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        p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問題研究

        2017-10-11 01:42:26朱勝蘭李濤會
        關鍵詞:橢圓型方程解恒等式

        朱勝蘭,李濤會

        (無錫城市職業(yè)技術學院 無錫環(huán)境科學與工程研究中心, 江蘇 無錫 214153)

        p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問題研究

        朱勝蘭,李濤會

        (無錫城市職業(yè)技術學院 無錫環(huán)境科學與工程研究中心, 江蘇 無錫 214153)

        p-Laplacian橢圓型方程;Pohozaev恒等式;解的不存在性

        Keywords: p-Laplacian elliptic equations; Pohozaev constant equation; nonexistence of solutions

        利用Pohozaev恒等式來證明偏微分方程沒有非平凡解始于1965年Pohozaev在文獻[1]中關于二階半線性橢圓型方程齊次Dirichlet問題的正則解建立的積分恒等式。由于Pohozaev恒等式在研究解的不存在性的同時也就得到了解存在的必要條件,從而引起了國內(nèi)外學者的重視,并被積極地推廣。

        本文我們主要討論下面的p-Laplacian橢圓型問題

        (1)

        不存在非平凡解。

        關于問題(1)解的存在性和非存在性及其多解性的研究已經(jīng)取得了豐富的成果。

        2008年, Lari在文獻[2]中又研究了問題(1)在f(x,u)=p(x)uα+q(x)uβ時,即

        Δu=p(x)uα+q(x)uβ

        (2)

        整體解的存在性和不存在性。這里0<α≤β,p,q是非負連續(xù)函數(shù)。筆者通過研究得到如下結(jié)果:

        1) 假設0<α≤1<β且函數(shù)p,q滿足條件

        (3)

        2) 若方程Δv=q(x)vβ(β>1)沒有非負整體大解,那么半線性橢圓方程(2)也沒有非負整體大解。

        另外,在文中 Lari還證明了方程

        Δu=u+e-|x|uβ(β>2)

        (4)

        也沒有正的整體大解。

        最近, Wu在文獻[3]中對式(1)中的

        (5)

        解的存在性問題進行了探索,筆者通過變分方法發(fā)現(xiàn)其在滿足一定條件時在RN上存在多個正解。這里1

        與上面文獻不同的是:本文主要是利用Pohozaev恒等式來證明幾類p=2的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性。

        1 主要結(jié)論

        (6)

        (7)

        (8)

        注意到

        (9)

        (10)

        那么對于等式(8)有

        (11)

        (12)

        注意到

        (13)

        所以

        (14)

        (15)

        即存在rn→∞使得

        (16)

        下面用反正法來證明結(jié)論式(15)。

        (17)

        那么就可以取rn=r0+n,n=1,2,3,…,當所有n→∞時,rn→∞且r0

        (18)

        所以有

        (19)

        在式(14)中取r→∞得

        (20)

        結(jié)論得證,到此,定理1的證明全部結(jié)束。

        定理2 假設定理1中的條件滿足,且f(x,u)∈L1(R1),若存在α∈R1,u≠0,使得

        (21)

        則方程

        -Δu+f(x,u)=0x∈R

        (22)

        沒有非平凡解。

        2 實例認證

        下面用一個具體的例子進行說明。

        例如:在全空間上考慮方程

        (23)

        這里,1

        證明:由式(23)知此時式(6)中

        所以

        (24)

        (25)

        則可以得到

        (26)

        所以

        (27)

        從而可得

        (28)

        那么根據(jù)所給的條件,方程(23)在下列3種情況下于空間εr,s內(nèi)均無平凡解:

        1)r<2*,s<2*,λ1,λ2≥0;

        2)r>2*,s>2*,λ1,λ2≥0;

        3)r<2*,s>2*,λ1,λ2≤0。

        3 結(jié)束語

        本文首先介紹了由Pohozaev 提出的恒等式,然后運用它證明相關的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性,得到更廣泛的解存在的必要條件,并給出了一些具體的實例來驗證結(jié)論。

        [1] POHOZAEV S.Eigenfunctions of the equation Δu+λf(u)=0[J].Soviet Math Dokl,1965(6):1408-1411.

        [2] LAIR A V.Large solutions of mixed sublinear-superlinear elliptic equations[J].Math Anal Appl,2008,346:99-106.

        [3] WU T F.Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problems in RN involving sign-changing weight[J].Funct.Anal.,2010,258:99-131.

        [4] MOSCHINI L,POHOZAEV S I,TESEI A.Existence and nonexistence of solutions of nonlinear Dirichlet problems with first order terms[J].Journal of Functional Analysis,2000,177:365-382.

        [5] OTANI M.Existence and nonexistence of nontrivial solution of some nonlinear degenerate elliptic equations[ J].Funct Anal,1988,76:140-159.

        [6] STRUWE M.Variational Methods[M].Berlin:Springer-Verlag,1996.

        [7] WAGNER A.Pohozaev identity from variational viewpoint[J].Math.Anal.Appl.,2002,266:149-159.

        [8] AN T Q.Non-existence of positive solutions of some elliptic equations in positive-type domains[J].Applied Mathematics Letters,2007,20:681-685.

        [9] DE PAIVA F O.Nonnegative solutions of elliptic problems with sublinear indefinite nonlinearity[J].Journal of Functional Analysis,2011,261:2569-2586.

        [10] 朱勝蘭.P-Laplacian 橢圓型方程的整體解[J].重慶理工大學學報(自然科學),2013,27(4):138-142.

        [11] LARI A V,WOOD A W.Large solutions of sublinear elliptic equations[J].Nonlinear Anal,2000,39:745-753.

        [12] LARI A V,WOOD A W.Existence of entire large positive solutions of semilinear elliptic systems[J].Diff.Equat,2000,164:380-394.

        (責任編輯何杰玲)

        StudyontheNonexistenceofSolutionsforP-LaplacianEllipticEquation

        ZHU Shenglan, LI Taohui

        (Wuxi Environmental Science and Engineering Research Center, Wuxi City College of Vocational Technology, Wuxi 214153, China)

        2016-12-14

        國家自然科學基金資助項目(11201115); 江蘇省科技廳基礎研究計劃(自然科學基金)——青年基金項目(BK20140126)

        朱勝蘭(1984—),女,博士,講師,主要從事偏微分方程研究,E-mail:zhushenglan2164@126.com。

        朱勝蘭,李濤會.p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問題研究[J].重慶理工大學學報(自然科學),2017(9):200-204.

        formatZHU Shenglan, LI Taohui.Study on the Nonexistence of Solutions for P-Laplacian Elliptic Equation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science),2017(9):200-204.

        10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.031

        O29

        A

        1674-8425(2017)09-0200-05

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