方 柳，劉玉亮，趙桂平

(1.西安交通大學 航天航空學院，機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049； 2.大連理工大學 航空航天學院， 遼寧 大連 116024)

【裝備理論與裝備技術】

考慮動力剛化的撓性航天器的動力學建模與分析

方 柳1，劉玉亮2，趙桂平1

(1.西安交通大學 航天航空學院，機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049； 2.大連理工大學 航空航天學院， 遼寧 大連 116024)

本文以含有撓性太陽能帆板的衛(wèi)星為研究對象，建立了考慮動力剛化效應的剛柔耦合動力學模型，并與傳統(tǒng)的線性模型進行了對比。首先，通過Hamilton變分原理建立了考慮動力剛化效應的撓性衛(wèi)星的姿態(tài)運動和結構振動的偏微分方程；之后，通過假設模態(tài)法對偏微分方程進行離散，得到離散化后的線性模型和動力剛化模型；最后，給出了某些特定外界激勵下兩種模型動力學響應的數(shù)值仿真結果。仿真結果表明，動力剛化效應將對衛(wèi)星的柔性結構振動產(chǎn)生較大影響；在一定的外界激勵下，采用線型模型的計算結果與動力剛化模型的計算結果之間存在較大偏差。

剛柔耦合；動力剛化；Hamilton變分原理；假設模態(tài)法

隨著航天技術的發(fā)展，人們對航天器的任務需求也越來越復雜。傳統(tǒng)剛體航天器已無法滿足人們的需求。為了節(jié)約發(fā)射成本，現(xiàn)有的航天器大都采用質量輕，剛度小的柔性結構，如柔性太陽帆板，大型柔性天線等可展開結構[1-3]。柔性結構的引入為航天器在軌動力學建模與分析帶來了困難。太陽帆板 等柔性部件的結構振動將對航天器的姿態(tài)運動產(chǎn)生影響，而航天器的姿態(tài)運動又會反過來作用在航天器的柔性部件上，產(chǎn)生剛柔耦合作用。為了充分保證航天器的正常在軌運行，就必須對該類航天器的剛柔耦合機理進行研究。

現(xiàn)有關于柔性航天器的剛柔耦合作用的研究大都沒有考慮旋轉帶來的剛化效應。20世紀七、八十年代，為了解決航天技術中面臨的實際工程問題，以Meirovitch[4-6]和Stemple[7-8]為首的學者通過采用Hamilton變分原理，以及小變形假設建立起柔性結構振動理論，并在此基礎上演化出目前進行動力學分析和控制系統(tǒng)設計時廣泛采用的傳統(tǒng)線性模型。傳統(tǒng)線性模型通過采用分離變量法對偏微分線性方程進行處理，推導出基于模態(tài)坐標法描述結構振動的理論。該類方法具有計算量小，結構形式簡單等優(yōu)點，得到了廣泛應用。然而隨著傳統(tǒng)結構頻率的不斷降低以及航天器姿態(tài)機動速度不斷增加，傳統(tǒng)的線性模型在計算結構振動時出現(xiàn)了誤差不斷增加的情況。1987年，Kane[9]在對固結于運動基座上的懸臂梁進行動力學分析時發(fā)現(xiàn)，當懸臂梁高速旋轉時，按零次近似動力學模型計算出的懸臂梁撓度趨于發(fā)散且剛度為零或為負，然而實驗得到的結論卻與理論分析相反。因此，Kane首次提出了動力剛化的概念，對傳統(tǒng)的零次模型進行了修正，提出了與實驗結果相符合的動力剛化模型。

自從該概念提出以來，國內、外學者對其進行了廣泛的研究，大都在柔性體的變形-應變關系中考慮了非線性項。對非線性項處理的方法大致可分為兩類，一類是在柔性體的變形場中加入非線性項使得系統(tǒng)產(chǎn)生動力剛化項[10-11]；其二是在線性化動力學方程中加入由剛體大范圍運動所產(chǎn)生的慣性載荷引起的幾何動力剛化項[12-13]。章定國等[14-16]以旋轉懸臂柔性梁為研究對象，在考慮橫向變形引起的縱向縮短的二階耦合變形量的條件下，用Hamilton變分原理和假設模態(tài)法推導出了考慮“動力剛化”的一次近似耦合模型，研究了旋轉懸臂柔性梁的頻率轉向和頻率轉換特性。楊輝等[17-18]對柔性梁的“動力剛化”現(xiàn)象進行了實驗研究，結果表明在某些高速旋轉情況下，傳統(tǒng)零次近似模型不能夠準確計算梁的橫向振動響應，而實驗得到的梁的橫向振動響應與一次近似耦合模型預測的結果一致，驗證了一次近似耦合模型的正確性。在上述文獻中，大都只對旋轉作用下，撓性結構的振動特性進行分析[14-18]，并未深入研究動力剛化作用下結構振動對航天器姿態(tài)運動的影響。而且，文獻[17-18]所采用的動力學模型為有限元模型。由于有限元模型階次較高，不適合作為航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)和振動抑制系統(tǒng)設計的模型。

基于上述問題，本文以美軍寬帶全球衛(wèi)星通信系統(tǒng)-1[19](如圖1所示)為研究對象，建立了含有動力剛化項的剛柔耦合模型，采用假設模態(tài)法進行離散，得到適合作為該衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)和振動抑制系統(tǒng)設計的模型，對姿態(tài)運動和結構振動之間的耦合作用進行了研究。此外，還將與傳統(tǒng)的線性模型對比，通過數(shù)值仿真驗證他們之間的差異。全文安排如下：第一節(jié)，采用Hamilton變分原理建立衛(wèi)星偏微分方程；第二節(jié)，通過假設模態(tài)法對偏微分方程進行離散，得到離散化的傳統(tǒng)線性模型和動力剛化模型；第三節(jié)，給出數(shù)值仿真算例；在第四節(jié)給出結論。

圖1 美軍寬帶全球衛(wèi)星通信系統(tǒng)-1

1 運動方程

為了使問題簡化，本文只考慮衛(wèi)星在平面內的運動，衛(wèi)星的姿態(tài)運動和結構振動的示意圖如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星姿態(tài)運動和結構振動示意圖

(1)

質量單元dm的速度可表示為：

(2)

(3)

這里，IC表示中心剛體繞OZo的轉動慣量；令dm=σdx，其中，σ表示柔性帆板的單位長度質量，這里假設柔性帆板是均勻的，各向同性的歐拉伯努利梁，因此σ是一個常數(shù)。衛(wèi)星的彈性勢能可表示為：

(4)

其中，EI表示梁的抗彎剛度；l表示梁的長度。

(5)

結合式(4)和式(5)，利用Hamilton變分原理，可推出衛(wèi)星姿態(tài)運動和結構振動的偏微分運動方程。Hamilton變分原理可表示為：

(6)

這里，L=T-U表示Lagrange函數(shù)；Wτ表示外力所做的虛功，這里的外力只考慮作用在中心剛體的質心O處的力偶τ，滿足δWτ=τδθ,這里δθ表示衛(wèi)星姿態(tài)運動的虛位移。由式(6)可導出：

(7)

(8)

其邊界條件為：

u(0,t)=0

(9.a)

u(1)(0,t)=0

(9.b)

u(2)(l,t)=0

(9.c)

u(3)(l,t)=0

(9.d)

其中，u(i),i=1,2,3,4，表示u相對于x的第i階導數(shù)。

2 模型的離散化

2.1 模態(tài)正交性

傳統(tǒng)的線性模型是通過對式(7)和式(8)簡化得到，其方程為：

(10)

(11)

u(x,t)=φ(x)q(t)=φq

(12)

將其帶入式(10)并將φ和q移動至方程的兩邊，可得：

(13)

其中，ω是一個常數(shù)，表示梁振動的頻率。式(10)的邊界條件可以簡化為：

φ(0)=0

(14.a)

φ(1)(0)=0

(14.b)

φ(2)(l)=0

(14.c)

φ(3)(l)=0

父母應該引導孩子不要非常強烈地在乎細節(jié)上的對和錯，因為對錯往往是相對的。對于孩子做的事情，父母也不要總用對錯來分析。

(14.d)

將式(13)進行處理，可轉化為：

EIφ(4)=σφω2

(15)

假設φi和φj分別是梁振動的第i階和第j階陣型，ωi和ωj分別是梁振動的第i階和第j階頻率；將φi帶入式(15)，并在兩邊同時乘以φj積分可得：

(17)

將式(16)展開，結合邊界條件(14.a)～ (14.d)可得：

(17)

同理可得：

(18)

將式(17)減去式(18)可得：

(19)

(20)

即方程各模態(tài)之間滿足正交性。

結合式(15)和邊界條件(14.a)～ (14.d)可以求出陣型φ的解析表達式[20]：

φi=A[coshγix-cosγix-

(21)

1+cosγil·coshγil=0

(22)

2.2 線性模型(LM)

設橫向變形u可以表示為下式：

u=φTq

(23)

(24)

(25)

由式(25)可以看出梁的各階振動解耦。將式(23)帶入式(11)可得：

(26)

2.3 動力剛化模型(DSM)

設橫向變形u可以表示為：

u=φTp

(27)

將式(27)帶入方程(7)，在方程兩邊同時乘以φ進行積分，這里φ為歸一化的模態(tài)；結合正交條件式(19)和式(20)化簡可得：

(28)

(29)

將式(27)帶入方程(8)進行化簡可得：

(30)

式中畫橫線的部分為線性模型中所忽略的項。

3 仿真算例

本節(jié)給出幾個數(shù)值仿真算例驗證模型的有效性。其中，梁的參數(shù)值分別為：σ=1 kg/m;l=50 m;a=10 m;EI=6.25×104N·m2;I1=2.15×105kg·m2。 這里只取前兩階模態(tài)進行計算ω1=0.351 56 rad/s；ω2=2.203 36 rad/s；F1=256.457 8 kg·m；F2=62.794 9 kg·m；其中Γ=[F1F2]T，D的值為：

(31)

圖3 旋轉對結構振動角頻率的影響

第二個算例是在已知規(guī)律旋轉角速度下的動力學響應。旋轉規(guī)律為:

(32)

其中，Ω0=0.5 rad/s；T=100 s；初始條件為：

q1=q2=p1=p2=0 m

(33.a)

(33.b)

柔性帆板末端變形的動態(tài)響應如圖4所示。從圖中可以看出，在衛(wèi)星的旋轉角速度達到某一轉速的情況下，采用傳統(tǒng)線性模型計算的結果與動力剛化模型的計算結果存在很大偏差。因此，當衛(wèi)星的撓性附件的結構頻率較低時，需采用動力剛化模型進行動力學分析和控制系統(tǒng)的設計，否則將產(chǎn)生較大誤差。此外，從圖中還可以看出采用動力剛化模型計算得到的結果比傳統(tǒng)線性模型的計算結果變形要小，這主要是因為動力剛化效應使柔性梁的等效剛度增加，從而使其不易發(fā)生變形，這也從側面說明了動力剛化模型的有效性。

圖4 柔性梁末端隨時間響應

為了分析動力剛化模型對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的影響，本文還將給出已知外界一定規(guī)律力矩作用在中心剛體上的衛(wèi)星姿態(tài)動力學響應和柔性梁末端變形的動力學響應，力矩的施加規(guī)律為：

(34)

其中， τ0=1.075×103N·m；模態(tài)的初始條件與式(33.a)和(33.b)相同；衛(wèi)星的姿態(tài)初始條件為：

(35)

圖5和圖6表示衛(wèi)星姿態(tài)的動力學響應，圖6是圖5的局部放大；圖7表示撓性帆板末端動力學響應。

圖5 衛(wèi)星的姿態(tài)角隨時間響應

圖6 衛(wèi)星的姿態(tài)角隨時間響應

圖7 柔性帆板末端變形隨時間響應

從圖5和圖6可以看出，兩種模型的姿態(tài)運動規(guī)律差別很小，說明動力剛化效應對衛(wèi)星的姿態(tài)運動影響很小。這主要是因為撓性帆板的質量占總體質量百分比較小，而衛(wèi)星的中心剛體質量占主導，使衛(wèi)星的結構振動并不會對衛(wèi)星姿態(tài)運動產(chǎn)生較大影響。即使動力剛化效應對衛(wèi)星的結構振動產(chǎn)生較大影響，對姿態(tài)運動的影響卻很小。然而，動力剛化效應對姿態(tài)運動的影響將會隨著柔性附件質量與總質量的比值的增加而增加。此外，由圖7可以看出，衛(wèi)星在受到激勵的過程中，動力剛化模型的結構形變要小于線性模型。此結果與第二例仿真結果相同。

4 結論

本文以美軍寬帶全球衛(wèi)星通信系統(tǒng)-1為研究對象，研究了動力剛化效應對其姿態(tài)運動和結構振動的影響。研究結果表明：

1) 對于帶有大型撓性帆板且結構角頻率較低的衛(wèi)星，動力剛化現(xiàn)象會對衛(wèi)星的結構振動產(chǎn)生較大影響，采用傳統(tǒng)線性模型的計算結果存在較大誤差；

2) 衛(wèi)星的旋轉角速度與柔性結構的一階角頻率的比值越大，動力剛化效應對柔性結構振動的影響越大。對于本文的研究對象，當衛(wèi)星的旋轉角速度為結構一階角頻率的2.5倍時，其結構振動的一階結構角頻率大約增加一倍。

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(責任編輯周江川)

DynamicModelingandAnalysisforFlexibleSpacecraftwithDynamicStiffening

FANG Liu1, LIU Yuliang2, ZHAO Gui-ping1

(1.State key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structure, School of Aerospace， Xi’an Jiaotong University School of Aerospace, Xi’an 710049, China; 2.School of Aeronautics and Astronautics， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China)

A satellite with flexible solar panels is studied in this paper. The rigid-flexible coupling dynamic model considering stiffening effect is proposed and compared with the traditional linear model. The partial differential equations of the attitude motion and structural vibration of the flexible satellite with considering stiffening effect are firstly derived from Hamilton’s principle. Then the linear model and the dynamic stiffening model are obtained by discretizing the partial differential equations using assumption mode method. At last, numerical simulations of the dynamic responses of the two models under certain external excitation are presented. The results show that stiffening effect has a significant influence on the flexible structure vibration, and there will be a lot of deviation between the results computed by the linear model and dynamic model under a certain external excitation.

rigid-flexible; dynamic stiffening; Hamilton’s law of variation principle; assumption mode method

2017-04-10；

：2017-04-30

：國家自然科學基金項目(11372237)

方柳(1990—)，女，碩士研究生，主要從事工程力學研究；劉玉亮(1991—)，男，博士研究生，主要從事大型空間結構的姿態(tài)動力學、軌道動力學與控制研究。

趙桂平(1958—)，女，博士，教授，主要從事工程力學研究。

10.11809/scbgxb2017.09.014

format:FANG Liu, LIU Yuliang,ZHAO Gui-ping.Dynamic Modeling and Analysis for Flexible Spacecraft with Dynamic Stiffening[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(9):67-72.

V411.4

：A

2096-2304(2017)09-0067-06

本文引用格式：方柳，劉玉亮，趙桂平.考慮動力剛化的撓性航天器的動力學建模與分析[J].兵器裝備工程學報，2017(9):67-72.