涂犁明，方 華

（上海理工大學管理學院，上海200093）

對中證500指數(shù)波動性的分析研究
——基于A RM A-G A RCH族模型

涂犁明，方 華

（上海理工大學管理學院，上海200093）

以中證500指數(shù)收益率為研究對象，利用不同假設分布的GARCH族模型對收益率波動性進行分析。結果表明：收益率序列存在明顯的波動集群現(xiàn)象，而且并非正態(tài)分布；基于t分布下的ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型可以較好的描述收益率序列的波動集群現(xiàn)象；基于GED分布的ARMA(1，1)-EGARCH(1，1)模型則是最佳模型，同時說明了中證500指數(shù)收益率存在杠桿效應，且利空消息影響大于利好消息。

GARCH模型；EGARCH模型;AIC;t分布；GED分布

Abstract:This paper makes the return of the CSI 500 index as the research object and uses the GARCH model with different assumptions to analyze the volatility of returns.It shows obvious volatility clustering in return series,and it is not normal distribution.In this paper,the ARMA(1,1)-GARCH(1,1)model with t distribution can describe the volatility clustering of return series.The ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)model based on the GED distribution is the best model,and shows that the return of the CSI 500 index exist leverage effect,and bad news always cause a large fluctuation than good news.

Key words:GARCH model;EGARCH model;AIC;t-distribution;GEDdistribution

1 引言

吳長鳳[1]首次利用回歸-GARCH模型初步研究了上證指數(shù)和深證指數(shù)波動性之間的關系。程千里，周少甫證明了我國股市收益存在尖峰厚尾特點，和波動集群，同時證明存在不對稱性。陳健[2]則在GARCH模型中引入t分布代替正態(tài)分布假設進行上證指數(shù)的實證。馬丹[3]對上證指數(shù)收益率進行多個GARCH模型的分析說明了我國股市杠桿效應存在。魯萬波[4]則運用了非參數(shù)GRACH(1，1)模型來進行研究，證明了在對我國股市的預測上，非參數(shù)模型更加精確。李杰和朱文俊[5]利用GARCH-M模型比較了上證指數(shù)和國外6個綜合指數(shù)，說明了相對成熟市場，我國股市的波動比較劇烈，而對于新興市場國家，我國股市的波動屬于溫和。茹正亮，楊芝艷[6]等評價了各種利非對稱的GARCH模型對我國股市的預測能力。在直接對中證500指數(shù)的研究中，杜雨薇[7]利用GARCH模型和EGARCH模型對指數(shù)收益率進行建模，并進行了五個月的預測。

以上文獻直接對中證500指數(shù)進行研究的文章較少，大多對上證指數(shù)，深證指數(shù)進行研究，很少有學者關注中證500指數(shù)，本文試圖對這反映小市值公司股價的指數(shù)做一些初步研究。同時過往研究中均值模型和條件方差模型的選擇也比較模糊，本文試圖利用AIC信息準則解決這個問題。

2 實證模型簡介

2.1 GARCH模型

GARCH模型也即是廣義自回歸條件異方差模型是由 Bollerslev（1986）在Engle提出的 ARCH模型基礎上發(fā)展而成的，該模型能夠較好地解決時間序列中由于波動而產(chǎn)生的異方差現(xiàn)象。而且使得待估參數(shù)減少，對未來條件方差的預測更加準確。GARCH(1,1)模型的具體形式為:

其中（1）式稱為GARH模型中的均值方程，其中Xt*為解釋變量向量，β為相應的系數(shù)向量。εt為擾動項，一般假設其服從標準正態(tài)分布，但金融數(shù)據(jù)往往存在尖峰厚尾現(xiàn)象，所以有時也使用t分布或者廣義誤差分布（GED分布）等；（2）式為GARCH模型中的條件方差方程，反映的是均值方程中殘差項的波動情況。

2.2 TARCH模型

對資產(chǎn)價格波動性的影響“壞消息”往往總是大于“好消息”，針對此，Glosten，Jagannathan and Runkle（1993）提出了非對稱的“門限 GARCH”模型，簡記為GARCH模型，以TARCH(1,1)模型為例，均值方程不變，該模型中的條件方差被設定為：

其中，1(·)是一個示性函數(shù)，即當均值方程中的εt＞0時，其值為1，反之，其值為0。λ1ε2t-1*1（εt-1＞0）即為非對稱效應項，只要λ1顯著不為零，則存在非對稱效應。否則不存在。

2.3 EGARCH模型

同樣，EGARCH模型也是針對非對稱效應而推廣的，它是由Nelson（1991）提出的，同時在標準的GARCH模型中，對參數(shù)的取值有所限制，使MLE估計不便，EGARCH模型對參數(shù)沒有要求，從而更適合建模以一個EGARCH(1,1)模型為例，該模型相對于GARCH(1,1)模型均值方程不變，方差方程做了一定的改動，即

3 實證分析

文章選取了中證500指數(shù)從2010年1月4日到2017年4月28日共1 777個交易日數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于東方財富網(wǎng)。為得到收益率數(shù)據(jù)，通過對中證500收盤價進行對數(shù)差分，即：

從而得到1 776個對數(shù)收益率數(shù)據(jù)，本文利用軟件stata11[8]和eviews8進行數(shù)據(jù)處理和模型建立。

3.1 統(tǒng)計性描述

由圖1可知，收益率序列圍繞0值上下波動，沒有明顯的趨勢變化，但卻存在明顯的波動性聚集現(xiàn)象，也即是方差大的觀測值聚集到一起，方差小的觀測值聚集到一起。初步判定中證500指數(shù)可能適合運用GARCH族模型。

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從圖2可以直觀看出收益率序列和正態(tài)分布存在很大差別，從表一的峰度 6.341 460＞3,偏度-0.941 577＜0可以更準確的說明收益率序列存在尖峰厚尾現(xiàn)象，而且左尾較厚。從JB統(tǒng)計量和P值則明確拒絕了收益率序列服從正態(tài)分布的假設。為了建模的準確，可以使用t分布和GED分布等來描述尖峰厚尾。

3.2 平穩(wěn)性檢驗

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為了模型的有效，對時間序列數(shù)據(jù)在建模前必須檢驗其平穩(wěn)性，本文采用廣泛使用的ADF單位根檢驗來檢驗中證500指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性。從上表的結果可得，無論是在10%，5%還是1%置信水平上ADF值都小于相應的臨界值，從而拒絕了存在單位根的原假設，也即是收益率序列是平穩(wěn)的。

3.3 均值方程的選擇

r序列的自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)滯后一階顯著不為零，其他不顯著，但也存在高階滯后系數(shù)顯著不為零的情況，由于文章篇幅，相關系數(shù)圖不給出。考慮到建模的可操作性，本文在常用的幾種模型中根據(jù)信息準則選擇最優(yōu)的ARMA模型，也即是garch模型中的均值方程。

其 中 ，arma10、arma11、arma12、arma20、arma21和 arma22 分別表示模型 AR(1)、ARMA(1，1)、ARMA(1，2)、AR(2)，ARMA(2，1)和 ARMA(2，2)。L.ar和 L2.ar分別是滯后一階和滯后二階收益率前估計系數(shù)，L.ma和L2.ma則為對應滯后一階和二階殘差項前估計系數(shù)。

由圖3可得，無論是考慮到信息準則AIC還是估計系數(shù)的顯著性，ARMA(1，1)模型都是最優(yōu)，雖然AR(1)的 BIC 小于 ARMA(1,1)，但顯然 ARMA(1，1)模型對收益率序列擬合更加充分，綜上所述，均值方程選擇ARMA(1，1)，具體方程如下：

3.4 ARCH模型選擇

均值方程選擇好之后，可以通過均值方程的殘差檢驗是否存在ARCH效應，本文通過對殘差的平方進行Q檢驗（由于篇幅有限，Q檢驗結果不給出），發(fā)現(xiàn)殘差平方存在高階的相關性，證明殘差存在明顯的ARCH效應，需要建立ARCH模型。根據(jù)已有研究表明，對于金融時間序列的ARCH效應，GARCH（1,1）模型便可以很好的描述。所以本文同樣選擇GARCH(1，1)模型?？紤]到對于股票指數(shù)數(shù)據(jù)可能存在非對稱性效應，因此也試圖建立相應的TARCH模型和EGARCH模型。同時由上文的正態(tài)性檢驗可知，收益率序列存在尖峰厚尾現(xiàn)象，因此考慮用t分布假設和GED分布假設而非正態(tài)分布假設。盡管多數(shù)論文依然將正態(tài)假設給出作為比較模型，但設定本身就不正確，沒有什么參考價值，因此本文不再考慮此假設。

其中，L.tarch是TARCH模型非對稱項前估計系數(shù)，L.earch_a是EGARCH模型非對稱項前估計系數(shù)。

由圖4的結果，可以剔除兩個TARCH模型，因為TARCH項的估計系數(shù)不顯著，說明不存在非對稱效應。從AIC信息準則來看EGARCH(1，1)-GED模型最優(yōu)，而且EGARCH項前系數(shù)顯著不為零說明了非對稱效應是存在的。其次較好的模型是GARCH(1,1)-t，這個模型沒有考慮非對稱效應是否存在。

最終 ARMA(1，1)-GARCH(1，1)-t模型方程為：

3.4 實證結果分析

分別對以上兩模型的殘差進行ARCH-LM檢驗，發(fā)現(xiàn)殘差已經(jīng)不存在ARCH效應，這說明上述兩模型已經(jīng)很好的解決了收益率序列的ARCH效應。從以上實證結果可以得出，基于不同分布假設的分析是非常有必要的的，因為不同的假設所得模型的估計是不一樣的，也會影響估計的顯著性。從以上兩模型的均值方程來看，本時期的收益率與上一時期呈負相關關系，而與上時期的波動呈正相關關系，而且正向關系大于負向相關系。從條件方差模型來看，在 ARMA(1，1)-EARGCH(1，1，1)-GED模型方程中，反映“非對稱”效應的系數(shù)為 -0.029 6＜0,說明了“非對稱”效應存在，而且當時，對條件方差的對數(shù)的作用是0.124-0.029 6=0.094 4倍，當是對條件方差的對數(shù)的作用為 0.124- （-0.029 6）=0.153 6倍。這說明負作用對波動性的影響大于了正作用對波動性的影響，也即是股市中所謂的“利空消息”的對股價的影響大于“利好消息”（杠桿效應）。

4 結論

在對中證500指數(shù)收益率的統(tǒng)計性分析中可得，收益率存在尖峰厚尾現(xiàn)象，正態(tài)假設在此不合適，這和上證指數(shù)和滬深300等指數(shù)有著一樣的結論，同時從收益率的時序圖也可以看到，收益率存在波動集群現(xiàn)象，和大盤指數(shù)也一樣。也即是從一般統(tǒng)計角度看，反映小市值公司的股價指數(shù)與反映大指數(shù)公司的股價指數(shù)形態(tài)大致一樣。說明我國股市指數(shù)變動存在一致性。

在眾多模型中，ARMA(1，1)-EGARCH(1，1)-GED是選擇的最優(yōu)的模型，而 ARMA(1，1)-GARCH(1，1)-t模型次優(yōu)，但卻忽略了可能存在的杠桿效應。還可以看出即使同樣的模型，當殘差的分布假設不同時，模型的擬合程度也不一樣，這說明在模型的建立要考慮充分，不可遺漏。

最優(yōu)的模型說明了中證500指數(shù)收益率存在杠桿效應，利空消息的影響是0.153 6倍，而利好消息的影響是0.094 4倍。這和我國股市現(xiàn)狀是相吻合的，側面說明模型建立是正確的。本文結論說明了為了我國股市的良好發(fā)展，對于投資者而言，要加強自身專業(yè)水平，不可人云亦云推波助瀾。對于市場監(jiān)督者來說必須預防虛假消息對投資者的誘導，只有這樣我國股市才能逐漸走向成熟。

[1]吳長鳳.利用回歸-GARCH模型對我國滬深股市的分析[J].預測,1999(4):47-48.

[2]陳健.ARCH類模型研究及其在滬市A股中的應用[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2003(3):10-13,26.

[3]馬丹.上證指數(shù)收益率GARCH模型族分析[J].財經(jīng)科學,2003(S1):33-36.

[4]魯萬波.基于非參數(shù)GARCH模型的中國股市波動性預測[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2006(4):455-461.

[5]李杰,朱文俊.關于中國股市波動“劇烈”的實證分析[J].價格月刊,2010(1):87-91.

[6]茹正亮,楊芝艷,朱文剛,高安力.不同分布下非對稱GARCH模型波動率預測評價[J].西南師范大學學報(自然科學版),2012(11):19-23.

[7]杜雨薇.對中證500的實證研究與趨勢預測:基于GARCH模型和EGARCH模型[J].商,2016(18):200-201.

[8]陳強.高級計量經(jīng)濟學及Stata應用(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2010.

［責任編輯：路 實］

A Study on Volatility of CSI 500 Index Based on ARMA——GARCH Model

TULi-ming，F(xiàn)ANGHua
(College ofManagement，UniversityofShanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China)

F830.9

A

1673-5919（2017）04-0093-04

10.13691/j.cnki.cn23-1539/f.2017.04.032

2017-06-23

涂犁明（1993-），男，四川南充人，碩士研究生。