趙文才,金朝永

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州 510520)

環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)的改進PSO-PID控制研究

趙文才,金朝永

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州 510520)

為實現(xiàn)環(huán)形單級倒立擺的穩(wěn)定性控制,設(shè)計了一種改進的基于粒子群算法的積分分離PID控制算法.首先通過拉格朗日方程推導(dǎo)出環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,然后用matlab計算發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定,因此需要設(shè)計外部控制器加以調(diào)節(jié).本文提出了改進粒子群算法(PSO)來整定PID控制器參數(shù),在此基礎(chǔ)上設(shè)計了一種改進的積分分離的PID控制器,在比例和積分項前加入連續(xù)變化的函數(shù)作為系數(shù)以防止積分飽和.最后在matlab中分別用基PSO-PID控制和基于改進積分分離的PSO-PID控制對環(huán)形單級倒立擺進行仿真.仿真結(jié)果表明,在改進積分分離的PSO-PID控制下,系統(tǒng)中連桿和擺桿的超調(diào)量均下降至0,調(diào)節(jié)時間分別縮短至0.8s和0.9s.這說明本文設(shè)計的控制方法能有效使環(huán)形單級倒立擺在較短的時間內(nèi)達到穩(wěn)定.

拉格朗日方程; 環(huán)形倒立擺; 粒子群算法; 積分分離; 積分飽和

Abstract: In order to realize the stability control of the single-stage inverted pendulum,an improved integral separation PID control algorithm based on particle swarm optimization is designed.First,the mathematical model of the single-stage inverted pendulum system is deduced by the Lagrangian equation,and then the system is unstable by matlab,so it is necessary to design the external controller to adjust it.Then,an improved particle swarm optimization algorithm (PSO)is proposed to set the parameters of the PID controller.On this basis,an improved integral-separated PID controller is designed to add the continuously changing function as a coefficient before the ratio and integral to prevent integral saturation.Finally,in the matlab,the PSO-PID control and the PSO-PID control based on the improved integral separation are used to simulate the single-stage inverted pendulum.Under the control of PSO-PID with improved integral separation,the overshoot of connecting rod and pendulum in the system decreased to 0,and the adjustment time is shortened to 0.8s and 0.9s respectively.The control method designed in this paper could effectively stabilize the single-stage inverted pendulum in a short time.

Key words: Lagrangian equation,rotary inverted pendulum,particle swarm algorithm,integral separation,integral saturation

0 引言

環(huán)形倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、非線性、強耦合的絕對不穩(wěn)定的單輸入多輸出的系統(tǒng).倒立擺的穩(wěn)定性控制是控制理論的典型應(yīng)用[1].以前人們主要研究的是直線軌道型的小車倒立擺系統(tǒng)的控制問題,而環(huán)形倒立擺系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng),相比于直線型的倒立擺系統(tǒng),它具有多個自由度,克服了行程限制,是校驗各種控制理論的更為簡單的試驗設(shè)備[2].目前,環(huán)形倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制研究有PID控制、LQR控制、滑?？刂?、模糊控制等.對上述控制方法進行的優(yōu)化算法有遺傳(GA)算法、粒子群算法(PSO),人工蜂群算法等.本文利用粒子群算法(PSO)全局能力強、需要調(diào)整的參數(shù)不多、具有更快的收斂速度等特點來整定PID控制器參數(shù).普通PID容易出現(xiàn)積分飽和的現(xiàn)象,對此進行的改進方法有積分分離、抗飽和積分、帶死區(qū)的積分、微分先行等.而積分分離又有分段式積分分離和連續(xù)型積分分離.為保證引入積分后,系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變,本文用連續(xù)型積分分離方法,對比例項做出了改進,即在積分發(fā)生作用后,使比例系數(shù)相應(yīng)地減少.

1 環(huán)形一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 模型建立

在忽略各種阻力和摩擦的條件下,環(huán)形一級倒立擺系統(tǒng)可以簡化為一個連桿、一個質(zhì)量塊和一個擺桿.其坐標(biāo)系如圖1所示,各物理量的參數(shù)值見表1.其中連桿的長度為l1; 擺桿長度為l2; 連桿相對于y軸的轉(zhuǎn)角為θ1; 擺桿與垂直向上方向的夾角為θ2(逆時針方向為正).這是一個二自由度系統(tǒng),連桿在水平面內(nèi)做圓周運動,通過耦合作用帶動擺桿運動,以使擺桿進入工作狀態(tài).所謂工作狀態(tài),就是擺桿相對于不穩(wěn)定平衡點為θ2=0,擺桿的θ2角保持在一定范圍內(nèi).

圖1 環(huán)形一級倒立擺的坐標(biāo)系

表1 環(huán)形一級倒立擺各物理量的參數(shù)值

在離擺桿轉(zhuǎn)動軸O1距離為l處取一小段dl,這一小段的坐標(biāo)為

則得到該小段的動能

連桿的動能

擺桿的動能

質(zhì)量塊的動能

從而系統(tǒng)的總動能為

以連桿水平位置為零勢能面,則水平連桿的勢能

擺桿的勢能

質(zhì)量塊的勢能

從而系統(tǒng)的總勢能為

設(shè)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q={q1,q2},構(gòu)建拉格朗日算子

根據(jù)拉格朗日方程

其中Qi(i=1,2)為廣義外力.又在廣義坐標(biāo)θ2上無外力,于是系統(tǒng)的運動方程為

經(jīng)整理得

將上式寫成函數(shù)的形式:

將(*)式在平衡位置進行泰勒級數(shù)[3]展開,并線性化,即

經(jīng)過拉普拉斯變換可得到傳遞函數(shù)為

以水平連桿所受外力Q1作為輸入,則有μ=Q1,輸出變量為y=(θ1,θ2)T,設(shè)系統(tǒng)的態(tài)變量為

則可以將運動微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式:

其中

1.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性分析

利用matlab函數(shù)eig(A)計算得到特征根為[0,0,6.1004,?6.1004],特征值有正實部,可見系統(tǒng)有右半平面的極點,因此該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,需要施加外部控制器.經(jīng)計算

因此,本文所研究的環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定、能控、能觀測的.

2 基于粒子群算法的PID控制器設(shè)計

2.1 PID 控制原理

PID 控制分為模擬式PID控制和數(shù)字式PID控制.模擬式PID控制以模擬的連續(xù)控制系統(tǒng)為基礎(chǔ),它由模擬PID控制器和被控對象等組成.給定值r(t)與實際輸出值y(t)存在控制偏差為

PID 控制器將偏差e(t)的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過線性組合構(gòu)成控制量,對被控對象進行控制.

PID 的控制規(guī)律為

或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式:

其中Kp為比例系數(shù);Ti為積分時間常數(shù);Td為微分時間常數(shù).

2.2 基于粒子群(PSO)[4]的PID控制器參數(shù)整定

利用粒子群算法來優(yōu)化PID參數(shù),其本質(zhì)是基于一定目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)尋有問題,即在Kp,Ki,Kd三個變量的參數(shù)空間中尋找最優(yōu)值使系統(tǒng)的控制性能達到最優(yōu),其控制方框圖如圖2所示.

圖2 粒子群優(yōu)化算法PID參數(shù)整定方框圖

利用粒子群算法優(yōu)化 PID 參數(shù)的步驟如下:

(1)初始化與算法參數(shù)設(shè)置

(2)計算每個微粒的適應(yīng)值

為防止控制能量過大并保證系統(tǒng)響應(yīng)的快速性,適應(yīng)值函數(shù)[5]如下:

其中ω1,ω2,ω3為權(quán)重,tu為連桿達到平衡狀態(tài)的時間,u(t)為PID控制器輸出.

在適應(yīng)值函數(shù)中引入懲罰功能以防止產(chǎn)生超調(diào),即一旦產(chǎn)生超調(diào),便將超調(diào)量作為適應(yīng)值函數(shù)中的最主要的一個項目,此時的適應(yīng)值函數(shù)變?yōu)?/p>

這里ω4＞＞ω1.

(3)選出個體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值

其中itermax為最大迭代次數(shù),iter為當(dāng)前迭代次數(shù).

(ⅱ)異步學(xué)習(xí)因子[7]

其中c1ini,c2ini表示學(xué)習(xí)因子c1,c2的初始值;c1fin,c2fin表示學(xué)習(xí)因子c1,c2的迭代終值;t,Tmax分別表示迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù).

(5)對微粒的速度和位置進行更新

(6)計算優(yōu)化性能指標(biāo)

若性能指標(biāo)達到算法終止條件,循環(huán)結(jié)束,否則返回步驟(2),繼續(xù)下一個循環(huán).

本文選取微粒數(shù)為40個,微粒維數(shù)為 3維,進化代數(shù)為40,r1,r2是在(0,1)之間產(chǎn)生的隨機數(shù),粒子位置和速度的區(qū)間范圍為[0,5]和[?2.5,2.5].學(xué)習(xí)因子中的參數(shù)c1ini=2.5,c1fin=0.5,c2ini=2.5,c2fin=0.5,權(quán)重系數(shù)參數(shù)ω1,ω2,ω3,ω4的取值分別為0.999,0.001,100.000,2.000.

將上文給出的環(huán)形一級倒立擺系統(tǒng)連桿和擺桿的傳遞函數(shù)運用到PSO優(yōu)化算法中對PID參數(shù)進行整定.先畫出普通PID的輸出曲線,然后畫出整定后的曲線,結(jié)果如圖3所示.

圖3 PSO和傳統(tǒng)PID的輸出綜合比較曲線

控制器參數(shù)見表2.

表2 PSO整定PID控制器參數(shù)表

可以很明顯的看出: 基于 PSO算法的控制器對系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間更短,連桿和擺桿的角度的超調(diào)量更小,系統(tǒng)取得了很好的控制效果.

3 PID控制器設(shè)計

3.1 改進積分分離的PID控制

本文采用增量式PID的控制算法,其控制算法可以描述為

在此基礎(chǔ)上,為防止積分飽和,需要對PID控制器進行改進,而積分分離法可以有效抑制飽和.積分分離可以在積分項加入系數(shù),這個系數(shù)可以是分段函數(shù)[8]也可以是連續(xù)函數(shù)[9].但分段時的次數(shù)和每一段的偏差值范圍不好把握,實際情況較為復(fù)雜,且分段會使積分的利用效率降低.因此本文選擇下列連續(xù)函數(shù)作為積分項的系數(shù):

其中a為常數(shù),為給定的誤差最小閾值.

為保證積分作用引入后系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變,需要將kp的值相應(yīng)變小[10].于是將控制算法作如下改變:

其中α=e-|e(k)|.

這時比例項和積分項同時進行了調(diào)節(jié).

3.2 仿真實驗

試驗對象為環(huán)形倒立擺系統(tǒng),輸入試驗參數(shù),a=0.08,誤差最小閾值1e-6.下面將改進的積分分離PID控制方法運用于環(huán)形倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制中,并與基于改進粒子群算法的PID控制進行比較,結(jié)果如圖4所示.

圖4

由圖4可知,積分分離后,連桿和擺桿的輸出曲線有明顯的超調(diào)量下降,用粒子群(PSO)整定后,連桿的超調(diào)量為4.978%,擺桿的超調(diào)量為2.201%,改進積分分離后,連桿的超調(diào)量為0%,擺桿的超調(diào)量為0%.此外,連桿和擺桿達到穩(wěn)定的時間也有較明顯的減少,PSO算法整定后,連桿和擺桿分別在2.0s和1.5s達到穩(wěn)定狀態(tài),改進積分分離后,連桿和擺桿分別在0.8s和0.9s后達到穩(wěn)定狀態(tài).因此,本文方法對PID控制器的改進是有效的.

4 結(jié)論

本文首先利用拉格朗日原理建立了環(huán)形一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型,然后用改進的粒子群算法對倒立擺系統(tǒng)進行了整定.通過連桿和擺桿的輸出曲線可以看出,改進的粒子群算法對PID控制器參數(shù)能夠有效整定.連桿和擺桿的輸出曲線表明,本文提出的改進型積分分離PID控制算法可以彌補超調(diào)和波動的缺陷,具有更快的響應(yīng)速度,調(diào)整時間明顯縮短,使環(huán)形倒立擺系統(tǒng)的連桿和擺桿在較短時間內(nèi)具有良好的穩(wěn)定性品質(zhì).

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Improved PSO - PID Control of Single Rotary Inverted Pendulum System

ZHAO Wencai,JIN Chaoyong
(School of Applied Mathematics,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510520,China)

O231; TP13

A

1672-5298(2017)03-0006-07

2017-06-18

趙文才(1991? ),女,湖南婁底人,廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生.主要研究方向: 系統(tǒng)與控制