王立敏，楊繼勝，于晶賢，李秉蕓，高福榮

?

基于T-S模糊模型的間歇過程的迭代學(xué)習(xí)容錯(cuò)控制

王立敏1，楊繼勝1，于晶賢1，李秉蕓1，高福榮2

（1遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院，遼寧撫順113001；2香港科技大學(xué)化學(xué)與生物分子工程系，香港）

間歇過程不僅具有強(qiáng)非線性，同時(shí)還會(huì)受到諸如執(zhí)行器等故障影響，研究非線性間歇過程在具有故障的情況下依然穩(wěn)定運(yùn)行至關(guān)重要。針對(duì)執(zhí)行器增益故障及系統(tǒng)所具有的強(qiáng)非線性，提出一種新的基于間歇過程的T-S模糊模型的復(fù)合迭代學(xué)習(xí)容錯(cuò)控制方法。首先根據(jù)間歇過程的非線性模型，利用扇區(qū)非線性方法建立其T-S模糊故障模型，再利用間歇過程的二維特性與重復(fù)特性，在2D系統(tǒng)理論框架內(nèi)，設(shè)計(jì)2D復(fù)合ILC容錯(cuò)控制器，進(jìn)而構(gòu)建此T-S模糊模型的等價(jià)二維Rosser模型，接著利用Lyapunov方法給出系統(tǒng)穩(wěn)定充分條件并求解控制器增益。針對(duì)強(qiáng)非線性的連續(xù)攪拌釜進(jìn)行仿真，結(jié)果表明所提出方法具有可行性與有效性。

間歇過程；2D T-S模糊模型；模糊迭代學(xué)習(xí)容錯(cuò)控制；過程控制；穩(wěn)定；系統(tǒng)工程

引 言

現(xiàn)代制造業(yè)的生產(chǎn)過程主要分為連續(xù)型和間歇型兩類，其中間歇過程因其適應(yīng)高質(zhì)量、多品種和多規(guī)格的市場(chǎng)要求，近年來(lái)越來(lái)越受到人們的重視。目前，間歇生產(chǎn)過程已廣泛應(yīng)用于精細(xì)化工、生物制品、藥品生產(chǎn)、農(nóng)產(chǎn)品深加工等小批量高附加值的工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域。

隨著工業(yè)產(chǎn)品社會(huì)需求量的與日俱增，自動(dòng)控制系統(tǒng)的規(guī)模逐漸擴(kuò)大、復(fù)雜性日益增加。因此，當(dāng)生產(chǎn)設(shè)備長(zhǎng)時(shí)間處在復(fù)雜的條件下進(jìn)行生產(chǎn)操作時(shí)，故障發(fā)生的可能性也就隨之增加。而系統(tǒng)一旦發(fā)生故障，不僅可能影響產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率，還可能會(huì)造成重大的財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡。從安全生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)效益綜合考慮，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障后，希望系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的，并且盡量保證一定的控制性能，為此需要研究系統(tǒng)的容錯(cuò)控制技術(shù)。

由于間歇過程具有高度的非線性、滯后、時(shí)變和數(shù)學(xué)模型不確定等特征，這使得間歇過程的控制問題一直被認(rèn)為是化工等行業(yè)中的一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的課題，目前已引起研究者廣泛關(guān)注，出現(xiàn)了一些創(chuàng)新性成果[1-6]。迭代學(xué)習(xí)控制（ILC）方法已廣泛用來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤及控制優(yōu)化，結(jié)合間歇過程本身具有重復(fù)性等優(yōu)點(diǎn)，由Shi等[7]提出了一種復(fù)合ILC——即由沿時(shí)間方向的反饋控制策略及沿周期方向的ILC策略相結(jié)合的策略得以應(yīng)用[3,8-25]。

由于T-S模糊模型能夠有效地用來(lái)描述復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，而利用在線性系統(tǒng)中的一些成熟的控制算法可直接應(yīng)用到模糊控制中，從而促進(jìn)了模糊控制的發(fā)展并出現(xiàn)大量的創(chuàng)新性成果[26]。文獻(xiàn)[27]基于T-S模糊模型提出了保證車輛橫擺穩(wěn)定性的廣義預(yù)測(cè)控制。文獻(xiàn)[28]針對(duì)非線性切換系統(tǒng)，提出了基于T-S模型的有限時(shí)間￥控制。但是研究成果都應(yīng)用在連續(xù)系統(tǒng)中，在間歇過程中結(jié)果較少。

本文將間歇過程的非線性模型用T-S模糊模型進(jìn)行表示，在2D系統(tǒng)理論框架內(nèi)，將此模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的2D Rosser模型。在系統(tǒng)可能發(fā)生執(zhí)行器增益故障問題時(shí)，利用2D Lyapunov函數(shù)方法，以LMIs形式給出故障系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。利用MATLAB中的LMI工具箱可以很方便地進(jìn)行容錯(cuò)控制器求解。針對(duì)具有強(qiáng)非線性的連續(xù)攪拌釜，進(jìn)行仿真，結(jié)果表明所提出方法的可行性與有效性。

1 問題描述

考慮由如下形式表示的強(qiáng)非線性間歇過程

其中，(t,k)∈,(t,k)∈,(t,k)∈分別表示系統(tǒng)狀態(tài)，系統(tǒng)輸出及系統(tǒng)控制輸入；,分別表示在批次內(nèi)的運(yùn)行時(shí)刻與批次；T表示一個(gè)批次運(yùn)行的總時(shí)間；[(t,k),(t,k)]表示與系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入相關(guān)的非線性函數(shù)；[(t,k)]表示與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的非線性函數(shù)。

由于系統(tǒng)發(fā)生故障不可避免，那么在執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)（部分失效故障、完全失效故障和卡死故障3種），系統(tǒng)實(shí)際輸入F(t,k)將不等于(t,k)。在此，本文僅考慮執(zhí)行器部分失效故障情況，系統(tǒng)實(shí)際輸入表示為F(t,k)=u(t,k)。參數(shù)假定其變化在一個(gè)已知的范圍內(nèi)

(3)

因此，含有部分失效的執(zhí)行器故障的系統(tǒng)可描述為

利用文獻(xiàn)[29]提供的局部扇區(qū)非線性方法并考慮間歇過程在時(shí)間及批次上的二維特性，上述系統(tǒng)可用如下離散模糊故障模型描述

(5)

控制目標(biāo)為：在系統(tǒng)存在執(zhí)行器增益故障的情況下，設(shè)計(jì)一個(gè)容錯(cuò)控制律，使得過程的輸出盡可能地跟蹤一個(gè)給定的期望軌跡(t)，定義

引入下面的記號(hào)和定義

(7)

其中，

由式(3)和式(8)，存在一個(gè)未知矩陣0使得

=(+0)(9)

其中，

|0|≤0≤(10)

2 魯棒模糊迭代容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

2.1 等價(jià)二維描述

對(duì)于如式(5) 所描述的間歇過程，引入迭代學(xué)習(xí)控制律

這里，(t,0)為迭代算法的初始值，(t,k)∈R是待設(shè)計(jì)的ILC的更新律。ILC設(shè)計(jì)的目標(biāo)是確定更新律(t,k)∈R，使得(t)跟蹤(t)。

定義

(13)

式中，(,)代表系統(tǒng)輸出與給定輸出之間的誤差，((t,k))代表變量(t,k)沿方向的誤差。

由式(5) 與式(13) 得

其中

對(duì)于系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差，考慮一種特殊的情況，即C=,=1,2,…,，則可得到

(16)

引入如下的2D-ILC的迭代更新律，對(duì)于規(guī)則，其迭代更新律設(shè)計(jì)如下

(17)

其中，為待求的控制器增益。則系統(tǒng)整體的2D T-S模糊迭代學(xué)習(xí)更新律為

那么，2D閉環(huán)模糊故障系統(tǒng)如下

(19)

其中，0被稱為K-界，0k被稱為T-界。

定義2：對(duì)于標(biāo)量>0，如果2D閉環(huán)模糊故障系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并且對(duì)零初始條件和任意干擾，系統(tǒng)的被控輸出滿足

那么，稱該系統(tǒng)具有魯棒￥性能。魯棒￥性能表示了被控輸出對(duì)于干擾的最大敏感度。的取值越小，表明系統(tǒng)的干擾抑制性能越好。因此，在進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該將極小化。

（3）對(duì)于任意界條件和任意容許的滿足 (2) 的執(zhí)行器故障

其中，滿足上式的最小的稱為系統(tǒng)的2D收斂指標(biāo)（2D-CI）。

引理2：若表示對(duì)于所有時(shí)刻所激活的規(guī)則數(shù)，當(dāng)時(shí)，有

引理3：設(shè)和為適維矩陣或向量，對(duì)于>0，下列不等式成立

2.2 容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

定理1：針對(duì)系統(tǒng)（19），對(duì)于所有(1<≤)表示所激活的規(guī)則數(shù)，假設(shè)，給定常數(shù)0<,<1，若存在正定對(duì)稱矩陣，半正定對(duì)稱矩陣以及矩陣(=1,2,…,)，和標(biāo)量>0，使得如下矩陣不等式（LMIs）成立

(21)

其中

證明：假設(shè)存在正定對(duì)稱矩陣，半正定對(duì)稱矩陣，使得

(22)

則有

其中，=+,,= diag{h,v}。

由式(23)及引理2，式(24)右端可得

(25)

定義=max{,}，即有0<<1，則有

對(duì)于任意的整數(shù)0>0,0>0,>0，則有

……

對(duì)于上述不等式組求和可得

由引理1可知，閉環(huán)系統(tǒng)的收斂指標(biāo)不大于。

對(duì)于式（22），利用Schur引理可得

對(duì)式(27)，左乘、右乘矩陣diag{,}，再利用引理2和Schur引理便可得式(20) 成立，證畢。同理可證，式（21）成立。

定理2：對(duì)于給定的實(shí)數(shù)>1, 0<,<1，若存在塊對(duì)角矩陣，其中使得如下不等式成立

其中，

，

,

選擇更新律=-1則系統(tǒng)是2D容錯(cuò)的，且魯棒￥性能指標(biāo)小于。

其中，令

，

括號(hào)內(nèi)部分可等價(jià)表示為

由定理2中式(29)可得

2.3 設(shè)計(jì)算法

在此情況下，可直接運(yùn)用定理1進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。為了保證所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)沿和方向上均具有良好的收斂性，因此，設(shè)計(jì)控制器時(shí)需同時(shí)對(duì)系統(tǒng)的“水平”和“垂直”收斂指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，考慮到非線性優(yōu)化算法的復(fù)雜性，在實(shí)際中，可采用如下加權(quán)優(yōu)化算法。

算法1：加權(quán)優(yōu)化算法

給定加權(quán)因子0≤≤1，求解如下優(yōu)化問題1：

Subject to Eq(20)Eq(21)

其中，

若優(yōu)化問題1有可行解，且有*<1，則可設(shè)計(jì)容錯(cuò)迭代控制器。

在此情形下必須考慮系統(tǒng)的￥問題，利用定理2設(shè)計(jì)控制器。此時(shí)需要同時(shí)考慮收斂指標(biāo)，收斂指標(biāo)以及2D魯棒￥性能指標(biāo)看作待優(yōu)化的決策變量，則需要求解非線性優(yōu)化問題。若，收斂指標(biāo)已知，則采用如下優(yōu)化算法。

算法2：魯棒￥優(yōu)化控制算法

給定期望的收斂指標(biāo)上界0<,<1，求解如下優(yōu)化問題2：

Subject to Eq.(29)

若優(yōu)化問題2有可行解，則可設(shè)計(jì)迭代更新律。

3 仿真案例

考慮文獻(xiàn)[11]中研究的強(qiáng)非線性連續(xù)攪拌釜：

其中，各變量與常量參數(shù)與文中一致。令1=,2=A,=C，代入?yún)?shù)后，將每次加熱冷卻看作一個(gè)批次，則對(duì)于批次，考慮執(zhí)行器增益故障影響，擴(kuò)展文獻(xiàn)[30]中描述的扇區(qū)非線性方法至二維情況，利用PDC方法，上述的非線性模型轉(zhuǎn)化為

(32)

其中

,

，

（），

控制目標(biāo)為使反應(yīng)釜溫度跟蹤給定曲線

仿真共進(jìn)行50個(gè)批次，每個(gè)批次運(yùn)行600步。為評(píng)價(jià)控制效果，引入評(píng)價(jià)指標(biāo)()

在真實(shí)的工業(yè)體系中干擾的存在不可避免，因此，分為如下兩種情況來(lái)討論容錯(cuò)系統(tǒng)的魯棒性。

情形1：重復(fù)擾動(dòng)

在該情形中，假設(shè)=0.2×[sincos]T取=0.2，根據(jù)定理2，計(jì)算控制器增益為

圖1為在具有外界重復(fù)擾動(dòng)的情況下，閉環(huán)漸進(jìn)穩(wěn)定控制時(shí)部分批次的輸出跟蹤效果，經(jīng)過前幾個(gè)批次的不穩(wěn)定運(yùn)行后，從第16個(gè)批次開始，無(wú)論時(shí)間方向還是批次方向，系統(tǒng)可以達(dá)到零誤差跟蹤，控制器可實(shí)現(xiàn)2D魯棒控制。在第20批次時(shí)系統(tǒng)發(fā)生故障，盡管控制性能變差，但經(jīng)過幾個(gè)批次后，仍然能實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤。圖2顯示所有批次的（）。

圖1 重復(fù)擾動(dòng)下的批次響應(yīng)

Fig.1 Some batches response under repeated disturbance

情形2：非重復(fù)擾動(dòng)

該情形中，假設(shè)=(0.3 0.3)×，其中是(0,1) 間的隨機(jī)數(shù)。給定=0.75,=0.15，根據(jù)定理2及算法2得到執(zhí)行器增益

圖3為在具有外界非重復(fù)擾動(dòng)的情況下，閉環(huán)漸進(jìn)穩(wěn)定控制時(shí)部分批次的輸出跟蹤效果，經(jīng)過最初幾個(gè)批次的不穩(wěn)定運(yùn)行后，從第16個(gè)批次開始，無(wú)論方向還是方向，系統(tǒng)盡管受非重復(fù)擾動(dòng)影響不能實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤，但是系統(tǒng)基本可以達(dá)到良好的跟蹤，控制器可實(shí)現(xiàn)2D￥控制。在第20批次，執(zhí)行器發(fā)生故障，從圖3(c)可以看出，系統(tǒng)跟蹤性能變差，在第29批次時(shí)，如圖3(c)所示，系統(tǒng)甚至可達(dá)到未發(fā)生故障時(shí)的跟蹤效果，從圖4[所有批次的（）]也可明顯看出。

圖3 非重復(fù)擾動(dòng)下的一些批次響應(yīng)

Fig.3 Some batches response under unrepeated disturbance

4 總 結(jié)

針對(duì)具有執(zhí)行器故障及非線性的間歇過程，本文提出了一種基于T-S模糊模型的2D迭代學(xué)習(xí)容錯(cuò)控制策略。利用局部扇區(qū)非線性化方法及二維系統(tǒng)框架，將上述過程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的2D T-S模糊故障模型。設(shè)計(jì)基于狀態(tài)反饋的2D迭代學(xué)習(xí)容錯(cuò)控制策略并給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制律保證了系統(tǒng)即使發(fā)生故障仍然能夠穩(wěn)定。針對(duì)一個(gè)強(qiáng)非線性CSTR的仿真，證明了系統(tǒng)的有效性與實(shí)用價(jià)值。

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Iterative learning fault-tolerant control for batch processes based on T-S fuzzy model

WANG Limin1, YANG Jisheng1, YU Jingxian1, LI Bingyun1, GAO Furong2

(1College of Sciences, Liaoning Shihua University, Fushun 113001, Liaoning, China;2Department of Chemical and Biomolecular Engineering, Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong, China)

Batch processes are not with highly nonlinearity, but also suffer from the actuator failures. Study of the stability of nonlinear batch processes under failure conditions is of great significance. With considering on the actuator gain faults and the highly nonlinearity, a new T-S fuzzy model-based iterative learning fault-tolerant control method is proposed for nonlinear batch process. Firstly, the T-S fuzzy model is employed to represent the nonlinear batch process. Then a 2D compound iterative learning fault-tolerant controller is proposed by exploiting the 2D and repetitive nature of batch processes, and the equivalent 2D Rosser model of the fuzzy model is constructed. Lastly, the sufficient condition guaranteeing the system stable is given through a Lyapunov function method, and the controller gains are designed in terms of linear matrix inequalities (LMIs). Simulation to a highly nonlinear continuous stirred tank reactor (CSTR) demonstrates the feasibility and efficiency of the proposed method.

batch processes; 2D T-S fuzzy model; fuzzy iterative learning fault-tolerant control;process control;stability;systems engineering

10.11949/j.issn.0438-1157.20161608

TB 114.43

A

0438—1157（2017）03—1081—09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (61433005)；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(LJQ2014039)；廣東省創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(2013G076)。

2016-11-14收到初稿，2016-12-01收到修改稿。

聯(lián)系人：王立敏，高福榮。第一作者：王立敏（1976—），女，博士研究生，副教授。

2016-11-14.

s: WANG Limin, wanglimin0817@163.com; GAO Furong, kefgao@ust.hk

supported by the National Natural Science Foundation of China (61433005), Liaoning Province Colleges and Universities Talents Support Program (LJQ2014039) and Guangdong Innovative and Entrepreneurial Research Team Program (2013G076).