馮迎飛

【中圖分類號(hào)】G623.5

在我們的生活中有很多問題需要用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決。排隊(duì)就是我們生活中最常見的問題，如到銀行取錢，到醫(yī)院看病，到火車站買票等。有時(shí)候排隊(duì)的人很多，要花費(fèi)很多時(shí)間，如何使投入資源少，而顧客對(duì)服務(wù)又滿意，這就需要研究排隊(duì)問題?？梢越?shù)學(xué)模型，使實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問題，使顧客等待的時(shí)間最少。今天我想談?wù)劺贸踔袛?shù)學(xué)知識(shí)研究生活中的排隊(duì)問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活，而又服務(wù)于生活，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

問題1：某服務(wù)機(jī)構(gòu)開設(shè)了一個(gè)窗口辦理業(yè)務(wù)，按先到達(dá)先服務(wù)的方式服務(wù)。該窗口每2分鐘服務(wù)一位顧客，已知當(dāng)窗口開始工作時(shí)，已經(jīng)有6位顧客在等待，在窗口開始工作1分鐘后，又有一位新顧客到達(dá)，且預(yù)計(jì)以后每5分鐘都有一位新顧客到達(dá)。

1）設(shè) 表示窗口開始工作時(shí)已經(jīng)在等待的6位顧客， 表示窗口開始工作后按先后順序到達(dá)的新顧客，完成表格：

顧客

到達(dá)時(shí)間

服務(wù)開始時(shí)間

服務(wù)結(jié)束時(shí)間

等待時(shí)間

2）根據(jù)表格，哪一位顧客是第一個(gè)到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)而不需要排隊(duì)的？求出他到達(dá)的時(shí)間。

3）在第一位不需要排隊(duì)的顧客到達(dá)之前，該窗口已經(jīng)服務(wù)了多少位顧客？為這些顧客共花了多長時(shí)間？

4）求平均等待時(shí)間是多少分鐘？

解：1）完成表格如下：

顧客

到達(dá)時(shí)間 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26

服務(wù)開始時(shí)間 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26

服務(wù)結(jié)束時(shí)間 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28

等待時(shí)間 0 2 4 6 8 10 11 8 5 2 0 0

2）由表格可知： 是第一位到達(dá)不需要排隊(duì)的顧客，他到達(dá)的時(shí)間是21分鐘。

3）前面已經(jīng)服務(wù)了10位顧客，共花費(fèi)了20分鐘。

4）（0+2+4+6+8+10+11+8+5+2）÷10=5.6（分鐘）

拓展：上面問題中，若問題的條件變復(fù)雜（如當(dāng)窗口開始工作時(shí)已經(jīng)有很多顧客在等待），使用列表方法就很麻煩，能否用代數(shù)式表示上面的數(shù)量，由上面的具體問題歸納如下。

問題2：在問題1中，當(dāng)窗口開始工作時(shí)，已經(jīng)有10位顧客在等待，且當(dāng)新顧客 離開時(shí)，排隊(duì)消失，即 為第一位不需要排隊(duì)的新顧客。

1） 在第一位不需要排隊(duì)的“新顧客” 到達(dá)之前，已經(jīng)服務(wù)了多少位顧客？共花費(fèi)了多長時(shí)間？

2） “新顧客” 到達(dá)時(shí)間是什么？“新顧客”到達(dá)后不需要排隊(duì)的條件是什么？并求出 的值。

解：1）（10+n）位，共花費(fèi)時(shí)間是2（10+n）分鐘

2）（5n+1）分鐘，“新顧客”不排隊(duì)的條件是等待時(shí)間小于或等于0，即窗口服務(wù)開始時(shí)間小于等于“新顧客”到達(dá)時(shí)間，

因此有：20n+20≤5n+1，解得n≥

同時(shí)還要：2n+20-2>5n+1-5，（即前一位新顧客等待時(shí)間大于零），

解得n<

所以

所以n=7，則n+1=8，即第八位顧客不需要排隊(duì)。

通過以上兩個(gè)問題，用列表和列代數(shù)式讓學(xué)生感受到由具體問題歸納出一般解題方法，從而使學(xué)生能舉一反三，觸類旁通，同時(shí)體會(huì)到利用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問題，把實(shí)際問題通過建立數(shù)學(xué)模型來解決，而本題利用不等式模型解決此類問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

例1：蚌埠市博愛醫(yī)院兒科診室外有5位患者在候診，主任醫(yī)師到來后，開始為第1位患者診斷，每5分鐘診斷完一位患者，在主任醫(yī)師開始工作2分鐘后，又有一位新患者到達(dá)，且預(yù)計(jì)以后每10分鐘有一位新患者到達(dá)，設(shè) 表示主任醫(yī)師開始工作時(shí)已經(jīng)在等待的患者， 表示主任醫(yī)師工作后按先后順序到達(dá)的“新患者”，當(dāng)“新患者” 離去時(shí)，排隊(duì)現(xiàn)象消失，即 為第一位到達(dá)后不需要排隊(duì)的新患者（這里假設(shè)主任醫(yī)師開始為第一位診斷的時(shí)間為0）

1）用關(guān)于n的代數(shù)式表示：①第一位到達(dá)后不需要排隊(duì)的新患者 到來之前，共診斷了幾位患者，共用多長時(shí)間，② 到達(dá)的時(shí)間

2）根據(jù)①②得到的代數(shù)式及它們之間的數(shù)量關(guān)系求n+1值

解：1）①共診斷了（n+5）位患者共用時(shí)間為5（n+5）分鐘

② 到達(dá)時(shí)間為（10n+2）分鐘

2）由①②可得：

解得 ，又n為整數(shù)，所以n=5，因此n+1=6.

例2：某徽商銀行為了提高服務(wù)質(zhì)量，對(duì)顧客進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果顯示：當(dāng)工作人員還未開始工作時(shí)，有a個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候，開始工作后，排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加b個(gè)人。假設(shè)每個(gè)窗口每分鐘服務(wù)速度是k個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則有15分鐘恰好不會(huì)出現(xiàn)排對(duì)現(xiàn)象，根據(jù)以上信息，若銀行承諾5分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少要同時(shí)開放的窗口個(gè)數(shù)是多少？

解：設(shè)要同時(shí)開放n個(gè)窗口才能滿足要求，由題意得：

解得

當(dāng)k=2.5b，a=60b時(shí)，由題可得n≥5.2

因此，至少開放6個(gè)窗口才能滿足要求。

本題通過建立數(shù)學(xué)模型，由已知可列出方程和不等式來解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，體驗(yàn)成功的快樂。

教師在課堂教學(xué)中，不能僅僅停留在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，就題論題的層面上，而是要充分發(fā)揮典型問題的作用，讓學(xué)生在課堂教學(xué)中感悟知識(shí)的生成，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用，本案例就運(yùn)用了類比，轉(zhuǎn)化和建模的數(shù)學(xué)思想方法，教師往往通過一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或一道典型例題為載體，提煉出數(shù)學(xué)規(guī)律和方法，使學(xué)生能居高臨下找到解題的關(guān)鍵，進(jìn)一步拓展思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

參考資料.七年級(jí)數(shù)學(xué)教材下冊(cè)（滬科版）