郭名媛，韓志楠

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部， 天津 300072)

基于非參數(shù)和半?yún)?shù)CARR模型的上海股票市場(chǎng)波動(dòng)性研究

郭名媛，韓志楠

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部， 天津 300072)

以上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格的極差為研究對(duì)象，分別建立參數(shù)、半?yún)?shù)和非參數(shù)CARR(1,1)模型來(lái)研究上海股票市場(chǎng)的波動(dòng)性。采用MSE、MAE兩種誤差度量指標(biāo)比較參數(shù)、非參數(shù)、半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的擬合能力。結(jié)果表明：半?yún)?shù)CARR(1,1)模型在對(duì)上海股市波動(dòng)性的擬合方面表現(xiàn)最優(yōu)，非參數(shù)CARR(1,1)模型次之，GCARR(1,1)模型最差。

局部線性估計(jì)；非參數(shù)CARR模型；半?yún)?shù)CARR模型；波動(dòng)性；擬合能力

Abstract: Previous empirical results reveal that CARR significantly outperforms GARCH in the prediction of volatility. As we all know, the estimation of CARR is based on the function form and the residual’s distribution. It is because the estimation of the nonparametric and semi-paremetric CARR ignores the hypothesis, and the two models can reduce the error obviously. By using the daily range data of Shanghai composite index, we establish the parametric, nonparametric and semi-paremetric CARR to study Shanghai stock market’s volatility. We select MSE and MAE to compare the fitting ability of the three models. The results show that among the three models, the best one to feature shanghai stock market’s volatility is semi-parametric CARR, and the nonparametric CARR is inferior and the weak one is parametric CARR.

Keywords: local linear method; nonparametric CARR; semi-parametric CARR; volatility; fitting

ability

1 研究背景

近年來(lái)，證券市場(chǎng)中金融工具的價(jià)格波動(dòng)逐漸引起投資者的關(guān)注，同時(shí)也成為了學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)。有關(guān)金融工具價(jià)格波動(dòng)性的模型被相繼提出。例如，Engle[1]提出了自回歸條件異方差模型(auto-regression conditional heteroscedasticity， ARCH)。基于ARCH模型，Bollerslev[2]提出了廣義ARCH模型(generalized auto-regression conditional heteroscedasticity， GARCH)。隨后GARCH模型的理論內(nèi)容不斷完善，并且產(chǎn)生了許多衍生模型，如指數(shù)GARCH、求和GARCH，最終形成了GARCH類模型。隨著GARCH類模型理論的豐富，該類模型被大量運(yùn)用于實(shí)證研究中。

GARCH類模型是基于采用收盤價(jià)格計(jì)算的收益率序列構(gòu)造的。Parkinson[3]提出使用極差預(yù)測(cè)股價(jià)波動(dòng)性比使用收盤價(jià)更有效；Chou[4]在2005年提出了條件自回歸極差模型(conditional auto-regressive range， CARR)，該模型借鑒GARCH模型的建模思想，刻畫了極差的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)。自從CARR模型被提出以來(lái)，該模型與GARCH模型的對(duì)比成為了研究的熱點(diǎn)。Heng-Chih Chou[5]選取金融時(shí)報(bào)100指數(shù)和日經(jīng)225指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，比較了CARR模型和GARCH模型的預(yù)測(cè)能力，結(jié)果表明CARR模型在波動(dòng)率估計(jì)和預(yù)測(cè)方面比GARCH模型表現(xiàn)更好，結(jié)果還顯示在英國(guó)市場(chǎng)和日本股票市場(chǎng)中都存在著杠桿效應(yīng)。國(guó)內(nèi)學(xué)者程細(xì)玉等[6]也在這方面做了很多研究，通過選取美元對(duì)港幣的5 min匯率比價(jià)和美元對(duì)日元的15 min匯率比價(jià)研究CARR類和GARCH類模型的性質(zhì)，結(jié)果都表明CARR類模型比相同形式的GARCH模型在價(jià)格波動(dòng)預(yù)測(cè)方面有更好的效果。張?zhí)K林[7]以我國(guó)黃金現(xiàn)貨市場(chǎng)的主要交易品種Au99.95為研究對(duì)象，建立GARCH模型和CARR模型來(lái)研究其波動(dòng)率，結(jié)果表明CARR模型在波動(dòng)率預(yù)測(cè)面優(yōu)于GARCH模型。此外，有學(xué)者在CARR模型中引入外生變量來(lái)研究引入的變量是否對(duì)模型的預(yù)測(cè)能力有影響。比如，耿立艷等[8]將最小二乘支持向量回歸機(jī)(LSSVR)應(yīng)用于CARRX模型，通過對(duì)滬深300指數(shù)的預(yù)測(cè)實(shí)證分析，發(fā)現(xiàn)在長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中，基于LSSVR估計(jì)的CARRX模型能捕捉到極差波動(dòng)率的變動(dòng)趨勢(shì)。盧米雪[9]以混合分布假說(shuō)理論為分析框架，選取了2010年1月4日至2013年4月26日滬深300指5 min數(shù)據(jù)位研究對(duì)象，運(yùn)用CARR-X模型對(duì)我國(guó)股市的交易量與價(jià)格波動(dòng)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證研究，結(jié)果表明交易量對(duì)股價(jià)波動(dòng)有部分解釋作用，且解釋能力主要來(lái)自非預(yù)期的交易量部分。除此之外，基于CARR模型的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值研究也受到了學(xué)者的青睞，Ray Chou等[10]、Heng-Chih Chou等[11]以及國(guó)內(nèi)學(xué)者趙樹然等[12]等都在這方面做了大量研究。

以上學(xué)者所做的研究都是基于參數(shù)CARR模型。參數(shù)CARR模型是極差的條件期望與殘差項(xiàng)的乘積，而極差的條件期望則為極差的條件期望的滯后期與極差的滯后期的函數(shù)，其中殘差項(xiàng)的分布需人為假設(shè)。當(dāng)參數(shù)估計(jì)出來(lái)后，極差的條件期望的函數(shù)形式就十分明確，還可利用估計(jì)出的參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行解釋。但是參數(shù)CARR模型的估計(jì)結(jié)果依賴于極差的條件期望的函數(shù)形式和對(duì)殘差項(xiàng)的分布所做的假設(shè)，采用不同形式的模型或者假設(shè)殘差項(xiàng)服從不同的分布就可能得出不同的結(jié)論。為了避免參數(shù)CARR模型依賴于模型形式這一缺陷，有必要建立非參數(shù)和半?yún)?shù)CARR模型。

非參數(shù)模型由于完全不依賴設(shè)定的模型形式，所以能削減因模型設(shè)定錯(cuò)誤而帶來(lái)的誤差。非參數(shù)模型的一般形式為：

Yi=m(Xi)+εi,i=1,2,…,n

(1)

其中：m為未知回歸函數(shù)。如何估計(jì)該模型中的未知函數(shù)，很多學(xué)者都做了大量研究。Wand等[13]介紹了使用核估計(jì)方法來(lái)進(jìn)行未知函數(shù)的估計(jì)；Fan[14]、Fan等[15]提出了局部多項(xiàng)式的估計(jì)方法；Green等[16]、Stone[17]都采用了樣條估計(jì)的方法對(duì)一般非參數(shù)模型中的未知函數(shù)形式進(jìn)行了擬合。Bühlmann等[18]給一般非參數(shù)模型中的變量賦予了實(shí)際意義，提出了基于非參數(shù)GARCH模型的收斂估計(jì)方法。此后，很多學(xué)者開始了非參數(shù)GARCH模型的實(shí)證研究[19-22]。與非參數(shù)GARCH模型相比，將非參數(shù)的思想與CARR模型相結(jié)合而進(jìn)行的研究就非常少了。目前，只有王敏等[23]在其碩士論文中以滬深300指為研究對(duì)象，建立了參數(shù)、非參數(shù)CARR(1,1)模型，并且證實(shí)了非參數(shù)CARR(1,1)模型的擬合度高于參數(shù)CARR(1,1)模型。

盡管非參數(shù)模型能得到非常接近真實(shí)值的估計(jì)值，但是該模型的解釋能力非常弱，這是因?yàn)榉菂?shù)模型不能得到有關(guān)函數(shù)形式的任何信息。所以為了同時(shí)保留非參數(shù)CARR模型不依賴于模型形式和參數(shù)CARR模型中參數(shù)對(duì)模型的解釋作用這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)，有必要建立半?yún)?shù)CARR模型。

半?yún)?shù)模型是介于參數(shù)和非參數(shù)模型之間的一種過渡模型。通過比較這3種模型，可知半?yún)?shù)和非參數(shù)模型都避免了參數(shù)模型依賴于模型形式這一缺陷，同時(shí)，半?yún)?shù)模型還保留了參數(shù)模型中參數(shù)對(duì)模型具有解釋作用這一優(yōu)點(diǎn)，而非參數(shù)模型不具備該能力，使得該模型逐漸成為了學(xué)者研究的熱點(diǎn)[24-27]。

半?yún)?shù)模型的一般形式為：

(2)

其中：g為R1上的未知函數(shù)；B為p維待估參數(shù)向量；εi為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均值為0，具有有限的方差σ2。相對(duì)來(lái)說(shuō)，針對(duì)式(2)的性質(zhì)及其估計(jì)方法的文章就有所減少了。Shi Peide等[28]考慮了固定設(shè)計(jì)下該模型的估計(jì)問題。國(guó)內(nèi)學(xué)者柴根象等[29]基于模型的可加性估計(jì)出了模型的參數(shù)。趙選民等[30]對(duì)該模型的非參數(shù)部分采用核估計(jì)方法，獲得了非參數(shù)函數(shù)的最優(yōu)收斂估計(jì)量。與前述兩種研究方向相比，將式(2)設(shè)定為波動(dòng)性模型進(jìn)行研究的文章就非常之少了，而且研究中所采用的波動(dòng)性模型僅限于GARCH模型。國(guó)內(nèi)學(xué)者陸書芳[31]以上證綜指為研究對(duì)象建立了半?yún)?shù)GARCH模型來(lái)研究上海證券市場(chǎng)的波動(dòng)性；國(guó)外學(xué)者Gallant[32]提出了基于半?yún)?shù)GARCH模型的最大線性估計(jì)方法；Shin[33]提出了半?yún)?shù)GARCH(1,1)-M模型；Yang[34]針對(duì)匯率交換市場(chǎng)的波動(dòng)性建立了半?yún)?shù)GARCH模型。Yang等[35]提出了半?yún)?shù) EGARCH 模型，并將其用于中國(guó)股票市場(chǎng)的實(shí)證分析中。

目前，還鮮有文獻(xiàn)對(duì)半?yún)?shù)CARR模型進(jìn)行研究。據(jù)上述相關(guān)文獻(xiàn)中非參數(shù)模型和半?yún)?shù)模型的階數(shù)設(shè)定經(jīng)驗(yàn)，本文建立了一階非參數(shù)和半?yún)?shù)CARR模型對(duì)上海證券市場(chǎng)的波動(dòng)性進(jìn)行研究，并對(duì)參數(shù)CARR模型、非參數(shù)CARR模型和半?yún)?shù)CARR模型的擬合能力進(jìn)行了比較。

2 參數(shù)、非參數(shù)和半?yún)?shù)CARR(1,1)模型介紹

2.1參數(shù)CARR(1,1)模型

在模型形式和性質(zhì)方面，參數(shù)CARR模型類似于GARCH模型以及ACD模型。CARR(1,1)模型如式(3)所示：

(3)

2.2 非參數(shù)CARR(1,1)模型

非參數(shù)CARR(1,1)模型只包含一般的函數(shù)形式：

(4)

式(4)中的Rt、λt、εt所表示的內(nèi)容同式(3)，只是在非參數(shù)CARR(1,1)模型中并不要求εt服從某一特定的分布。式(4)與式(3)最大的區(qū)別在于引入了一個(gè)光滑但未知的函數(shù)m(·)。估計(jì)模型中函數(shù)m(·)是擬合非參數(shù)CARR(1,1)模型最主要的問題。

2.3 半?yún)?shù)CARR(1,1)模型

半?yún)?shù)CARR(1,1)模型包括簡(jiǎn)單的參數(shù)CARR模型的形式，同時(shí)又引入了更一般的函數(shù)形式。半?yún)?shù)CARR(1,1)模型形式如式(5)：

(5)

式(5)中，Rt、λt、εt、α所表示的內(nèi)容同式(3)，只是在半?yún)?shù)CARR(1,1)模型中并不要求εt服從某一特定的分布。同參數(shù)CARR(1,1)模型相比，α的存在增加了半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的解釋能力。式(5)與式(3)最大的區(qū)別在于引入了一個(gè)光滑但未知的函數(shù)m(·)。估計(jì)模型中的α和函數(shù)m(·)是擬合半?yún)?shù)CARR(1,1)模型最主要的問題。

3 非參數(shù)、半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的估計(jì)算法

3.1非參數(shù)CARR(1,1)模型的估計(jì)

為了估計(jì)非參數(shù)CARR(1,1)模型，必須對(duì)式(4)進(jìn)行變形，變形之后的形式如式(6)所示：

Rt=m(Rt-1,λt-1) +ξt

(6)

其中：ξt=m(Rt-1,λt-1)(εt-1)，且ξt是期望為0、相互獨(dú)立的條件異方差過程。一般的非參數(shù)模型的估計(jì)方法主要有核估計(jì)、鄰近估計(jì)、局部線性估計(jì)、樣條估計(jì)等，這些估計(jì)方法都比較成熟。其中核估計(jì)和局部線性估計(jì)因其原理簡(jiǎn)單易懂且可操作性強(qiáng)被經(jīng)常使用，但是核估計(jì)存在邊界效應(yīng)，估計(jì)結(jié)果的誤差會(huì)大于局部線性估計(jì)結(jié)果的誤差，所以局部線性估計(jì)方法的使用率更高于核估計(jì)方法?？紤]到式(6)中含有未知變量λt-1，不同于一般的非參數(shù)模型，需采用迭代算法求出未知函數(shù)的漸進(jìn)估計(jì)。綜合考慮，本文將局部線性估計(jì)嵌套到迭代算法中來(lái)估計(jì)最終的模型。

迭代過程如下：

第1步：采用極大似然估計(jì)方法估計(jì)基于標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)、weibull分布、gamma分布下的參數(shù)CARR(1,1)模型中的參數(shù)，從中選擇最優(yōu)模型，以該最優(yōu)模型的極差的條件期望{λt,0;1≤t≤n}為半?yún)?shù)模型中的λt-1的初始值，此時(shí)設(shè)迭代次數(shù)j=1。

第2步：用{Rt;2≤t≤n+1}對(duì){Rt;1≤t≤n}和第一步得到的{λt,0;1≤t≤n}做非參數(shù)回歸，此時(shí)非參數(shù)回歸采用二元局部線性回歸估計(jì)，該估計(jì)通過式(7)實(shí)現(xiàn)：

Kh1(Rt-1-R)Kh2(λt-1-λ)

(7)

其中：K(·)為核函數(shù)；h為帶寬。

第4步：將迭代次數(shù)j的值加1返回第2步，持續(xù)到估計(jì)結(jié)果穩(wěn)定時(shí)為止。

研究以上步驟可以發(fā)現(xiàn)：如何進(jìn)行局部線性估計(jì)是整個(gè)迭代過程的核心問題。

3.2 半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的估計(jì)

為了估計(jì)半?yún)?shù)CARR(1,1)模型，必須對(duì)式(5)進(jìn)行變形，變形之后的形式如式(8)所示：

Rt=αRt-1+m(λt-1) +ξt

(8)

其中：ξt=Rt-λt，ξt是一個(gè)期望為0、相互獨(dú)立、條件異方差過程。

一般的半?yún)?shù)模型的估計(jì)方法主要有最小二乘核估計(jì)、最小二乘鄰近估計(jì)、最小二乘局部線性估計(jì)等。其中，最小二乘局部線性估計(jì)因其原理簡(jiǎn)單易懂且可操作性強(qiáng)被經(jīng)常使用。考慮到式(8)中含有未知變量λt-1，不同于一般的半?yún)?shù)模型，需采用迭代算法求出參數(shù)和未知函數(shù)的漸進(jìn)估計(jì)。綜合考慮，本文將最小二乘局部線性估計(jì)嵌套到迭代算法中來(lái)估計(jì)最終的模型。

具體的運(yùn)算步驟如下：

第1步：采用極大似然估計(jì)方法估計(jì)基于標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)、weibull分布、gamma分布下的參數(shù)CARR(1,1)模型中的參數(shù)，從中選擇最優(yōu)模型，以該最優(yōu)模型的極差的條件期望{λt,0;1≤t≤n}為半?yún)?shù)模型中的λt-1的初始值，此時(shí)設(shè)迭代次數(shù)j=1。

第4步：將迭代次數(shù)j的值加1返回第2步，持續(xù)到估計(jì)結(jié)果穩(wěn)定時(shí)為止。

研究以上步驟可以發(fā)現(xiàn)：最小二乘局部線性估計(jì)實(shí)質(zhì)上是局部線性估計(jì)和最小二乘估計(jì)相結(jié)合而形成的一種方法。其中，最小二乘法是計(jì)量經(jīng)濟(jì)研究中最常用的方法，在此不作贅述。所以，同非參數(shù)CARR(1,1)的估計(jì)方法一樣，如何進(jìn)行局部線性估計(jì)是擬合半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的核心問題。

3.3 局部線性估計(jì)

局部線性估計(jì)是局部多項(xiàng)式估計(jì)的特殊情況。

設(shè)變量Y,X，且變量Y與X之間的回歸關(guān)系為y=m(x)，回歸函數(shù)m(x)在x0的一個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)的p階導(dǎo)數(shù)，利用Taylor公式將m(x)在x0處展開：

(9)

運(yùn)用最小局部加權(quán)平方和的方法估計(jì)出βj，計(jì)算公式如下：

(10)

其中：n為樣本數(shù)；k(·)表示核函數(shù)；h表示帶寬；β0=m(xr)；β1=m′(xr)。經(jīng)過計(jì)算可以得到：

(11)

其中：

(12)

衡量估計(jì)精度的常用指標(biāo)為均方誤差(mean square error， MSE)

(13)

其中

(14)

(15)

3.3.1 核函數(shù)的選取原則

在理論上，核函數(shù)必須為高階函數(shù)族，而且具備對(duì)稱性，即滿足：

(16)

證明見文獻(xiàn)[36]。

從以上理論可知：核函數(shù)不一定是密度函數(shù)。但是在應(yīng)用中，一般選取密度函數(shù)為核函數(shù)，這是因?yàn)檫x取密度函數(shù)作為核函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)精度更高。常見的核函數(shù)有Boxcar、Gaussian、Epanechnikov、Tricube。而核函數(shù)的性能通常是通過漸進(jìn)均方誤差(asymptotic integral mean square error，AMISE)來(lái)衡量的，核函數(shù)Epanechnikov能使AMISE達(dá)到最小[37]，所以本文選取Epanechnikov作為核函數(shù)。

3.3.2 帶寬的選取原則

由式(14)、(15)可知：帶寬過大意味著過度平均化，會(huì)掩蓋分布的局部特征，造成較大的偏差；帶寬過小會(huì)增加隨機(jī)效應(yīng)，造成較大的方差。鑒于此，需選取最優(yōu)帶寬來(lái)權(quán)衡偏差與方差。理論上，最優(yōu)帶寬的確定主要有3種方法，分別是極小化均方誤差法(mean square error， MSE)、極小化積分均方誤差法(integral mean square error， MISE)和極小化漸進(jìn)積分均方誤差(asymptotic integral mean square error， AMISE)[38]。采用以上3種方法確定最優(yōu)帶寬都需要對(duì)密度函數(shù)有一定的假設(shè)，實(shí)際上在進(jìn)行實(shí)證時(shí)，數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，往往存在不滿足假設(shè)的情況，導(dǎo)致了這3種方法在理論上具備可行性，在實(shí)際操作中困難較大。

Allen[39]和Rudemo[40]提出了采用交叉驗(yàn)證法(cross validation，CV)確定帶寬。Stone[41]證明了交叉驗(yàn)證法的合理性。CV法是一種數(shù)據(jù)本源法(data based)，不需要對(duì)密度函數(shù)假設(shè)，但是CV方法計(jì)算復(fù)雜。Wahba[42]對(duì)CV方法進(jìn)行了改良，提出了廣義交叉驗(yàn)證(generalized cross validation，GCV)。

(17)

(18)

其中：I表示單位矩陣；tr(·)表示矩陣的跡。最小化GCV可得到所需要的最優(yōu)帶寬。

Parkasa[43]證明了在進(jìn)行非參數(shù)回歸估計(jì)時(shí)，核函數(shù)的不同選擇對(duì)估計(jì)結(jié)果并不敏感，而相差甚小的帶寬的估計(jì)結(jié)果卻差別很大，說(shuō)明了帶寬決定著估計(jì)效果的優(yōu)劣。因此，本文在確定以Epanechnikov為核函數(shù)后，再采用GCV方法確定帶寬以進(jìn)行局部線性估計(jì)。

4 實(shí)證研究

4.1 數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)特征

本文選取上海證券綜合指數(shù)(簡(jiǎn)稱上證綜指)為研究對(duì)象，以該對(duì)象的日內(nèi)最高價(jià)與最低價(jià)的自然對(duì)數(shù)之差為樣本序列。樣本的選取時(shí)間段為1990年12月19日至2014年6月18日，總共 5 746個(gè)數(shù)據(jù)。

表1 上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格極差序列的基本統(tǒng)計(jì)特征

從表1可知：該樣本的中位數(shù)小于均值，存在明顯的右偏現(xiàn)象。針對(duì)樣本的正態(tài)分布特征，本文采用了Jarque-Bera(即JB)統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)。該統(tǒng)計(jì)量的值為1 635.395 2，明顯拒絕了正態(tài)分布的原假設(shè)。

表2給出了利用Augmented Dickey-Fuller(ADF)方法對(duì)上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格極差序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)的結(jié)果。

表2 上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格極差序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

從檢驗(yàn)結(jié)果看，在1%、5%、10% 3個(gè)顯著性水平下，單位根檢驗(yàn)的臨界值分別是-3.431 3、-2.861 8、-2.567 0，均大于相應(yīng)臨界值，從而拒絕原假設(shè)，表明上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格極差序列不存在單位根，是平穩(wěn)序列。

4.2 參數(shù)CARR(1,1)模型的建模

假設(shè)參數(shù)CARR(1,1)模型中的殘差項(xiàng)分別服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布、Weibull分布和Gamma分布，以平穩(wěn)的上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格的極差序列為樣本數(shù)據(jù)建立參數(shù)CARR(1,1)模型，見表3。

表3 參數(shù)CARR(1,1)模型的估計(jì)結(jié)果

注：[ ]中是參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量，( )是參數(shù)的p值

從表3可以看出：按照最大似然值法，GCARR(1,1)模型的對(duì)數(shù)似然值最大，并且該模型中的參數(shù)可全部通過檢驗(yàn)，說(shuō)明在所建立的3個(gè)模型中，GCARR(1,1)模型是最優(yōu)模型，能貼切地描述上海股票市場(chǎng)的波動(dòng)性。

4.3 非參數(shù)CARR(1,1)模型的建模

以平穩(wěn)的上證綜指極差序列為樣本數(shù)據(jù)建立非參數(shù)CARR(1,1)模型，因?yàn)榉菂?shù)CARR(1,1)模型沒有具體的函數(shù)形式，所以在迭代的過程中只能通過選取誤差度量指標(biāo)來(lái)衡量模型的擬合優(yōu)度。本文選取平均平方誤差(MSE)、平均絕對(duì)誤差(MAE)兩種度量指標(biāo)作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。

(19)

非參數(shù)CARR(1,1)模型的逐次迭代結(jié)果如表4所示。

表4 非參數(shù)CARR(1,1)的MSE和MAE

從表4可以看出：在迭代的過程中，MSE和MAE的值逐漸變小，說(shuō)明采用局部線性估計(jì)方法進(jìn)行迭代得到的結(jié)果具備穩(wěn)定性和收斂性。其中，MSE的結(jié)果從第1次迭代的0.000 397 613到第12次迭代的0.000 125 349，誤差下降了68.47%，12次迭代的平均誤差是0.000 250 63。非參數(shù)CARR(1,1)模型的MAE的結(jié)果從第1次迭代的0.006 961 668到第12次迭代的0.006 209 946，誤差下降了10.79%，12次迭代的平均誤差是0.006 557 332。

4.4 半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的建模

表5 參數(shù)α的逐次估計(jì)結(jié)果

從表5可以看出：以上證綜指為樣本建立的半?yún)?shù)CARR(1,1)模型中的參數(shù)α的估計(jì)經(jīng)過每次迭代后，估計(jì)結(jié)果都相差不大，說(shuō)明了該估計(jì)方法具備穩(wěn)定的性質(zhì)。參數(shù)α的取值表示極差的滯后期對(duì)極差的條件期望的影響程度，表5中參數(shù)α的估計(jì)結(jié)果可以說(shuō)明極差的滯后期對(duì)極差的條件期望的影響不是很大。

同樣以MSE和MAE為誤差度量指標(biāo)，半?yún)?shù)CARR(1,1)模型在迭代的過程中誤差變化如表6所示。

表6 半?yún)?shù)CARR(1,1)的MSE和MAE

從表6所示的MSE和MAE的結(jié)果可以看出：半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的估計(jì)值與真實(shí)值之間的誤差經(jīng)過逐次迭代后，估計(jì)結(jié)果逐漸趨于穩(wěn)定。MSE的結(jié)果從第1次迭代的0.000 181 055到第12次迭代的0.000 115 915，誤差下降了35.97%，12次迭代的平均誤差是0.000 160 327。半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的MAE的結(jié)果從第1次迭代的0.006 663 427到第12次迭代的0.006 033 249，誤差下降了9.45%，12次迭代的平均誤差是0.006 473 115。

4.5 模型的擬合能力評(píng)價(jià)

圖1～3分別表示了GCARR(1,1)、非參數(shù)CARR(1,1)、半?yún)?shù)CARR(1,1)模型的實(shí)際值與估計(jì)值之間的對(duì)比。

圖1 GCARR(1,1)的真實(shí)值與估計(jì)值對(duì)比

圖2 非參數(shù)CARR(1,1)的真實(shí)值與估計(jì)值對(duì)比

圖3 半?yún)?shù)CARR(1,1)的真實(shí)值與估計(jì)值對(duì)比

為了更精確地判別參數(shù)GCARR(1,1)、非參數(shù)、半?yún)?shù)CARR(1,1)模型哪個(gè)可以更好地?cái)M合上海證券市場(chǎng)的波動(dòng)性，本文對(duì)比了這3個(gè)模型的MSE和MAE。

表7 參數(shù)GCARR(1,1)、非參數(shù)、半?yún)?shù)CARR(1,1)的MSE和MAE

表7通過比較MSE和MAE可知：GCARR(1,1)模型的估計(jì)值與真實(shí)值之間的差異最大。通過比較非參數(shù)CARR(1,1)和半?yún)?shù)CARR(1,1)可知：半?yún)?shù)(1,1)的擬合優(yōu)度高于非參數(shù)CARR(1,1)模型，說(shuō)明在以上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格的極差為研究對(duì)象時(shí)，半?yún)?shù)CARR(1,1)模型比非參數(shù)CARR(1,1)模型更加穩(wěn)定。所以，半?yún)?shù)CARR(1,1)的擬合優(yōu)度最高，非參數(shù)CARR(1,1)次之，參數(shù)GCARR(1,1)擬合優(yōu)度最差，說(shuō)明了半?yún)?shù)CARR(1,1)最適合描述上海股票市場(chǎng)的波動(dòng)性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于參數(shù)、非參數(shù)和半?yún)?shù)CARR(1,1)模型討論了上海股票市場(chǎng)的波動(dòng)性，實(shí)證分析結(jié)果表明：

1) 本文采用迭代算法進(jìn)行非參數(shù)、半?yún)?shù)CARR(1,1)模型擬合時(shí)，每次擬合的結(jié)果都相差不大，說(shuō)明本文采用的估計(jì)方法具有比較穩(wěn)定的性質(zhì)。

2) 通過實(shí)證得出的MSE和MAE可知：在所建立的3種模型中，半?yún)?shù)CARR(1,1)模型是擬合優(yōu)度最高的模型。在對(duì)上證綜指日對(duì)數(shù)價(jià)格的極差數(shù)據(jù)進(jìn)行半?yún)?shù)模型擬合時(shí)，趨于穩(wěn)定的非參數(shù)部分?jǐn)M合的曲線大致呈直線形式，說(shuō)明極差的條件期望的滯后期以線性的方式影響著極差的條件期望的函數(shù)形式。 3) 無(wú)論是參數(shù)、非參數(shù)還是半?yún)?shù)CARR(1,1)模型都說(shuō)明了上海股票市場(chǎng)的波動(dòng)具有聚集性和持續(xù)性。

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(責(zé)任編輯何杰玲)

NonparametricandSemiparametricCARRModelsforShanghaiStockMarketVolatility

GUO Mingyuan, HAN Zhinan

(College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

2016-02-24

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(14CTJ012)

郭名媛(1979—)，女，天津人，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事金融系統(tǒng)分析研究，E-mail：leu2@163.com；韓志楠(1991—)，女，山西臨汾人，碩士研究生，主要從事金融時(shí)間序列分析研究。

郭名媛，韓志楠.基于非參數(shù)和半?yún)?shù)CARR模型的上海股票市場(chǎng)波動(dòng)性研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(9):172-181.

formatGUO Mingyuan, HAN Zhinan.Nonparametric and Semiparametric CARR Models for Shanghai Stock Market Volatility[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(9):172-181.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.027

O21;F830

A

1674-8425(2017)09-0172-10