胡東方 郭建偉 任小中

1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,洛陽(yáng),4710032.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，洛陽(yáng),471003

弧面凸輪側(cè)銑加工刀軌的空間線性回歸分析

胡東方1,2郭建偉1,2任小中1,2

1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,洛陽(yáng),4710032.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，洛陽(yáng),471003

為減小弧面凸輪非等徑加工存在的法矢異向誤差，根據(jù)空間線性回歸算法的NURBS直紋面生成原理，尋求加工誤差最小的刀軸矢量，進(jìn)行初步擬合。通過(guò)迭代逼近減小初始刀軸矢量誤差，將刀軸作為NURBS直紋面母線來(lái)重構(gòu)理論刀軸回歸軌跡面。利用最小二乘法進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，建立了弧面凸輪側(cè)銑加工刀軌誤差優(yōu)化模型，提出了求解該優(yōu)化模型的一種實(shí)數(shù)編碼的人工免疫算法。以左旋弧面凸輪進(jìn)行矢量數(shù)值計(jì)算和仿真，驗(yàn)證了該算法的有效性。

弧面凸輪；非等徑側(cè)銑；線性回歸；NURBS直紋面

0 引言

由于凸輪機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、分度精度高、模態(tài)性能好等優(yōu)勢(shì)，高速精密凸輪機(jī)構(gòu)被越來(lái)越多地應(yīng)用在紡織、動(dòng)力以及航空航天領(lǐng)域，因此對(duì)凸輪的制造工藝要求也越來(lái)越高。凸輪廓面的加工精度決定了其廓面的準(zhǔn)確度，進(jìn)而影響了機(jī)構(gòu)分度和傳動(dòng)的精度。在傳統(tǒng)的加工方式中，弧面凸輪的加工多采用范成法[1]加工，即通過(guò)刀具與工件之間類(lèi)似滾子與凸輪的共軛運(yùn)動(dòng)，采用與滾子直徑相同的刀具進(jìn)行加工，再通過(guò)刀具補(bǔ)償消除螺旋角和走刀轉(zhuǎn)角誤差即可加工出精度很高的弧面凸輪[2]，這種加工方式稱(chēng)為等徑加工。該加工方式要求在精加工時(shí)刀具直徑必須與滾子直徑保持一致，但是在實(shí)際的加工中不可避免地會(huì)出現(xiàn)刀具磨損，從而因刀具半徑減小造成工件加工誤差。在生產(chǎn)滾子半徑較大的凸輪時(shí)，制造和使用等徑刀具加工成本較高，因此，可選擇非等徑刀具進(jìn)行加工，即在側(cè)銑加工中采用刀具半徑小于滾子半徑的加工方式，擴(kuò)大了工藝范圍，同時(shí)這也是實(shí)際生產(chǎn)加工弧面凸輪中經(jīng)常用到的加工方式。

近年來(lái)，凸輪非等徑側(cè)銑加工刀軌優(yōu)化問(wèn)題引起了國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者的關(guān)注,研究重點(diǎn)放在兩種加工方式上，即兩重包絡(luò)法加工[3]和刀位補(bǔ)償法加工[4-5]。前者是一種點(diǎn)位加工方式，其廓面上的每一處有不同的刀位點(diǎn)，而重構(gòu)過(guò)程中由于存在理論上的誤差必然導(dǎo)致加工精度低，表面質(zhì)量差；后者雖然刀位補(bǔ)償?shù)姆较蜉^為固定，但是在處理凸輪廓面時(shí)將其作為自由曲面處理，從而造成重構(gòu)出的凸輪廓面存在較大的理論誤差?？遵R斌等[6]根據(jù)現(xiàn)有的弧面凸輪廓面加工工藝方法，提出刀軸軌跡面與凸輪廓面等距曲面的極差最小為優(yōu)化目標(biāo)的弧面凸輪單側(cè)面數(shù)控加工刀位數(shù)據(jù)計(jì)算的優(yōu)化算法；胡東方等[7]根據(jù)擬合誤差敏感點(diǎn)的選擇方法對(duì)理論加工刀軌曲面誤差敏感點(diǎn)進(jìn)行曲面重構(gòu)，根據(jù)誤差敏感點(diǎn)定義的等參數(shù)曲線來(lái)調(diào)整刀軌直紋面形狀；葛榮雨等[8]根據(jù)NURBS曲面重構(gòu)原理，利用最小二乘法從整體上提高理論加工精度；葛榮雨等[9]根據(jù)NURBS直紋面重構(gòu)理論刀軸軌跡面，利用遺傳算法對(duì)理論非等徑刀軌曲面的刀位進(jìn)行了優(yōu)化。上述文獻(xiàn)只考慮到刀具與工件的實(shí)時(shí)局部誤差，沒(méi)有考慮數(shù)控加工刀軌生成的要求，另外需要對(duì)理論刀軌面進(jìn)行離散后再重構(gòu)，所需初始數(shù)據(jù)量較大，采集過(guò)程繁瑣，效率較低。

本文根據(jù)直紋面逼近的原理對(duì)NURBS擬合算法的應(yīng)用進(jìn)行研究，提出基于線性回歸的NURBS直紋面重構(gòu)的弧面凸輪側(cè)銑加工刀軌優(yōu)化算法，在減小加工誤差生成的同時(shí)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

1 弧面凸輪數(shù)學(xué)模型分析

1.1弧面凸輪的理論表達(dá)式

利用微分幾何建立三維坐標(biāo)模型，針對(duì)弧面凸輪機(jī)構(gòu)在實(shí)際嚙合過(guò)程中滾子曲面與弧面凸輪廓面為共軛曲面的特點(diǎn)，建立弧面凸輪機(jī)構(gòu)的幾何模型如圖1所示。 圖中,o1x1y1z1為絕對(duì)坐標(biāo)系，因?yàn)樗c機(jī)架相連，所以也稱(chēng)固定坐標(biāo)系；o2x2y2z2為弧面凸輪坐標(biāo)系；o3x3y3z3為分度盤(pán)坐標(biāo)系；orixriyrizri為滾子坐標(biāo)系；ξ為滾子頂端到分度盤(pán)轉(zhuǎn)軸的距離。

圖1 弧面凸輪機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型Fig.1 The mathematical model of arc surface cam mechanism

按照空間包絡(luò)曲面的共軛原理推導(dǎo)出弧面分度凸輪的廓面方程為

(1)

Γi=(i-1)×60°

(2)

式中，jCri為坐標(biāo)系ojxjyjzj轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)系oixiyizi的變換矩陣,i=1,2,3；γ2為凸輪轉(zhuǎn)角；γ3為分度盤(pán)轉(zhuǎn)角；L為分度盤(pán)與凸輪之間的距離，即z2軸與z3軸之間的距離；Γi為分度盤(pán)上滾子的角度關(guān)系；p為o3到滾子頂端的距離。

共軛曲面的曲面方程Fri在滾子坐標(biāo)系orixriyrizri的矩陣表示為

(3)

式中，r為滾子半徑；v、α為滾子與凸輪廓面嚙合中的曲線坐標(biāo)值;l為滾子長(zhǎng)度。

弧面凸輪的滾子軸心軌跡面為不可展直紋面，弧面凸輪的工作廓面是滾子軸心軌跡面的等距曲面，根據(jù)式(2)和式(3)可得弧面凸輪在坐標(biāo)系o2x2y2z2中的共軛曲面為

(4)

X2F=Lcosγ2-(ξ+v)cosγ2cos(γ3+Γi)+

rcosαcosγ2sin(γ3+Γi)+rsinαsinγ2

Y2F=-Lsinγ2+(ξ+v)sinγ2cos(γ3+Γi)-

rcosαsinγ2sin(γ3+Γi)+rsinαsinγ2

Z2F=-(ξ+v)sin(γ3+Γi)-rcosαcos(γ3+Γi)

根據(jù)直紋面等距曲面的性質(zhì)，可得弧面凸輪的工作廓面為非直紋異型曲面,根據(jù)式(4)可推導(dǎo)出滾子軸心軌跡面的法矢方向n：

(5)

根據(jù)空間嚙合原理可推導(dǎo)出嚙合點(diǎn)處的法矢量方向的相對(duì)速度為零，則

(6)

將式(6)代入式(4)、式(5)中可求得凸輪與滾子的接觸角θ為

(7)

根據(jù)直紋面的方程及等距面方程得到理論刀具軌跡曲面參數(shù)表達(dá)式：

S(ξ,γ)=Fri(ξ,γ)+rn(ξ,γ)

(8)

1.2非等徑側(cè)銑可加工性分析

側(cè)銑加工刀位生成的本質(zhì)是刀軌軸心作為直紋面母線生成側(cè)銑加工曲面，而實(shí)際回轉(zhuǎn)刀具側(cè)刃與工件接觸后生成所需曲面。對(duì)于弧面凸輪的側(cè)銑加工，實(shí)際加工的刀具接觸線是空間螺旋線。對(duì)于傳統(tǒng)的誤差控制方法就是通過(guò)測(cè)算刀軸始末點(diǎn)的刀具接觸線和小尺寸刀具接觸線之間距離來(lái)分析加工誤差，最佳補(bǔ)償半徑就是Δr=R-r，即滾子半徑r與刀具半徑R之差。近年來(lái)對(duì)側(cè)銑加工誤差的控制主要是采用非等徑刀軌曲面逼近的方法，該算法的思想是依靠重構(gòu)曲面逼近理論非等徑刀軌曲面，由式(7)知，接觸角θ是關(guān)于分度盤(pán)與凸輪之間的距離L的非線性函數(shù)，所以任意給定一個(gè)凸輪轉(zhuǎn)角γ2i，所對(duì)應(yīng)的凸輪與滾子的理論接觸線則發(fā)生變化，如圖2所示。直線A為刀軸矢量的等徑加工刀軸線，曲線B、曲線C為非等徑加工刀軸曲線，并且直線A與曲線B、曲線C為凸輪與滾子的理論接觸線上各點(diǎn)垂直滾子軸線的法矢方向的所有點(diǎn)集形成的曲線。

圖2 非等徑加工刀軸曲線Fig.2 Non equal diameter cutter shaft

對(duì)于等徑加工的刀軸直線A可以實(shí)現(xiàn)凸輪廓面的重構(gòu)即滾子半徑等于刀具半徑，進(jìn)而可以得到弧面凸輪理論滾子軸線表達(dá)式：

(9)

而非等徑加工刀軸理論曲面即為曲線B和曲線C掃掠生成的曲面。從本質(zhì)上來(lái)分析，重構(gòu)刀軌面逼近方法是一種基于自適應(yīng)多點(diǎn)偏置約束算法，在優(yōu)化側(cè)銑加工算法過(guò)程中，從方向u和方向v劃分網(wǎng)格采集數(shù)據(jù)點(diǎn)，可基于數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲面重構(gòu)。

1.3理論刀軸軌跡面網(wǎng)格化離散分析

離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的采樣密集程度是由最終誤差理論計(jì)算結(jié)果能否滿足加工精度需求來(lái)決定的，并且提升加工精度方法之一即為增加數(shù)據(jù)點(diǎn)取樣密度，而以往的文獻(xiàn)中數(shù)據(jù)點(diǎn)采樣方法通常為等距拓?fù)渚匦侮嚵衃10]，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)依然為固定方向上等弧長(zhǎng)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)的劃分。若采用拓?fù)渚匦侮囆蛯?duì)理論廓面進(jìn)行劃分，則這種劃分方法并不能根據(jù)曲面實(shí)際曲率分布情況合理采集到能夠反映曲面曲率分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此，需要一種算法來(lái)根據(jù)凸輪廓面曲面幾何特性對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行采集。數(shù)據(jù)點(diǎn)采集的過(guò)程在概率上可理解為一個(gè)抽樣的過(guò)程，其抽樣原則是采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布應(yīng)盡可能反映曲線和曲面的性質(zhì)，最簡(jiǎn)單的思路就是在曲率變化較大的區(qū)域采用密集抽樣，在相對(duì)平坦的區(qū)域采用稀疏抽樣。

2 弧面凸輪側(cè)銑加工刀軸矢量擬合

2.1基于線性回歸的NURBS直紋面生成

回歸問(wèn)題的條件如下：

(1)收集的有效的數(shù)據(jù)；

(2)建立假設(shè)模型即一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)里含有未知的參數(shù)，通過(guò)學(xué)習(xí)，可以估計(jì)出參數(shù)。然后利用這個(gè)模型去預(yù)測(cè)/分類(lèi)新的數(shù)據(jù)。

2.1.1型值點(diǎn)的初步確定

在加工過(guò)程中，回歸函數(shù)u(x)未知，需要有效的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去估計(jì)回歸函數(shù)。在非等徑側(cè)銑加工中，要保證刀軸最優(yōu)就需要保證加工誤差最小，從式(9)中可以看出，非等徑加工理論刀軸為空間曲線，空間曲線的曲率k和撓度τ的最值點(diǎn)是曲線形狀變化最為劇烈的部分。因此可根據(jù)式(9)和下面公式得到采集數(shù)據(jù)點(diǎn)：

(10)

(11)

除了上述點(diǎn)外，曲線B的端點(diǎn)也能決定曲線的形狀，因此也作為有效數(shù)據(jù)點(diǎn)，其值可在l∈[l0,l1]根據(jù)式(9)求得。

2.1.2空間型值點(diǎn)基于線性回歸擬合模型

空間直線的方程可以化為

(12)

要求的參數(shù)是x0、y0、a、b(a、b均為正整數(shù))。直線的方程可以化簡(jiǎn)成

(13)

寫(xiě)成矩陣形式為

(14)

當(dāng)有b個(gè)點(diǎn)時(shí)第i個(gè)點(diǎn)的方程為

(15)

并聯(lián)b個(gè)方程得到

(16)

刀軌直線擬合：

(17)

(18)

最終通過(guò)式(18)可求出回歸模型解算的瞬時(shí)點(diǎn)刀軸的空間位置。

2.1.3線性回歸的迭代優(yōu)化

根據(jù)線性回歸的性質(zhì)可知，在線性回歸中對(duì)參數(shù)m、n的解算是基于正交函數(shù)平方求極值的方法進(jìn)行的，在概率問(wèn)題解決過(guò)程中要求算法具有穩(wěn)健性，即回歸函數(shù)在求解中會(huì)出現(xiàn)異常值點(diǎn)，即個(gè)別變化較大的點(diǎn)[11],而正交函數(shù)平方求極值的方法對(duì)異常值點(diǎn)較為敏感。尋求刀軸的最優(yōu)解過(guò)程即是找到空間中的某條直線段，使得非等徑加工的理論刀軸曲線到該直線段的最大距離最小。因?yàn)樵趯?shí)際中所謂的“異常值點(diǎn)”均為刀軸上的有效點(diǎn)，因此可利用回歸算法的敏感性，通過(guò)插入新的型值點(diǎn)來(lái)增加“異常值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，通過(guò)迭代對(duì)瞬時(shí)點(diǎn)刀軸的空間位置進(jìn)行優(yōu)化。

優(yōu)化方法可通過(guò)以下過(guò)程進(jìn)行：

(1)由式(18)初步擬合得到刀軸直線段l0；

(4)若滿足則輸出刀軸直線段，若不滿足則采用等參數(shù)法增加新的型值點(diǎn)后，再次利用式(18)推導(dǎo)得到刀軸直線段lj，返回步驟(1)。

圖3 線性回歸算法流程圖Fig.3 Flow chart of linear regression algorithm

2.1.4加工直紋面生成

由于理論刀軌面數(shù)據(jù)點(diǎn)之間權(quán)重相等，因此取NURBS曲面所有權(quán)因子w=1。CAM中常使用三次NURBS直紋面來(lái)表達(dá)曲線曲面，對(duì)于刀軌的非可展直紋面的重構(gòu)這里也采用三次NURBS直紋面，因此令k=3。由微分幾何，NURBS直紋面兩條準(zhǔn)線可表示為三次B-Spline形式[12]：

(19)

S(u,v)=(1-v)S1(u)+vS2(u)

(20)

u，v∈[0,1]

將式(19)代入式(20)中的NURBS直紋面方程得

(21)

2.1.5最小二乘優(yōu)化法

由于上述算法的刀軸矢量是經(jīng)過(guò)線性回歸得到的，只是保證了單點(diǎn)刀位點(diǎn)的最優(yōu)，因此利用蒙面插值法生成的直紋面還需優(yōu)化才能作為刀軌軸跡面以達(dá)到整體誤差最小。因?yàn)闈L子軸跡面為直紋面[13]，故可以以逼近直紋面與滾子軸跡面的距離平方和為優(yōu)化目標(biāo)，建立最小二乘優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)：

(22)

2.2人工免疫算法的解算

人工免疫法是一種全局性概率搜索算法[14]，它基于自然選擇和遺傳變異等生物的遺傳機(jī)制，其選擇概率包括適應(yīng)度和濃度信息，模擬了自然界生物免疫系統(tǒng)的功能。人工免疫算法將數(shù)學(xué)求解過(guò)程模擬為人或其他高等動(dòng)物免疫系統(tǒng)的過(guò)程，通過(guò)復(fù)制、交叉、變異等算子進(jìn)行遺傳操作，產(chǎn)生優(yōu)于父代的子代抗體，經(jīng)逐代循環(huán)逼近最優(yōu)解。

2.2.1抗體基因編碼

人工免疫算法中的抗體由識(shí)別抗原的基因產(chǎn)生，抗體與抗原的特異性結(jié)合(即基因匹配程度)稱(chēng)之為親和度[15]。由于基本的計(jì)算單元類(lèi)似染色體的二進(jìn)制字符串，故可以對(duì)優(yōu)化后的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行離散采集。考慮非等徑側(cè)銑加工刀位優(yōu)化的求解屬于多變量函數(shù)的求解問(wèn)題，對(duì)于多個(gè)變量，采用二進(jìn)制代碼對(duì)每個(gè)變量的位置進(jìn)行編排，然后根據(jù)信息熵來(lái)計(jì)算抗體和抗原之間的親和度。

設(shè)抗體的容量為N，染色體的長(zhǎng)度為M，等位基因的數(shù)目為S，采用二進(jìn)制對(duì)抗體的基因進(jìn)行編碼，Ui={μ1,μ2,…,μn}，Ui∈Mi，Mi={m1,m2,…,mm},其中Mi為抗體總?cè)?，μi為等位基因，μi∈{0,1}，可得第i位的信息熵為

(23)

其中，ζ為基參數(shù)，ζ∈[2,N]，qij為等位基因在抗體中出現(xiàn)在第i位的概率，表達(dá)式為

(24)

式中，gi為基因i上出現(xiàn)等位基因的總數(shù)。

抗體的平均信息熵為

(25)

2.2.2抗體與抗原的親和度計(jì)算

根據(jù)抗原基因的二進(jìn)制編碼，定義抗原σ和抗原ω之間的親和度ayσω：

(26)

式中，S(σ，ω)為抗原σ和抗體ω的結(jié)合強(qiáng)度。

在給定的抗體群中，任意給定的抗體ω的濃度為

(27)

式中，Ta和m分別為預(yù)先設(shè)定的閾值和常數(shù)。

2.3理論加工誤差模型

側(cè)銑加工的理論誤差模型是通過(guò)刀軌曲面與滾子直紋面之間對(duì)應(yīng)點(diǎn)之差的絕對(duì)值來(lái)測(cè)算的。由于理論刀軸軌跡面S(u,v)，其直紋面母線對(duì)應(yīng)的即為刀具軸心線。逼近法理論加工誤差為

(28)

3 計(jì)算仿真與分析

現(xiàn)利用非等徑刀具加工一個(gè)左旋弧面凸輪，如圖4所示,已知從動(dòng)件的半徑為20 mm,長(zhǎng)度為180 mm,轉(zhuǎn)盤(pán)分度期的運(yùn)動(dòng)周期為正弦曲線，弧面凸輪分度周期為120°，72 mm≤ξ≤102 mm。

圖4 弧面凸輪三維模型Fig.4 The 3D model of arc surface cam

根據(jù)式(8)得到了36條初始直紋面母線，通過(guò)采集數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過(guò)線性回歸算法優(yōu)化得到三次NURBS直紋面的36×2個(gè)控制頂點(diǎn)，并根據(jù)式(21)和式(22)得出優(yōu)化后的弧面凸輪的理論刀軌逼近直紋面,同時(shí)也生成了刀軌面，如圖5和圖6所示。

圖5 理論刀軌型值點(diǎn)和刀軌直紋面Fig.5 The oretical cutter path value point and cutter rail ruled surface

圖6 加工刀軸與理論刀軌面誤差分布Fig.6 The error distribution of the cutter axis and the theoretical tool path

分別用不同半徑的圓柱銑刀進(jìn)行非等徑側(cè)銑加工，根據(jù)式(19)計(jì)算最大加工誤差，并與刀位補(bǔ)償法進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 最大加工誤差比較

根據(jù)本文的空間線性回歸算法和刀位補(bǔ)償法擬合刀軌曲面的誤差波動(dòng)情況如圖7所示。

圖7 兩種方法理論加工誤差分布圖Fig.6 The theoretical error distribution of two methods

通過(guò)表1和圖7可以看出，在使用不同半徑的立銑刀時(shí)，空間線性回歸算法的擬合誤差小于刀位補(bǔ)償法擬合誤差。相比刀位補(bǔ)償法，空間線性回歸算法在半徑之差較小的區(qū)域內(nèi)誤差控制能力并不突出，但是在半徑之差較大時(shí)，空間線性回歸算法的誤差控制能力優(yōu)于刀位補(bǔ)償法，這是因?yàn)樵撍惴ㄔ诖藚^(qū)域內(nèi)曲率較大，獲得的控制點(diǎn)較多，增加了該算法的控制能力。

4 結(jié)論

(1)弧面凸輪非等徑加工存在法矢異向誤差，且在瞬時(shí)刀位點(diǎn)上法向誤差分布規(guī)律呈非可展直紋面。

(2)根據(jù)NURBS自身誤差缺陷，分析了其誤差變化趨勢(shì)，并且在計(jì)算仿真數(shù)值驗(yàn)證中證明了當(dāng)凸輪滾子半徑與刀具之差較大時(shí)本文算法優(yōu)于基于NURBS直紋面擬合的定量點(diǎn)的多點(diǎn)偏置算法。

(3)基于空間線性回歸的非定量點(diǎn)的多點(diǎn)自由直紋面算法的刀位計(jì)算方法避免了繁瑣的算法過(guò)程，并具有較高的理論加工精度，同時(shí)在一定程度上避免了以往NURBS算法缺陷，保證了刀位的連續(xù)性和光滑性，提高了實(shí)際的加工精度。

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(編輯郭偉)

LinearRegressionAnalysisofArcSurfaceCamSideMillingToolPaths

HU Dongfang1,2GUO Jianwei1,2REN Xiaozhong1,2
1.School of Mechatronics Engineering,Henan University of Science and Technology,Luoyang,Henan,471003 2.Collaborative Innovation Center of Machinery Equipment Advanced Manufacturing of Henan Province,Luoyang,Henan，471003

In order to reduce normal vector direction error exists for the arc surface cam unequal diameter machining method, according to the space linear regression algorithm NURBS (non-uniform rational B-Spline) ruled surface generation principles, a method was sought to minimize the machining errors of cutter axis vectors, and preliminary fitted. The initial cutter axis errors were reduced by iterative approximation, the cutter axis was taken as generatrix of NURBS ruled surface to restructure regression trajectory surface theoretical cutter axis. Using the least square method to further optimize, the optimization model of tool path errors for arc surface cam side milling was established, and a real coded artificial immune algorithm was proposed to solve the optimization model. The effectiveness of the proposed algorithm was verified by vector numerical calculations and simulations of the left-hand arc surface cams.

arc surface cam; unequal diameter side milling; linear regression; NURBS ruled surface

2017-02-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51575160)；河南省教育廳重大科技攻關(guān)項(xiàng)目(13A520232)；河南科技大學(xué)高級(jí)別項(xiàng)目培育基金資助項(xiàng)目(2011CX016)

TH132.47

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.18.016

胡東方，男，1967年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)樘摂M產(chǎn)品設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)。出版專(zhuān)著1部，獲河南省科技進(jìn)步二等獎(jiǎng) 1項(xiàng)、三等獎(jiǎng)1項(xiàng)，發(fā)表論文30余篇。E-mail: hdf@haust.edu.cn。郭建偉，男，1991年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。任小中，男，1957年生。河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授。