李瀚宇

摘 要 拓撲學(xué)起源于18世紀(jì)左右，是研究空間內(nèi)在連續(xù)變化下維持不變性質(zhì)的一門學(xué)科。拓撲學(xué)在生物、建筑、計算機等方面都有著廣泛的應(yīng)用。從20世紀(jì)60年代開始，拓撲學(xué)逐漸進入到物理學(xué)領(lǐng)域，在宇宙學(xué)、凝聚態(tài)等研究中發(fā)揮了重要的作用。2016年的諾貝爾物理學(xué)獎還特別地表彰了物質(zhì)拓撲相與拓撲相變的發(fā)現(xiàn)。那么，什么是拓撲學(xué)？什么是物質(zhì)的拓撲相與拓撲相變？它們兩者又有著怎樣的聯(lián)系？本文將對這些問題做一個探析，來幫助我們更好地理解拓撲絕緣體等拓撲材料的科學(xué)價值，以及對于人類未來科技革新的重要意義。

關(guān)鍵詞 拓撲學(xué)；拓撲相；拓撲絕緣體

中圖分類號 O4 文獻標(biāo)識碼 A 文章編號 2095-6363（2017）17-0042-01

2005年，一種奇特的材料——拓撲絕緣體的理論預(yù)言，激起了科學(xué)界的強烈興趣。這種材料的特點是它的體內(nèi)部是絕緣的，但是它的表面卻表現(xiàn)得像一塊金屬。2007年，實驗上首次確認了這種材料的存在，從而掀起了有關(guān)拓撲材料研究的熱潮。以拓撲絕緣體為首的拓撲材料，在建設(shè)信息高速公路與量子計算方面有著重要的應(yīng)用前景。本文將就拓撲學(xué)的歷史背景、拓撲相與拓撲相變、拓撲絕緣體、拓撲材料的應(yīng)用等方面做一個介紹，探究拓撲學(xué)與拓撲材料之間的聯(lián)系。

1 拓撲學(xué)的背景簡介

拓撲學(xué)最早的歷史可以追溯到18世紀(jì)左右，在古普魯士的哥尼斯堡有七座橋?qū)⑺膲K陸地聯(lián)系起來。七橋問題的提法是：能否從這四塊陸地的一塊出發(fā)，恰好經(jīng)過每座橋一次然后回到起點？歐拉于1736年在《哥尼斯堡的七座橋》的論文中，首次回答了這個問題，并證明這是不可能的。數(shù)學(xué)家隨后不斷研究這類事例，包括多面體問題、四色問題等等，并逐漸形成了拓撲學(xué)這一學(xué)科。在人們的實際生活中，圖形往往是重要的研究對象。在很多情況下，人們對于圖形的形狀和大小并不感興趣，而是關(guān)注圖形的相對位置關(guān)系等內(nèi)稟的性質(zhì)。拓撲學(xué)就是為解決這一問題而誕生的。

拓撲學(xué)的一個重要概念是拓撲等價。一個圖形，如果可以通過連續(xù)的形變（包括伸縮或者扭曲）過渡到另一個圖形，中間沒有產(chǎn)生撕裂或者粘合，那么就稱這兩個圖形是拓撲等價的。例如一個球體和一個正方體，本質(zhì)上就是拓撲等價的，因而在拓撲學(xué)中把它們視為同一對象。為了刻畫這種拓撲學(xué)內(nèi)稟的性質(zhì)，人們引入了拓撲數(shù)（拓撲不變量）的概念。在對象連續(xù)變化的過程中，拓撲數(shù)是不會變的。例如面包圈洞的個數(shù)就是一個拓撲數(shù)，在連續(xù)形變過程中洞的數(shù)目始終為1。面包圈不可能通過連續(xù)形變過渡到一個球，因此兩者是拓撲不等價的，而本質(zhì)上的區(qū)別就是兩個圖形的拓撲數(shù)不

一樣。

2 相變與拓撲相變

一個系統(tǒng)中如果物質(zhì)的結(jié)構(gòu)相同、成分性能均一，則稱這個系統(tǒng)是一個相。比如，根據(jù)物質(zhì)的狀態(tài)不同，可以分成固相、液相、氣相或者等離子相。根據(jù)物質(zhì)導(dǎo)電性能的不同，可以分成金屬相、絕緣相或者超導(dǎo)相。當(dāng)物質(zhì)在外界參數(shù)（溫度、壓強、電磁場）變化下從一種相變?yōu)榱硪环N相，則稱這個過程為相變。例如，水從液態(tài)加溫沸騰變成水蒸氣就是一種相變；水銀在低溫下突然變成超導(dǎo)體，這也是一種相變。

對于物質(zhì)材料，也可以類似于定義面包圈的洞數(shù)一樣，去定義材料的拓撲數(shù)。這個拓撲數(shù)與材料分子間的相對構(gòu)型與相互作用密切相關(guān)，并且，這個拓撲數(shù)與材料可觀測的一些物理量（諸如電導(dǎo)）有著直接的對應(yīng)。在物質(zhì)發(fā)生相變的過程中，如果對應(yīng)的拓撲數(shù)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致物質(zhì)性質(zhì)發(fā)生變化，這種相變就被稱為拓撲相變。它的本質(zhì)是物質(zhì)的某些離散對稱性發(fā)生變化，使得物質(zhì)的拓撲性質(zhì)也跟著發(fā)生變化。

3 拓撲絕緣體

物質(zhì)拓撲相與拓撲相變的一個重要實例就是拓撲絕緣體。在介紹拓撲絕緣體的性質(zhì)之前，我們先回到一個經(jīng)典的效應(yīng)——霍爾效應(yīng)。1879年，美國物理學(xué)家霍爾發(fā)現(xiàn)，把固體導(dǎo)體放在一個磁場中且有電流通過的時候，導(dǎo)體中的電載荷子會在洛倫茲力的作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，繼而會產(chǎn)生一個霍爾電壓。這種經(jīng)典的物理圖像在磁場足夠強時會發(fā)生變化。這時，電子的回旋半徑非常小，導(dǎo)體體內(nèi)的電子基本局域在原處進行回旋運動。只有導(dǎo)體邊上的電子會不斷碰撞表面并沿著邊螺旋前進。這時，導(dǎo)體的體內(nèi)是絕緣的，而導(dǎo)電性主要來源于表面。材料這種奇異的導(dǎo)電特性一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就立即引起了人們的興趣。但在這里，需要強大的磁場來實現(xiàn)這種效應(yīng)?？茖W(xué)家繼而探究，在沒有外加磁場的條件下，材料是否還能實現(xiàn)這種奇異的導(dǎo)電性。

拓撲絕緣體就是在這種背景下應(yīng)運而生的。它的基本性質(zhì)如前文所述：它的電子結(jié)構(gòu)具有拓撲的性質(zhì)，其中體內(nèi)部的電子是絕緣的，而表面的電子是導(dǎo)電的。兩種截然相反的性質(zhì)統(tǒng)一地表現(xiàn)在一個材料的兩個方面。值得注意的是，由于材料的表面總是存在的，因此不可能通過剝離將表面的導(dǎo)電層去除。特別的，拓撲絕緣體的表面屬性是受到拓撲保護的，也就是說，它對于雜質(zhì)的干擾是穩(wěn)定的，除非體系的拓撲性質(zhì)發(fā)生

變化。

4 拓撲材料的應(yīng)用前景

拓撲絕緣體發(fā)現(xiàn)至今已過十載。在拓撲材料領(lǐng)域，拓撲絕緣體、拓撲超導(dǎo)體、拓撲半金屬等等的研究正在如火如荼的展開。以拓撲絕緣體為例，它在未來的信息科技革命中具有重要的意義。傳統(tǒng)金屬導(dǎo)體材料，導(dǎo)電性能會受到內(nèi)部雜質(zhì)散射的影響，因此在電輸運過程中往往有嚴(yán)重的耗散。拓撲絕緣體的表面態(tài)具有優(yōu)良的導(dǎo)電特性，可以高度穩(wěn)定、低耗散實現(xiàn)電子的傳遞。這對于建設(shè)高速度、大容量、多媒體的信息傳輸網(wǎng)絡(luò)，具有極大價值。另外，拓撲絕緣體的表面電子能夠以存儲、傳遞、計算的方式完成一些量子操縱，這為實現(xiàn)以量子計算機為目標(biāo)的新一代信息革命吹響了號角。

5 結(jié)論

拓撲材料領(lǐng)域在短短的10年間，取得了累累碩果。拓撲學(xué)在材料物理中的成功引入，提供了數(shù)學(xué)與物理完美結(jié)合的一個范例。以拓撲絕緣體為首的新一代拓撲材料，給我們未來新一代的信息革命提供了豐富的聯(lián)想。相信在這一領(lǐng)域，還會誕生更多的

驚喜。

參考文獻

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