勻加速目標(biāo)的比例導(dǎo)引過程中的應(yīng)用

當(dāng)待攔截目標(biāo)是做加速度已知的勻加速運動時,同樣可以通過預(yù)測攔截點的方法來計算tgo,與3.1節(jié)類似,建立誤差方程:

(29)

該誤差方程關(guān)于h的一階導(dǎo)數(shù):

(30)

式中:at為目標(biāo)的常值加速度,vt,0為目標(biāo)初始速度,其余導(dǎo)數(shù)的求法與3.1節(jié)類似。

3.3 仿真和分析

對于目標(biāo)為勻速運動情況,取R0=10 000 m,vm=400 m/s,vt=200 m/s,N=3,γ=15°,60°,90°。仿真結(jié)果如圖7所示。圖中,k為迭代次數(shù),表征預(yù)測點的收斂速度;Δh表示h的實際值與預(yù)測值之差。

由圖7可知,對于不同彈道角γ,通過3～4次迭代之后tgo和h的值迅速穩(wěn)定,說明本文方法具有魯棒性,且具有較高的計算精度。

對于攔截目標(biāo)為勻加速運動的情況,取R0=10 000 m,vm=600 m/s,vt,0=60 m/s,N=3,γ=15°,60°,90°,目標(biāo)加速度at=20 m/s2,仿真結(jié)果如圖8。

從圖8可以看出,與攔截勻速目標(biāo)相似,本文方法也適用于已知加速度的勻加速目標(biāo)攔截。在收斂速度及計算精度方面具有較好效果。需要指出的是,攔截勻加速目標(biāo)時,要求導(dǎo)彈必須具有足夠大的速度(vm足夠大),否則很容易產(chǎn)生脫靶。

3.4 法向過載分析

在工程實踐應(yīng)用中,導(dǎo)彈所能提供的法向過載是有限的。為了順利實現(xiàn)比例導(dǎo)引過程,需要研究不同條件下比例導(dǎo)引過程中的最大法向過載nmax。根據(jù)法向過載的定義[1]:

(31)

式中:an為導(dǎo)彈的法向加速度,g為重力加速度,取9.8 m/s2。

在γ=15°,60°,90°的條件下,針對不同比例導(dǎo)引系數(shù)和不同攔截目標(biāo)進行了仿真。所得結(jié)果如表1和表2所示。表中情況1指在R0=10 000 m,vm=400 m/s,vt=200 m/s的條件下攔截勻速目標(biāo);情況2指在R0=10 000 m,vm=600 m/s,vt,0=60 m/s,at=20 m/s2的條件下攔截勻加速目標(biāo)。

表1 N=3時不同攔截條件下nmax

表2 N=4時不同攔截條件下nmax

由表1和表2可知,在相同攔截條件下比例導(dǎo)引系數(shù)越大所需的最大法向過載nmax越大。在不同仿真條件下,針對不同攔截情況,由表1和表2可知,導(dǎo)彈在攔截過程中所需的最大法向過載nmax都相對較小,因此能夠有效實現(xiàn)比例導(dǎo)引法攔截過程。

4 結(jié)束語

本文以導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運動模型為基礎(chǔ),對比例導(dǎo)引法中剩余飛行時間的計算方法及應(yīng)用開展了深入研究。通過理論推導(dǎo)與仿真分析,可得到如下結(jié)論:

①比例系數(shù)N=3時,通過二階泰勒展開得到的剩余飛行時間計算公式在大前置角下估算精度較高且收斂快速;

②當(dāng)基礎(chǔ)解的擬合次數(shù)為5時,所得多項式估算的精度較高且能滿足大前置角下的準(zhǔn)確估算;

③本文所研究的剩余飛行時間算法用于勻速目標(biāo)的比例導(dǎo)引攔截時具有良好效果,并在導(dǎo)彈速度vm足夠大時也可有效實現(xiàn)勻加速目標(biāo)的比例導(dǎo)引攔截。

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StudyonTime-to-goAlgorithminProportionalNavigationGuidance

CHEN Sheng-fu,CHANG Si-jiang

(School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

2017-04-26

國家自然科學(xué)基金項目(11402117);中國博士后科學(xué)基金項目(2013M541676)

陳升富(1993- ),男,碩士研究生,研究方向為彈箭飛行制導(dǎo)與控制。E-mail:chenshengfu@njust.edu.cn。

常思江(1983- ),男,副研究員,博士,研究方向為外彈道設(shè)計理論、彈箭飛行控制技術(shù)。E-mail:ballistics@126.com。

TJ303.4

A

1004-499X(2017)03-0014-06