江五元,余天姣

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414006)

淺談大學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)
——一道數(shù)學(xué)習(xí)題的啟示

江五元,余天姣

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414006)

通過對(duì)無窮積分收斂的一道數(shù)學(xué)習(xí)題的解答,探究了無窮積分與無窮級(jí)數(shù)收斂之間的差異．旨在培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的能力和勇于探索的精神．

無窮積分; 無窮級(jí)數(shù); 收斂; 研究性學(xué)習(xí)

Abstract: In this paper,we discuss the difference between infinite integral and infinite series convergence by solving a mathematical problem about the convergence of infinite integral.The purpose is to train students' ability of research-oriented learning and the spirit of daring to explore.

Key words: infinite integral,infinite series,convergence,research-oriented learning

前蘇聯(lián)著名教育實(shí)踐家和教育理論家霍姆林斯基指出: “研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下,以類似科學(xué)研究的方法去獲得知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)的一種學(xué)習(xí)方式.” 對(duì)于地方本科院校來說,培養(yǎng)學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)能力十分重要.實(shí)際上,很多學(xué)生仍然習(xí)慣于“學(xué)習(xí)＝接受＋記憶”的學(xué)習(xí)模式,因此,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高,主動(dòng)性不強(qiáng)．在大學(xué)階段的教學(xué)過程中,應(yīng)該讓學(xué)生轉(zhuǎn)變到“學(xué)習(xí)＝研究＋創(chuàng)新”的學(xué)習(xí)模式中來,提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,達(dá)到人才培養(yǎng)目標(biāo).文[2]對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的作用進(jìn)行了調(diào)查分析,下面以教材中的一道習(xí)題為例來說明研究性學(xué)習(xí)的過程．

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的教材《數(shù)學(xué)分析》(第4版)關(guān)于無窮積分的內(nèi)容中有這樣一道習(xí)題:

例1[1]試證明: 若f是[a,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且收斂,則x→+∞.

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這道習(xí)題作如下推廣:

定理1 若f是[a,+∞)上的單調(diào)函數(shù),且收斂,則

注: 當(dāng)β=0時(shí),即為例1的結(jié)論.

例2 討論的收斂性．

解因?yàn)?由狄利克雷判別法可知無窮積分收斂.但顯然,極限不存在．

定理2 若f(x)在x∈[a,+∞)上一致連續(xù),且收斂,則.

推論若f(x)在x∈[a,+∞)上有有界的導(dǎo)函數(shù),且收斂,則.

證明由條件可知,?x∈[a,+∞),?M＞0,有|f′(x)|≤M．所以由拉格朗日中值定理,?x1,x2∈[a,+∞),有

所以,f(x)在x∈[a,+∞)上一致連續(xù),由定理2,有．

再由推論,我們可進(jìn)一步證明[1]中反常積分第1節(jié)中的習(xí)題:

例3 證明: 若f(x)在x∈[a,+∞)上可導(dǎo),且都收斂,則.

證明因?yàn)槭諗?由可積的必要條件,可知f′(x)在x∈[a,+∞)上有界,故由推論1可得．

本文從一道習(xí)題出發(fā),通過推廣和探究,得到了相應(yīng)的結(jié)論,并利用結(jié)論來解決教材中的習(xí)題．在這個(gè)研究性學(xué)習(xí)的過程中,學(xué)生總結(jié)了知識(shí),應(yīng)用了知識(shí),并挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí),在解決問題的過程中,學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅,從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析 [M].第4版.北京: 高等教育出版社,2010

[2]賀戰(zhàn)兵,童詠沙．大學(xué)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀調(diào)查與統(tǒng)計(jì)分析[J].長(zhǎng)沙鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2006,7(4): 145～146

On Research-oriented Learning of College Mathematics:An Inspiration of a Mathematical Problem

JIANG Wuyuan,YU Tianjiao
(College of Mathematics,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414006,China)

G642

A

1672-5298(2017)03-0082-03

2017-01-20

湖南省普通高校教學(xué)研究改革項(xiàng)目(湘教通[2015]291號(hào))

江五元(1974? ),男,湖南平江人,博士,湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院副教授.主要研究方向: 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)