陶曉靜+楊雄

摘 要：在高職數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，會遇到一些博弈問題，稍簡單的問題尚可用理論推斷，手動計算，一旦數(shù)據(jù)量增加，就對MATLAB等軟件的使用提出了更高的要求。文章從一個經(jīng)典的博弈問題出發(fā)，探討了MATLAB循環(huán)語句的使用實踐，對數(shù)學(xué)建模教學(xué)起到了良好的促進作用，也增強了高職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件的興趣與信心。通過軟件處理含有復(fù)雜數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)了從課堂走向?qū)嵺`的可能。

我們知道博弈論對現(xiàn)代社會的深遠影響，并且了解它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要地位。它是連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)代社會的紐帶與橋梁。而其中權(quán)力指數(shù)是我們常見的博弈論問題，也十分重要。在實際研究中人們不但要進行定性分析，也要對相關(guān)問題進行定量分析，而大量的數(shù)據(jù)阻礙了很多人對大數(shù)據(jù)問題的研究。MATLAB在教學(xué)過程中打開了一種新的局面，培養(yǎng)了學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力。

本文從權(quán)力指數(shù)這個問題入手，通過一個例題展示數(shù)學(xué)建模課程中使用MATLAB軟件的一些技巧與心得。

一、博弈問題的描述

1.博弈論概述

博弈論也稱為對策論（Game Theory），是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，屬于運籌學(xué)的一部分。博弈論研究公式化的激勵結(jié)構(gòu)之間的相互作用，是研究斗爭或競爭性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論與方法。可考慮個體的預(yù)測行為和實際表現(xiàn)，進一步研究個體的改進策略，為個體決策提供理論依據(jù)與量化指標。

2.權(quán)力指數(shù)的概念

公司在做出決策的時候，需按股權(quán)分量進行表決。在通常情況下，大股東的意志對決策有著巨大影響。具體來說，設(shè)一共有n個股東，C1，C2，…Cn，股權(quán)分量不一，某決議的通過表決時有以下幾種可能。

（1）若C1離場，C2，C3…Cn能否直接做出決定？

（2）若C2離場，C1，C3…Cn能否直接做出決定？

（3）同理，若 Ci，i>2，離場，情況會怎樣？

否定其他股東預(yù)決議的能力稱為他的權(quán)力指數(shù)。

二、權(quán)力指數(shù)在投票表決中的應(yīng)用

表決時，為了體現(xiàn)己方的表決意志，必須獲得足夠多的票數(shù)。通過權(quán)力指數(shù)，我們可以方便地了解某人在表決過程中的重要程度，并由此做出相應(yīng)的決策。

案例1 某公司有A、B、C、D、E五個股東，決策原則遵循“一股一票”。他們的股份分別為：A擁有36股，B擁有16股，C擁有16股，D擁有16股，E擁有16股。

若A暫時離場，由B、C、D、E對于某項決議進行初步的表決，我們稱之為預(yù)決策。預(yù)決策時，共有24=16種情形。

解：%ABCDEF的權(quán)力指數(shù)計算語句

a=input（'please input a'）；

b=input（'please input b'）；

c=input（'please input c'）；

d=input（'please input d'）；

e=input（'please input e'）；

f=input（'please input f'）；

A=a+b+c+d+e+f；%計算票數(shù)的和

k=0；

%如果要計算其他人的權(quán)力指數(shù)只需在這里將a與其他變量進行一個交換。

%其交換語句如交換a與b，以計算b的權(quán)力指數(shù)為：a=m；a=b；b=m；

forC2=0∶1

for C3=0∶1

for C4=0∶1

for C5=0∶1

for C6=0∶1

sum=C2*b+C3*c+C4*d+C5*e+C6*f；

if sum>b+c+d+e+f-sum

if sum

k=k+1； end

elseif sum+a>b+c+d+e+f-sum

k=k+1；

end end end end end end

fprintf（'quanlizhishuwei %6.2f'，k）

輸入36 16 16 16 16，得a 的權(quán)力指數(shù)為14，如此進行替換后，可計算得b、c、d、e權(quán)力指數(shù)都為2。

案例2 議員名額的分配

某國家有人口數(shù)量不等的六個地區(qū)。國家議員人數(shù)按地區(qū)分配如表1所示：

議員的總?cè)藬?shù)是31。雖然地區(qū)a地區(qū)、b地區(qū)、c議員都不足以單獨左右議會決議，但這三個地區(qū)中任何兩個地區(qū)的票數(shù)之和都已經(jīng)超過了議會的半數(shù)。有人動議將議員人數(shù)變更為12、10、8、3、3、2，請分析權(quán)力指數(shù)與比重的變化以及為各個地區(qū)給出決策。對上例程序稍微修改就能得到如下解：

解：a=input（‘please input a）；

A=a（1）+a（2）+a（3）+a（4）+a（5）+a（6）；

k=0；M=[0 0 0 0 0 0]；n=1；

for C2=0∶1

for C3=0∶1

for C4=0∶1

for C5=0∶1

for C6=0∶1

sum= C2*a（2）+ C3*a（3）+ C4*a（4）+ C5*a（5）+ C6*a（6）；

if sum>a（2）+a（3）+a（4）

+a（5）+a（6）-sum

if sum

k=k+1； end

elseif sum+a（1）>a（2）+a（3）+a（4）+a（5）+a（6）-sum

k=k+1；

end