舒睿洪,王國平，武令偉

(南京理工大學 能源與動力工程學院， 南京 210094)

【裝備理論與裝備技術】

含區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭特征值分析

舒睿洪,王國平，武令偉

(南京理工大學 能源與動力工程學院， 南京 210094)

系統(tǒng)結構參數(shù)的隨機性會引起系統(tǒng)振動特性的變化；基于區(qū)間參數(shù)和多體系統(tǒng)傳遞矩陣法，分析了火箭彈特征值問題，并對含區(qū)間參數(shù)的柔性火箭彈振動特性進行了數(shù)值仿真，進而比較了彈長、彈重和轉動慣量的波動對振動特性的影響以及推力和質(zhì)量流失對橫向位移的影響；該方法涉及的矩陣階次低，計算速度快，無需建立系統(tǒng)總體動力學方程，為研究復雜變截面彈箭和飛行中的復雜問題提供了重要參考。

傳遞矩陣法；柔性彈箭；特征值；振動特性

多管火箭武器系統(tǒng)具有機動性好、成本低、威力大，可在較短時間對面目標進行強火力攻擊，在戰(zhàn)場上具有非常重要的地位。它的射擊精度和密集度，都會受到火箭彈振動特性的影響，因此，含不確定區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭振動分析[1-4]，對于火箭彈的研究具有重要意義。但在生產(chǎn)制造過程中，由于各材料特性、制造工藝、裝配過程和具體使用等多種因素的影響，導致彈箭系統(tǒng)的各參數(shù)具有隨機性，而結構參數(shù)的隨機性會導致系統(tǒng)振動特性變化。因此，對含區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭特征值[5]的分析已引起研究人員的關注。目前解析法、Monte Carlo法以及攝動法是最常用的3種彈箭振動特性的研究方法。但一般力學方法在分析柔性體固有振動特性時，常會面臨解決矩陣階次高、計算量繁復等問題。董滿才等[6]基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法，分析比較了這3種方法的優(yōu)劣。戎保等[7]在傳遞矩陣法和攝動法的基礎上，分析了參數(shù)變化造成火箭彈振動特性的變化。本文利用多體系統(tǒng)傳遞法，分析細長的柔性彈箭在飛行過程中的固有振動特性，并通過單一變量法依次研究各初始參數(shù)在相應區(qū)間內(nèi)對該柔性彈箭固有振動特性中的頻率、振型、響應以及橫向位移的影響。

本課題基于區(qū)間參數(shù)[8]和多體系統(tǒng)傳遞矩陣法理論[9-10]，通過對彈箭系統(tǒng)動力學模型的建立，利用動力學理論推導了傳遞方程和傳遞矩陣，進行了特征值分析，進而比較彈長、彈重和轉動慣量的波動對振動特性的影響以及推力和質(zhì)量流失對振動橫向位移的影響。該方法涉及的矩陣階次低，計算速度快，無需建立系統(tǒng)總體動力學方程，為研究復雜變截面彈箭和飛行中的復雜問題提供了重要參考。

1 求頻率以及固有振型

隨著火箭彈射程和性能的提高，其長細比逐漸變大，當火箭彈長細比達到25以上時，對其固有振動特性的分析時需要將其作為柔性體處理。為敘述方便，假設該柔性彈振動符合以下基本假設： 柔性彈為沿彈軸截面變化的梁，且彈體中心線與質(zhì)量中心線重合； 長徑比大，不考慮剪切的影響； 軸向剛度遠大于橫向彎曲剛度，忽略拉壓變形的影響。

在物理坐標系下定義輸出點O與輸入點I的狀態(tài)矢量為

(1)

式(1)中狀態(tài)矢量見參考文獻[11]。因此系統(tǒng)自由振動時有

(2)

式(2)中ω為火箭彈的固有頻率。模態(tài)坐標系下輸出點O(即彈頭)和輸入點I(即彈尾)的狀態(tài)矢量分別為

(3)

根據(jù)彈頭彈尾傳遞關系可得矩陣：

ZO=UZI

(4)

式(4)系統(tǒng)的傳遞矩陣：

(5)

將邊界條件

代入式(4)可得特征方程

(6)

解此方程便可得系統(tǒng)的固有頻率。由于超過10階后對特征方程組的影響忽略不計，因此對所求得的頻率只求前10階。每一階固有頻率求特征方程組：

(7)

便可求得火箭彈彈頭處的狀態(tài)矢量。再通過傳遞方程即可求得火箭彈長方向任意位置的系統(tǒng)振型和狀態(tài)矢量?；鸺龔椙?0階具體振型如圖1所示，其最值及頻率如表1。

由圖1和表1可看出，振動周期隨著頻率的增加而減?。徽穹S著頻率的增大而減小，第10階的振幅已衰減到第一階振幅的0.15，且相鄰兩個頻率值相差越小，振幅變化越大，振型圖中的最大值逐漸減小。

表1 火箭彈前10階振型最值及頻率

2 動力響應

多剛柔體系統(tǒng)無阻尼的體動力學方程為

Mvtt+Kv=f

(8)

根據(jù)動力響應物理坐標在增廣特征矢量Vk下展開可得

(9)

用增廣特征矢量求內(nèi)積，同時應用增廣特征矢量正交性得

(10)

設該柔性彈系統(tǒng)的初始條件為

(11)

則

(12)

在廣義坐標的解的基礎上可得火箭彈的動力響應為

(13)

模態(tài)質(zhì)量

火箭彈X方向位移為

(14)

Y方向位移為

(15)

由于火箭彈是軸對稱的，Z軸振動情況和Y軸一致，僅討論Y軸方向。

圖1 火箭彈前10階振型

火箭彈在燃料燃燒過程中推力保持不變，但由于燃料不斷燃燒，火箭彈質(zhì)量流失的振動位移時間歷程如圖2(a)、圖2(b)所示，在燃料完全燃燒后，火箭彈質(zhì)量基本保持不變的情況下的振動位移時間歷程如圖2(c)、 圖2 (d)所示。

圖2(c),圖2(d)是火箭彈在只受重力情況下，X、Y方向的振動位移時間歷程。實驗表明，火箭彈在飛行過程中燃料燃燒時間為2s，圖2 (a)、 圖2 (b)是飛行過程中的振動位移時間前兩秒，在推力一定的情況下，質(zhì)量不斷流失，2 s后只受重力和空氣阻力。從圖中可看出，和飛行過程中相比，只受重力影響的情況下X、Y方向振動位移明顯小很多，說明推力和空氣阻力對振動所產(chǎn)生的橫向位移影響較大。并且，隨著質(zhì)量減少，產(chǎn)生的橫向振動位移振幅減小，振動周期大幅度增加。

圖2 位移時間歷程

3 參數(shù)變化對振動的影響

由于材料、加工以及裝配等問題，火箭彈的彈長、彈重和轉動慣量實際值都會在理論值附近的區(qū)間波動。隨著機械加工精度的提高，火箭彈的長度和質(zhì)量的加工誤差相對較低，通常能控制在上下5%的范圍以內(nèi)，但轉動慣量裝配過程中會產(chǎn)生二次誤差，使最終的誤差范圍在上下10%的范圍內(nèi)。為了研究區(qū)間參數(shù)對火箭彈的振動特性的影響，使彈長、彈重在標準值上下5%的范圍、轉動慣量在上下10%范圍內(nèi)單獨變化以及3個變量同時變化，分別計算了火箭彈前10階固有振動頻率，并分析單一變量和3個變量同時變化時對固有頻率的影響效果，具體變化分析示意圖如圖3、圖4、圖5和圖6所示。

圖3 頻率隨長度變化

圖4 頻率隨質(zhì)量變化

圖5 頻率隨轉動慣量變化

圖6 頻率隨質(zhì)量、彈長、轉動慣量同時在區(qū)間變化

由此可知，隨著彈長、彈重和轉動慣量分別在標準值上下5%區(qū)間范圍內(nèi)變化時，彈箭的固有振動頻率值分別隨彈長和彈重的增加而減小，隨著轉動慣量的增加而增加，但長度對頻率的影響最為顯著。由圖5可知，當彈重、彈長和轉動慣量同時在區(qū)間范圍內(nèi)變化時，對頻率的影響大于3個變量分別作用時對頻率的影響，可見三者對頻率的作用會相互影響。

由圖3可知，隨著長度增加，頻率減?。婚L度在標準值5%范圍內(nèi)波動時，第一階變化7.51%，到第10階變化7.56%，可得出高階情況下長度對頻率影響范圍略小。由圖4可知，隨著質(zhì)量增加，頻率減小。由圖5可知，各階振動頻率隨著轉動慣量的增加而增加，且轉動慣量對高階的頻率變化略多于低階，推力和空氣阻力對振動所產(chǎn)生的橫向位移影響較大。并且，隨著質(zhì)量減少，產(chǎn)生的橫向位移振幅減小，振動周期大幅度增加。

4 結論

本文采用了區(qū)間參數(shù)和多體系統(tǒng)傳遞矩陣法分析了柔性火箭彈的隨機特征值問題。該方法無需建立系統(tǒng)總體動力學方程，涉及的矩陣階次低，可快速獲得精度較高的全系統(tǒng)固有振型，在一定程度上保證了柔性火箭彈特征值的快速計算，并成功分析出彈長、彈重和轉動慣量對火箭彈振動特性的影響。該研究將為更加復雜的變截面火箭彈的研究分析以及實際飛行過程中遇到的更加復雜的問題提供參考。

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[3] 芮筱亭,戎保.多體系統(tǒng)傳遞矩陣法研究進展[J].力學進展，2012，42(5):4-17.

[4] 展志煥,芮筱亭,王國平.基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法的多管火箭定向管振動控制[J].力學學報，2010，42(3):583-590.

[5] 趙銳.時變質(zhì)量柔性結構的動力學建模與分析[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學,2012.

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[10] 何斌.多體系統(tǒng)傳遞矩陣法研究及其在發(fā)射動力學中的應用[D].南京：南京理工大學,2006.

[11] 芮筱亭,贠來峰,陸毓琪,等.多體系統(tǒng)傳遞矩陣法及其應用[M].北京:科學出版社,2008.

(責任編輯周江川)

ResearchonEigenvalueswithIntervalParametersofFlexibleMissile

SHU Ruihong, WANG Guoping, WU Lingwei

(School of Energy And Power Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

On the basis of interval parameter and multi-body system transfer matrix method, this paper not only analyzes the problem of eigenvalue of rocket, but also carries out the numerical simulation of the flexible rocket vibration characteristics with interval parameters. And then the influence of the fluctuation of the bomb length, the bomb weight and the moment of inertia on the vibration characteristics and the influence of the thrust and mass loss on the lateral displacement are compared. Involving a low order of the matrix and computing fast, this way has no need to establish the overall system dynamics equation and provides an important reference for the study of complex variable cross-section projectile and flying complex problems.

transfer matrix method; flexible missile; eigenvalues; vibration characteristics

2017-04-24；

：2017-05-25

舒睿洪(1994—)，女，主要從事彈箭外彈道研究。

王國平(1976—)，男，研究員，主要從事武器系統(tǒng)動力學控制與優(yōu)化設計研究。

10.11809/scbgxb2017.09.010

format:SHU Ruihong, WANG Guoping, WU Lingwei.Research on Eigenvalues with Interval Parameters of Flexible Missile[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(9):48-52.

TJ513

：A

2096-2304(2017)09-0048-05

本文引用格式：舒睿洪,王國平，武令偉.含區(qū)間參數(shù)的柔性彈箭特征值分析[J].兵器裝備工程學報，2017(9):48-52.