王 琦，何 仁

(1.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 汽車工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡多目標(biāo)綜合優(yōu)化及誤差仿真研究*

王 琦1，何 仁2

(1.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 汽車工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

針對平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡所產(chǎn)生的誤差較大問題，引用改進(jìn)差分進(jìn)化算法對平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差進(jìn)行優(yōu)化。構(gòu)造平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖，分析四桿機(jī)構(gòu)變量參數(shù)。通過歐幾里得距離誤差函數(shù)推導(dǎo)出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法對四桿機(jī)構(gòu)約束條件進(jìn)行多目標(biāo)綜合優(yōu)化。結(jié)合具體實(shí)例，將優(yōu)化后結(jié)果輸入到Matlab軟件進(jìn)行誤差仿真，并且與優(yōu)化前誤差仿真結(jié)果進(jìn)行對比和分析。仿真結(jié)果表明：優(yōu)化前，四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡所產(chǎn)生的橫向和縱向誤差峰值分別為0.25cm和0.19cm，優(yōu)化后，四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡所產(chǎn)生的橫向和縱向誤差峰值分別為0.17cm和0.13cm，橫向和縱向誤差峰值分別降低了32.0%和31.6%。采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡，可以降低四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的誤差。

平面四桿機(jī)構(gòu)；改進(jìn)差分進(jìn)化；運(yùn)動軌跡；多目標(biāo)優(yōu)化

0 引言

隨著機(jī)器向自動化方向的發(fā)展，連桿機(jī)構(gòu)在機(jī)器中的作用越來越重要[1]。由于平面連桿機(jī)構(gòu)連桿曲線具有多樣性，所以可以實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜運(yùn)動，特別是四桿機(jī)構(gòu)和六桿機(jī)構(gòu)應(yīng)用非常廣泛。平面連桿機(jī)構(gòu)具有許多優(yōu)點(diǎn)：①結(jié)構(gòu)簡單，加工容易，安裝方便；②摩擦小，易于潤滑，適合各種重載要求；③運(yùn)動相對靈活，可以控制遠(yuǎn)距離危險物品的搬運(yùn)等。平面連桿機(jī)構(gòu)主要包括四桿機(jī)構(gòu)、五桿機(jī)構(gòu)、六桿機(jī)構(gòu)及八桿機(jī)構(gòu)等[2]。其中，四桿機(jī)構(gòu)是其它連桿機(jī)構(gòu)的重要組成部分。因此，四桿機(jī)構(gòu)應(yīng)用最為廣泛，主要應(yīng)用于縫紉機(jī)、攪拌機(jī)及起重機(jī)等。

目前，研究者從不同方向?qū)λ臈U機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡精度進(jìn)行了研究。例如：文獻(xiàn)[3]研究了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡仿真問題，將四桿機(jī)構(gòu)位置問題轉(zhuǎn)換為空間坐標(biāo)點(diǎn)，引用VB語言對運(yùn)動軌跡進(jìn)行編程，通過Matlab/Simulink軟件進(jìn)行仿真，VB語言程序較為復(fù)雜，四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差較大。文獻(xiàn)[4-5]研究了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差問題，確定四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計變量，采用了修正距離誤差函數(shù)法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過Matlab軟件求解出最佳設(shè)計變量，并且對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仿真，誤差產(chǎn)生的峰值較大。文獻(xiàn)[6-7]研究了軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)的遺傳算法問題，創(chuàng)建平面四桿機(jī)構(gòu)簡圖模型，構(gòu)造平面軌跡點(diǎn)數(shù)學(xué)方程式，確定設(shè)計參數(shù)變量與目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，采取遺傳算法對四桿機(jī)構(gòu)參數(shù)變量進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果容易陷入局部最優(yōu)解，從而影響四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡的精度。針對以上問題，本文引入差分進(jìn)化算法對四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡進(jìn)行優(yōu)化，并且對運(yùn)動誤差仿真和分析。建立平面四桿機(jī)構(gòu)簡圖模型，通過歐幾里得距離誤差推導(dǎo)出優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，確定四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)變量。采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法對平面四桿機(jī)構(gòu)參數(shù)變量進(jìn)行優(yōu)化，得出四桿機(jī)構(gòu)最優(yōu)仿真參數(shù)。通過Matlab軟件對四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并且與優(yōu)化前的誤差仿真結(jié)果進(jìn)行對比和分析。仿真結(jié)果顯示出優(yōu)化前與優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差曲線，為提高四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的精度提供了參考。

1 平面四桿機(jī)構(gòu)誤差函數(shù)

1.1 坐標(biāo)點(diǎn)方程式

平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖模型如圖1所示。E表示連接點(diǎn)，φ1表示水平面與機(jī)架之間夾角，φ2表示輸入角，l1表示機(jī)架長度，l2表示輸入連桿長度，l3表示連接桿長度，l4表示輸出連桿長度，l5和l6分別表示連接點(diǎn)E局部坐標(biāo)長度。φ3表示連接桿l3與水平面之間夾角。x0和y0表示機(jī)架固定點(diǎn)O1的坐標(biāo)。根據(jù)數(shù)學(xué)平面幾何關(guān)系式可知，點(diǎn)E在平面坐標(biāo)系中的方程式如下所示：

(1)

圖1 四桿機(jī)構(gòu)簡圖模型

1.2 運(yùn)動參數(shù)設(shè)計

根據(jù)平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的性質(zhì)可知，平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡優(yōu)化參數(shù)分別為x0、y0、l1、l2、l3、l4、l5、l6和φ1。同時，還需要優(yōu)化輸入角度φ2，將輸入角度分成n個，然后對其進(jìn)行優(yōu)化。平面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)的矢量關(guān)系式如下所示：

(2)

式中：n表示優(yōu)化軌跡點(diǎn)的個數(shù)。

1.3 誤差目標(biāo)函數(shù)

歐幾里得距離又名為歐式距離，在二維平面內(nèi)，任意兩點(diǎn)之間最短的距離就是歐幾里得距離，計算公式[8]如下所示：

(3)

式中：d表示兩點(diǎn)之間最短距離，(x1,y1)表示二維平面第一點(diǎn)坐標(biāo)，(x2,y2)表示二維平面第二點(diǎn)坐標(biāo)。

平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差函數(shù)是指理論軌跡與實(shí)際生成軌跡所構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)。以往研究大多采用歐幾里得距離誤差累積平方函數(shù)，如下所示：

(4)

式中：(xi,yi)表示四桿機(jī)構(gòu)第i個理論軌跡點(diǎn)，(xi′,yi′)表示四桿機(jī)構(gòu)第i個實(shí)際生成軌跡點(diǎn)，n表示四桿機(jī)構(gòu)軌跡點(diǎn)個數(shù)。

因此，平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡位置平均誤差目標(biāo)函數(shù)計算式如下所示：

(5)

1.4 約束條件

平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡的約束條件必須滿足以下3個部分：

(1)在四桿機(jī)構(gòu)中，至少有一個連桿能夠作整周旋轉(zhuǎn)。因此，四桿機(jī)構(gòu)的桿長應(yīng)該滿足曲柄搖桿機(jī)構(gòu)整周運(yùn)動的條件，即：

2[min(r1,r2,r3,r4)+max(r1,r2,r3,r4)]<
(r1+r2+r3+r4)

(6)

(3)四桿機(jī)構(gòu)連桿長度必須為正值。

2 改進(jìn)差分進(jìn)化算法優(yōu)化

2.1 多目標(biāo)綜合優(yōu)化

多目標(biāo)綜合優(yōu)化指的是在多個條件下搜索出最大值或者最小值。本文四桿機(jī)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)誤差是求最小值，其多目標(biāo)綜合優(yōu)化數(shù)學(xué)表達(dá)式[9-10]如下所示：

miny=f(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)]

(7)

s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,n

(8)

式中：x∈Rn表示n個未知設(shè)計變量，y∈Rn表示由變量組成的n個目標(biāo)函數(shù)，gi(x)表示可行解區(qū)域內(nèi)不等式約束條件。

2.2 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法通常用來求解連續(xù)變量的全局最優(yōu)問題，和其它算法類似，主要包括變異、交叉和選擇三個部分[11]。改進(jìn)差分進(jìn)化算法主要是對變異和選擇的改進(jìn)，由帕累托搜索出的最優(yōu)解和種群中產(chǎn)生變異的任意兩個個體表達(dá)公式[12]如下：

(9)

2.3 變異改進(jìn)

因?yàn)樯弦淮菍儆谂晾弁凶顑?yōu)解集，算法的收斂速度較快，導(dǎo)致種群數(shù)量減少。所以，為了避免搜索過程中出現(xiàn)局部最優(yōu)解，需要對其進(jìn)行變異操作。在具體問題研究過程中，每個基因都會對目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生影響也不同，有的基因?qū)δ繕?biāo)函數(shù)結(jié)果影響很大。因此，對基因的排列方式可以根據(jù)基因?qū)δ繕?biāo)函數(shù)的影響程度，影響程度越大，變異概率也就越大。本文研究的平面四桿機(jī)構(gòu)，l5和l6的值對運(yùn)動軌跡影響最大，那么變異概率就是最大。對此，本文把基因劃分為4組進(jìn)行變異操作[13]，如下所示：

x←x+range×(2×U(0,1)-1)

(10)

(11)

2.4 選擇改進(jìn)

差分進(jìn)化算法的性能會受到選擇操作的影響，選擇操作不僅會影響差分進(jìn)化算法收斂速度和多樣性，而且還會影響到全局尋優(yōu)能力。由平面四桿機(jī)構(gòu)的約束條件(1)、(2)和(3)可以得出，改進(jìn)后的選擇操作如下所示：

(12)

(13)

(3)二者都不符合約束條件1，ga(Xi)最小的遺傳給下一代，即：

(14)

(4)二者都符合約束條件1，起到支配作用的個體遺傳給下一代。若二者無法進(jìn)行比較，則目標(biāo)函數(shù)和最小的遺傳給下一代，即：

(15)

3 誤差仿真與分析

平面四桿機(jī)構(gòu)軌運(yùn)動跡點(diǎn)選擇11個指定點(diǎn)，借助于Matlab軟件對改進(jìn)差分進(jìn)化算法優(yōu)化尺寸進(jìn)行計算，計算過程中需要的參數(shù)如下：種群最大迭代次數(shù)為500，種群數(shù)量為200，縮放因子為0.7，交叉概率為0.95，變異概率為0.85，變異操作過程中，a=0.35，b=0.65，c=0.85，選擇操作過程中，n=400，則平面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化前與優(yōu)化后的參數(shù)對比結(jié)果如表1所示。

表1四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)

優(yōu)化后的平面四桿機(jī)構(gòu)及運(yùn)動軌跡如圖2所示。

圖2 優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)及運(yùn)動軌跡

采用Matlab軟件對優(yōu)化后的平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡進(jìn)行誤差仿真。同時，與優(yōu)化前的運(yùn)動軌跡誤差仿真結(jié)果進(jìn)行對比。平面四桿機(jī)構(gòu)橫向運(yùn)動軌跡誤差仿真結(jié)果如圖3所示，平面四桿機(jī)構(gòu)縱向運(yùn)動軌跡誤差仿真結(jié)果如圖4所示。

由圖3仿真結(jié)果可知，優(yōu)化前平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡橫向誤差產(chǎn)生的峰值為0.25cm，優(yōu)化后平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡橫向誤差產(chǎn)生的峰值為0.17cm，橫向誤差大約降低了32.0%。由圖4仿真結(jié)果可知，優(yōu)化前平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡縱向誤差產(chǎn)生的峰值為0.19cm，優(yōu)化后平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡縱向誤差產(chǎn)生的峰值為0.13cm，縱向誤差大約降低了31.6%。因此，采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法優(yōu)化平面四桿機(jī)構(gòu)，運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的誤差相對較小，提高了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡精度。

圖3 運(yùn)動軌跡橫向誤差仿真結(jié)果

圖4 運(yùn)動軌跡縱向誤差仿真結(jié)果

4 結(jié)束語

本文研究了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差問題，采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法對四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動尺寸進(jìn)行了優(yōu)化。創(chuàng)建了平面四桿機(jī)構(gòu)簡圖模型，設(shè)置了優(yōu)化參數(shù)變量，推導(dǎo)了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，添加了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動約束條件。采取改進(jìn)差分進(jìn)化算法，將優(yōu)化參數(shù)變量劃分為4組，通過遺傳迭代，得出最優(yōu)仿真參數(shù)。采用Matlab軟件對平面四桿機(jī)構(gòu)橫向和縱向運(yùn)動軌跡誤差進(jìn)行仿真。同時，優(yōu)化前仿真結(jié)果進(jìn)行對比和分析。仿真結(jié)果表明，采用改進(jìn)差分進(jìn)化算法優(yōu)化后的平面四桿機(jī)構(gòu)橫向和縱向運(yùn)動軌跡誤差峰值降低，為平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡深入的研究提供了參考依據(jù)。

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(編輯李秀敏)

ResearchonMulti-objectiveSyntheticOptimizationandErrorSimulationofMotionTrajectoryofPlanarFour-barLinkage

WANG Qi1，HE Ren2

(1.Department of Automotive Engineering, Zhenjiang College, Jiangsu Zhenjiang 212003,China; 2.School of Automobile and Traffic Engineering,Jiangsu University,Zhenjiang Jiangsu 212013,China)

Aiming at the large error of the motion of the planar four-bar mechanism,an improved differential evolution algorithm is used to optimize the trajectory error of planar four-bar mechanism. Structure four-bar mechanism,and analyze the variable parameters of four-bar mechanism.By using Euclidean distance error function,the optimal objective function is deduced,and an improved differential evolution algorithm is used to optimize the constraints of the four-bar linkage mechanism.The optimized results are input to the Matlab software for error simulation, and compared with the pre-optimization error simulation results. The simulation results show that the transverse and longitudinal error peaks of the four-bar mechanism are 0.25cm and 0.19cm respectively, and the peak of the transverse and longitudinal errors are 0.17cm and 0.13cm,and the horizontal and vertical error peak values decreased by 32.0% and 31.6% respectively.Using the improved differential evolution algorithm to optimize the trajectory of the four - bar mechanism, the error generated by the trajectory of the four - bar mechanism can be reduced.

Planar four-bar mechanism;Improved differential evolution;trajectory;multi-objective optimization

TH122;TG65

：A

1001-2265(2017)09-0055-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.09.014

2016-11-21；

：2016-12-17

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275212);江蘇省高等職業(yè)院校教師國內(nèi)高級訪問學(xué)者計劃資助項(xiàng)目(2015FX098)

王琦(1976—)，女，江蘇東臺人，鎮(zhèn)江高等專科學(xué)校副教授，碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)械自動化，(E-mail)qwang201611@163.com；何仁(1962—)，男，南京人，江蘇大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槠嚈C(jī)電一體化。