韓延成，徐征和，高學平，Said M. Easa

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二分之五次方拋物線形明渠設計及提高水力特性效果

韓延成1，徐征和1，高學平2，Said M. Easa3

（1. 濟南大學資源與環(huán)境學院，濟南 250022； 2. 天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072；3. Dept. of Civil Engineering, Ryerson Univ., Toronto, ON, Canada, M5B 2K3）

為提高拋物線形斷面的水力特性，增加輸水能力，該文提出了一種二分之五次（以下簡稱2.5次）方拋物線形渠道斷面，推導其水力斷面特性。將濕周用高斯超幾何函數表示后，將水力最優(yōu)斷面的最優(yōu)化模型轉換為關于寬深比的一元方程，得到2.5次方拋物線形渠道水力最優(yōu)斷面的解析解，其最優(yōu)寬深比為2.088 3。比較結果表明，2.5次方拋物線形斷面較常規(guī)拋物線形斷面具有更好的水力學特性。與平方、半立方拋物線形斷面比較，在相同水深條件下，2.5次方拋物線形水力最優(yōu)斷面的過流能力更大。相反，在相同流量下，2.5次方拋物線形水力最優(yōu)斷面的過流面積、濕周、水深更小。2.5次方拋物線形水力最優(yōu)斷面的建造成本與其他2種斷面相比是最小的。進一步地，為便于工程應用，基于高斯勒讓德算法，提出2.5次方拋物線形斷面的三點和四點格式近似濕周算法。結果表明，四點格式近似算法具有較高精度。研究可為明渠設計提供理論依據。

渠道；水力學；設計；明渠；二分之五次方拋物線形斷面；水力最優(yōu)斷面；濕周

0 引 言

渠道輸水斷面對渠道過流能力、水深、建造成本等均有很大的影響。常見的渠道輸水斷面為梯形、矩形斷面。隨著渠道建造工藝的改進，大型襯砌機器的應用，曲線形斷面的建造越來越容易，也越來越受到歡迎。例如巴基斯坦的High Level渠，西班牙Genil-Cabra渠等[1]均采用了平方拋物線形斷面。學者們普遍認為曲線形斷面有以下優(yōu)點[2-4]：曲線形渠道斷面沒有或拐角點少、應力集中點少，因而由應力集中可能產生的裂縫少，滲漏量少；自然形成的河道或非襯砌渠道更多呈現(xiàn)曲線形斷面的形狀；曲線形渠道斷面從渠底到渠堤邊坡是漸變的，因而穩(wěn)定性更好；曲線形渠道具有更好的水力學特性。

常見的拋物線形渠道斷面主要包括平方拋物線形斷面和半立方拋物線形斷面。學者們對常規(guī)的拋物線形斷面已經進行了大量研究，不僅研究了平方拋物線形渠道的水力最優(yōu)斷面[2,5]、經濟斷面[6]，也研究了具有拋物線形底和三角形邊坡的復合斷面[7]，平底的平方拋物線形斷面[3-4]，以及平底的半立方拋物線形斷面[8]等。為方便工程應用，張新燕等[9]進行了拋物線形斷面渠道正常水深的顯式計算研究，文輝等[10]進行了平底的馬蹄形斷面的水力計算，王正中等[11]進行了收縮斷面的顯式計算研究，文輝等[12]進一步開展了拋物線形渠道恒定漸變流水面線的計算方法的研究。然而，在寬度和深度相同的情況下，平方拋物線形和半立方拋物線形斷面的底部較尖，可能仍然會影響過流能力。為提高拋物線形斷面的水力學特性，提高輸水能力，本文提出了一種二分之五次（以下簡稱2.5次）方拋物線形斷面，并對該拋物線形的水力斷面特性、最優(yōu)斷面的解析解、近似濕周算法等進行研究，以便于工程應用。

1 2.5次方拋物線形渠道斷面及其特性

1.1 斷面形狀

2.5次拋物線形斷面形狀如圖1所示。與平方拋物線和半立方拋物線相比較，2.5次拋物線形斷面具有更加平坦的底部，這有利于施工、底部壓實及增加過流能力。

以拋物線斷面底部中心為原點建立-坐標系，2.5次拋物線形斷面可表示為

式中為形狀系數。

由圖1可知，當為水面寬度的1/2（=/2）時，存在=（為水深），可用和表示為

由式（2），可用和表示為

1.2 面積與濕周

2.5次方拋物線渠道過水斷面的面積可用積分方法得到，為

2.5次方拋物線渠道的濕周可用弧長法求得，為

式中為濕周，m。

1.3 濕周的顯式近似解

式（5）中的濕周為積分形式，需要用數值方法求得。為便于工程應用，求解簡單的顯式求解算法是必要的。本文經過推導，將式（5）用高斯勒讓德三點格式表示為[13]

利用式（2），也可用和表示為

用同樣的方法，得到基于高斯勒讓德四點格式的濕周表達式為

以為0.3為例，比較三點法和四點法計算2.5次方拋物線形渠道為1.0～3.5 m時濕周的精度。將=0.3和值代入式（3）得到，然后代入式（5），用數值積分法求得濕周理論值P。同樣，將和分別代入式（6）和式（8）得到基于三點和四點高斯勒讓德的濕周近似值3和4（表1）。表中絕對誤差為近似值與理論值差值的絕對值。由表1可知，三點法計算的濕周的最大絕對誤差為0.004 01 m，四點法濕周的最大絕對誤差0.000 97 m?？梢钥闯觯狞c高斯勒讓德近似算法具有較高的精度，更接近理論值。

表1 基于高斯勒讓德近似算法的濕周值

2 2.5次方拋物線形水力最優(yōu)斷面的解析解

2.1 明渠均勻流

渠道設計流量可按謝才公式表示為[10,13-15]

式中為設計流量，m3/s；為渠底縱坡；為水力半徑，m；C為謝才系數。根據曼寧公式[13,16-19]，（為糙率）。因此式（9）可以表示為

2.2 水力最優(yōu)斷面求解模型

水力最優(yōu)斷面是面積一定的情況下，使過流能力最大的斷面，或過流能力一定的情況下，使過流面積最小的斷面[17, 20-23]。兩者得到的最終結果是相同的。因此，求解水力最優(yōu)斷面的模型表示為

目標函數：

約束條件：

式中為等式約束函數。

上式用拉格朗日乘子法可表示為

式中為拉格朗日乘子。

將式（14）代入式（13），消去，并化簡后可得到

式（15）即求解2.5次方拋物線形渠道最優(yōu)水力斷面的微分方程。

2.3 水力最優(yōu)斷面的解析解

由式（4）得到對和的偏導數

式（5）中濕周是一個積分形式，難以求導。式（6）或式（8）是近似算法，不適合求解水力最優(yōu)斷面的理論解。此處可以用高斯超幾何函數表示為[24-25]

其中S=Hypergeom([1,2],3,4) ，為高斯超幾何函數，14為高斯超幾何函數的參數。

由式（10），可以求得對和的偏導數分別為

將式（16）、（17）、（20）、（21）代入式（15），簡化后得到

（22）

設無量綱參數=/，并將其代入式（22），經過進一步簡化可以得到

式（23）只有一個變量，用數值方法求解式（23），可以得到唯一的可行解

因此，2.5次方拋物線形最優(yōu)斷面的寬深比（水面寬與水深比）是一個常數，/=2.088 3。由可以得到其他參數，將代入式（2）可以得到最優(yōu)斷面的形狀系數

將/=2.088 3和式（25）代入式（4）可以得到水力最優(yōu)斷面的過流面積的直接計算公式為

=1.491 62（26）

將/=2.088 3和式（25）代入式（18）可以得到水力最優(yōu)斷面的濕周的直接計算公式為

=3.096 33（27）

2.4 水深、水面寬度、過流面積、濕周與流量的關系

將式（26）、（27）代入式（10），可以得到流量的顯式計算公式

對上述方程求解，可以得到依據流量直接計算的顯式公式

將式（29）代入式（24）～式（27），可以得到

2.5 正常水深和臨界水深的計算

正常水深和臨界水深是明渠水力學計算的重要參數[26-29]。顯然式（29）也是最優(yōu)斷面條件下正常水深的計算公式。

臨界水深的通用計算公式為

式中為能量修正系數；為重力加速度，m/s2。

將/=2.088 3和式（26）代入式（35），可以得到臨界水深h的顯式表達式

2.6 案例分析

2.6.1案例描述

一個2.5次方拋物線形渠道，流量=25 m3/s，=0.014，=1/12 000，=1。要求：1）按2.5次方最優(yōu)拋物線形斷面設計渠道。2）驗證最優(yōu)斷面寬深比為2.088 3。

2.6.2結果與分析

1）最優(yōu)斷面設計

將已知條件代入式（29）可得到水深4.055 5 m，代入式（25）得最優(yōu)形狀系數0.109 91。由/=2.088 3得到=8.469 1 m。代入式（36）得臨界水深h=2.092 2 m。代入式（26）～（27）或式（32）～（33）得24.533 m2、=12.557 m。

2）最優(yōu)斷面寬深比驗證

取=24.533 m2，取0.5～10 m內步長0.000 5 m的不同值，根據式（4）計算得到，將和代入式（2）得到。利用式（5）得到，式（10）得到，繪制/與的關系曲線。如圖2所示，面積一定時，=2.09時最大，其結果與式（24）（2.088 3）近似。

3 2.5次方和常規(guī)拋物線形最優(yōu)斷面的比較

3.1 過流能力的比較

與平方拋物線形的比較。對于平方拋物線形斷面的水力最優(yōu)斷面，、、和分別為

2.055 5，=1.370 32，=2.998，=0.946 7-1（37）

將式（37）代入式（10），可以得到平方拋物線形斷面流量的顯式計算公式為

求解上式，可以得到平方拋物線形斷面正常水深關于的表達式為

比較式（38）和式（28）可知，相同水深情況下，2.5次方拋物線形最優(yōu)水力斷面的流量大于平方拋物線形最優(yōu)斷面的流量；比較式（39）與式（34）也可以得到，相同流量情況下，2.5次方拋物線形最優(yōu)水力斷面的水深小于平方拋物線形最優(yōu)斷面的水深。

將式（39）的代入式（37），可以得到平方拋物線形斷面的，和的顯式計算公式

用同樣的方法，可以得到半立方拋物線形的特性參數如表2。2.5次方拋物線形最優(yōu)水力斷面的過流面積、濕周較半立方拋物線形、平方拋物線形斷面的小。

3.2 建設成本比較

渠道的主要建設成本包括土方、襯砌和征地費用。忽略超高的影響后，通用的單位渠長上建造成本可表示為

=W·+W·+W·（43）

式中為單位渠長上建造成本，元；W為單位渠長上，沿橫斷面上單位面積挖土方成本，元/m2；W為單位渠長上，沿橫斷面單位長度襯砌成本，元/m；W為單位渠長上，單位渠寬的征地費，元/m。

表2 不同拋物線形渠道水力最優(yōu)斷面的水力特性

注：，為流量，為糙度，為渠底縱坡。

Note:,is discharge,is roughness,is slope of canal base。

對2.5次方拋物線形斷面，如果不考慮安全超高的影響，將式（31）～式（33）代入式（43），可以得到2.5次方拋物線形斷面單位長度渠道造價為

式中2.5為2.5次方拋物線形最優(yōu)斷面單位渠長建造成本，元；。

同樣，將式（40）～式（42）代入式（43），可以得到單位渠長平方拋物線形最優(yōu)斷面的建造成本

式中2為平方拋物線形斷面單位渠長建造成本，元。

根據表2和式（43），也可以得到半立方拋物線形斷面建造成本（單位渠長）

式中1.5為半立方拋物線形斷面單位渠長建造成本，元。

比較式（44）～式（46），可以得到

因此，2.5次方拋物線形最優(yōu)斷面的造價是最低的。

實際上，考慮安全超高后，用類似的方法，可得到2.5次方拋物線形最優(yōu)斷面的建造成本小于平方拋物線和半立方拋物線形斷面。推導過程不再贅述。

4 結論與討論

斷面設計是輸水渠道設計的最重要內容之一，其對渠道輸水效率、成本均有顯著影響。本文提出了一種二分之五次（以下簡稱2.5次）方拋物線形明渠輸水斷面，并對其水力特性、水力最優(yōu)斷面等進行了研究。

2.5次方拋物線形明渠輸水斷面具有較平坦的渠底，具有良好的水力特性。推導了2.5次方拋物線形渠道水力斷面特性。為便于工程應用，提出了基于高斯勒讓德算法的三點和四點近似濕周算法，結果表明，四點近似算法具有很高的精度。

建立了2.5次方拋物線形斷面的水力最優(yōu)斷面模型，用拉格朗日法推導了最優(yōu)斷面的微分方程。將濕周用高斯超幾何函數表示后，將水力最優(yōu)斷面模型轉化成了關于寬深比的方程，并最終求得了2.5次方拋物線形斷面的水力最優(yōu)斷面。結果表明其最佳寬深比為2.088 3。

利用水力最佳寬深比，進一步得到了水力最優(yōu)斷面條件下的正常水深、臨界水深、水面寬、過流面積、濕周的顯式計算公式。對比結果表明，水深相同的情況下，2.5次方拋物線形最優(yōu)水力斷面的流量較半立方拋物線形、常規(guī)（平方）拋物線形斷面的大；相反，在流量相同的情況下，2.5次方拋物線形最優(yōu)水力斷面的過流面積、濕周較半立方拋物線形、平方拋物線形斷面的小。建造成本對比結果表明，相同情況下，2.5次方拋物線形最優(yōu)水力斷面的建造成本較半立方拋物線形、平方拋物線形斷面的小。

到目前為止，包括梯形、矩形、拋物線形、半圓形、蛋形等在內的多種斷面已被應用于渠道或排水管道。這使設計者可以根據地質條件、輸水規(guī)模、滲漏、經濟條件等選擇最合適的斷面形式。本文提出的2.5次方拋物線形斷面為工程提供了一種新的選擇。但在實際工程中，仍然需要根據過流能力、水深、地質條件、經濟性等選擇平方拋物線形斷面還是2.5次方拋物線形斷面或其他拋物線形斷面。不同次方的拋物線形斷面均有不同的水力學特點和適宜條件。

本文選擇2.5次方拋物線形而不是更高次拋物線形，主要是其相對于平方拋物線形斷面，其水力條件有改善，但邊坡等方面變化不是很大，因此有較好的實用性，其更多性質及與其他拋物線形斷面的比較需要進一步研究。

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Design of two and a half parabola-shaped canal and its effect in improving hydraulic property

Han Yancheng1, Xu Zhenghe1, Gao Xueping2, Said M. Easa3

(1.250022,; 2.300072,; 3.)

Shapes of canal cross sections affect their discharge capacity, water depth and construction cost. Researches have shown that the curve-shaped canal such as quadratic parabolic and semi-cubic parabolic shape has good hydraulic property. However, the less smooth base of the quadratic parabolic and semi-cubic parabolic shape canal can affect the discharge capacity. To improve the hydraulic property and increase the discharge of the quadratic parabolic sections of canals, a section with two and a half parabola shape was proposed in this paper. Formulas for flow area, shape factor and water surface width for this new section were derived. The theoretical formula for the wetted perimeter was deduced using Gauss super-geometric functions. A model of the optimum hydraulic section that minimized the flow area for a given discharge was developed based on the Manning formula. The partial differential equation for the optimum hydraulic section was deduced using Lagrange’s multiplier method. After substituting the derivatives of wetted perimeter and flow area with respect to water depth and water surface width into this partial differential equation, the optimum model was successfully converted into an equation about the water surface width-depth ratio. Various explicit formulas to compute the characteristic’s parameters such as wetted perimeter, shape factor, flow area, normal water depth and critical water depth for the best hydraulic section were obtained. Using these formulas, the hydraulic design could be achieved easily. The results showed that the best ratio of water surface width-depth ratio for the optimum hydraulic section of the two and a half parabola-shaped canal was a constant (2.0 883). The two and a half parabola-shaped canal had better hydraulic properties than that with quadratic or semi-cubic parabolic sections. Comparisons with quadratic and semi-cubic parabolic sections showed that the flow discharge of the two and a half parabola-shaped section was the largest under the same water depth, which means it is an economical section. Under the same discharge, the water depth of the two and a half parabola-shaped section was smaller than the quadratic parabolic and semi-cubic parabolic sections. The flow area, wetted perimeter and water surface width of the two and a half parabola-shaped section was the least under the same discharge among the three sections. Minimum wetted perimeter and flow area implied that the cost of construction (excavation and lining cost) was minimized. In theory, the comparisons with quadratic and semi-cubic parabolic sections also showed that the construction cost of the proposed best hydraulic section was the lowest under the same discharge. To aid practical use, the 3- point and 4-point method of Gauss-Legendre approximate algorithm were presented for the wetted perimeter calculation. The application example with the water depth of 1.0-3.5 m showed that the approximate algorithm was highly accurate. The 3-point approximate format formula could meet the practical use and design with the maximum absolute error of 0.004 01 m. The results from the 4-point format formula almost equaled to those of the theoretical results with the maximum absolute error of 0.000 97 m. This research provides a theoretical basis for the design of the two and a half parabola-shaped canals with improved hydraulic properties.

canals; hydraulics; design; open canal; two and a half parabola-shaped section; optimum hydraulic section; wetted perimeter

10.11975/j.issn.1002-6819.2017.04.019

TV131.4

A

1002-6819(2017)-04-0131-06

2016-04-27

2016-09-10

國家“十二五”科技支撐計劃（2015BAB07B02-6）；山東省重點研發(fā)計劃（2016GSF117038）；南市科技發(fā)展計劃（201302052）。

韓延成，男，甘肅武威人，副教授，博士，碩士生導師，主要從事水力學及河流動力學方面的研究。濟南 濟南大學資源與環(huán)境學院，250022。Email：stu_hanyc@ujn.edu.cn

韓延成，徐征和，高學平，Said M. Easa. 二分之五次方拋物線形明渠設計及提高水力特性效果[J]. 農業(yè)工程學報，2017，33(4)：131－136. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2017.04.019 http://www.tcsae.org

Han Yancheng, Xu Zhenghe, Gao Xueping, Said M. Easa. Design of two and a half parabola-shaped canal and its effect in improving hydraulic property[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2017, 33(4): 131－136. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2017.04.019 http://www.tcsae.org