黃 楠，岳建平

（1.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 211100）

基于點云幾何約束的仿真安裝探討

黃 楠1，岳建平1

（1.河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 211100）

面向工業(yè)檢測領域進行了基于點云幾何約束的工業(yè)仿真安裝探討。以4個公共點的坐標約束作為誤差方程，有效避免了由于初始值與實際參數偏差較大而出現(xiàn)的迭代不收斂情況。將特征點云幾何約束參數化表達，并附加到旋轉矩陣的正交條件中作為限制條件，采用附有限制條件的間接平差迭代求解未知參數，從而構建了工業(yè)仿真安裝中基于幾何約束的完整數學模型。通過對中隔板兩幅點云影像附加共面約束進行配準，并分析相應特征面的配合質量，實現(xiàn)了仿真安裝探討。

幾何約束；仿真安裝；特征點云

大型工業(yè)鋼結構交付前需進行大規(guī)模的試組裝，并對構件配合質量進行檢測。傳統(tǒng)的試組裝通常單純依靠人力來完成，從而導致其組裝周期長﹑成本高以及自動化程度低，無法滿足工業(yè)需求[1]。隨著三維激光掃描技術的快速發(fā)展和逆向工程技術的日益成熟，工業(yè)檢測領域開始研究將三維激光掃描技術應用于工業(yè)仿真安裝的可能性[2]。

工業(yè)構件的仿真安裝中涉及大量的幾何約束，如孔軸約束﹑面面耦合﹑點面約束等。建立統(tǒng)一有效的數學模型來實現(xiàn)對幾何約束的完整表達是工業(yè)仿真安裝迫切需要解決的問題。目前，仿真安裝的基本思路是建立工業(yè)構件特征面﹑孔軸之間的幾何約束關系，實現(xiàn)幾何約束的參數化表達，進而將幾何約束條件方程化，通過求解約束方程得到安裝構件之間的轉換參數。

1 點、線、面幾何約束條件及方程化

在工業(yè)仿真安裝中，工業(yè)構件特征面之間的幾何約束是非常復雜且難以表達的。本文將復雜的幾何約束歸結為點面約束﹑線面約束﹑面面約束和點線約束，實現(xiàn)了幾何約束的完整表達。以兩個空間平面共面約束為例，闡述幾何約束條件及其方程化。

設p1和p2為具有共面約束的兩個平面，其中p1方程為t1x+t2y+t3z+t4=0，法線向量為n1=(t1, t2, t3)，已知點為A(x1, y1, z1)；p2方程為e1x+e2y+e3z+e4=0，法線向量為n2=(e1, e2, e3)，已知點為B(x2, y2, z2)。

令H為齊次坐標變換矩陣，其形式為：

式中，R為姿態(tài)變換矩陣，即旋轉矩陣且為正交矩陣；D為平移向量。

1.1 點在平面內

設B(x2, y2, z2)經坐標變換[3]后得到B′(x′2, y′2, z′2)，由共面約束可知點B′在p1上。

1）對B′進行坐標變換。

2）將B′帶入p1平面方程得到約束方程，即

1.2 法線平行

設p2的法線向量n2=(e1, e2, e3)經坐標轉換后得到n2′=(e1′, e2′, e3′)，由法線平行約束可得到約束方程為：

其矩陣形式為：

由于旋轉矩陣R的9個參數中只有3個是獨立量，且旋轉矩陣為正交矩陣，所以9個方向參數應滿足式（7）。

2 幾何約束模型的建立及求解

幾何特征約束模型[4]以4個公共點約束作為誤差方程，將幾何約束方程加入參數方程中構成附有限制條件的間接平差[5]，通過迭代計算求解未知參數。其通用數學模型為：

2.1 附有限制條件的間接平差模型線性化

附有限制條件的間接平差的一般方程為：

令l=L0- F(X0)，得到線性化方程組V=B- l。

同理將約束方程組按臺勞級數展開，取至一次項為：

將誤差方程組按臺勞級數展開，取至一次項為：

令Wx=φ(X0)，得到相應線性化方程組C+Wx=0。

2.2 幾何約束模型的求解

將式（10）﹑（11）聯(lián)立，按附有限制條件的間接平差迭代求解，令NBB=BTB，W=BTl，解得：

本文運用Matlab 2012實現(xiàn)該算法，過程中涉及到的矩陣求逆運算矩陣均采用廣義逆矩陣函數pinv( )，以避免因矩陣條件數過大而無法得到精確解。由于本模型將4個公共點作為誤差方程，可有效避免出現(xiàn)迭代不收斂的情況。迭代閾值設置為≤10-6，最終求得未知參數。通常初始值可按如下設置：

3 仿真安裝實驗

3.1 點云數據的采集

為驗證本文算法在工業(yè)仿真安裝中的應用效果，采用三維激光掃描儀對一中隔板獲取兩幅點云影像。由于兩幅點云影像拼接面之間存在幾何約束，本文以幾何約束配準來模擬仿真安裝。第一幅點云影像中包含605 066個點；第二幅點云影像中包含491 459個點。點云影像中紅色部分為特征面點云，第一幅點云中包含特征點云365 478個，第二幅中包含60 060個。實驗中以第一幅點云影像為基準，以第二幅影像為配準影像。

圖1 第二幅點云影像

圖2 第一幅點云影像

3.2 點云影像中4個公共點的提取

將兩幅點云影像分別導入Geomagic Qualify 2012[6]中，利用分析功能的點坐標提取4個公共特征點。特征點坐標如表1所示。

表1 兩幅點云影像公共特征點

3.3 特征面約束參數的提取

將掃描數據導入Geomagic Studio 2010中，分別截取圖1﹑圖2中的特征面點云影像即圖中紅色部分作為基準面影像和配準面影像。采用平面擬合理論擬合兩 個空間約束平面方程，具體參數如表2所示。

表2 特征面約束參數

3.4 約束模型的建立及解算

為驗證幾何約束對求解參數的影響，本文在求解過程中分別考慮未加入幾何約束﹑只加入法線平行約束﹑加入法線平行和點在平面內約束3種情況[7]。圖3﹑ 4分別為加入法線和點在平面內約束后的俯視圖和正視圖。具體求解參數見表3。

圖3 基于幾何約束配準俯視圖

圖4 基于幾何約束配準正視圖

表3 約束參數

3.5 結果分析

將配準影像中的特征點云影像導入Geomagic Qualify 2012中，通過統(tǒng)一重采樣（設置采樣間隔為5 mm）使特征點云由60 060個縮減為431個。利用本模型求解的參數將特征點云轉換到基準影像坐標系下，并計算配準影像特征面點云經轉換后到基準影像特征面的距離，如圖5所示。

圖5 配準后影像到基準影像特征面的距離

由圖5可知，配準影像經轉換后各點到基準影像特征面的距離均小于3.5 mm，平均距離為1.414 6 mm，鑒于三維激光掃描儀的儀器誤差和噪聲點對結果的影響，實際精度應高于實驗結果。

4 結 語

本文通過將工業(yè)仿真安裝中涉及的特征面之間的幾何特征約束方程化，實現(xiàn)了幾何特征約束的統(tǒng)一數學表達。以幾何約束和參數正交條件作為限制條件構建幾何約束數學模型，采用附有限制條件的間接平差進行迭代求解，實現(xiàn)了工業(yè)構件仿真安裝的模擬實驗。通過對配合特征面配合距離分析來衡量仿真安裝結果，達到了較好的實驗結果，能滿足一定的工業(yè)檢測要求。

實驗中由于未考慮掃描儀精度和點云噪聲點對模型計算精度的影響，尚不能完整地對工業(yè)仿真安裝質量做出結論。同時由于本實驗數據模型不具代表性，無法對仿真安裝中的裝配面間隙﹑貼合面貼合率和孔軸對齊關系做出定量比較。

[1] 趙顯富,宗敏,趙軒,等.利用三維激光掃描技術檢測工業(yè)構件螺栓孔的空間位置[J].測繪通報,2014(3):37-41

[2] 馬立廣.地面三維激光掃描儀的分類與應用[J].地理空間信息,2005,3(3):60-62

[3] 楊元喜,徐天河.不同坐標系綜合變換法[J].武漢大學學報(信息科學版),2001,26(6):509-513

[4] 陳義,沈云中,劉大杰.適用于大旋轉角的三維基準轉換的一種簡便模型[J].武漢大學學報(信息科學版),2004,29(12): 1 101-1 105

[5] 李愛國,胡圣武.附有限制條件的間接平差的求解方法探討[J].測繪通報,2014(1):22-24

[6] 陳博,李秀梅.基于CATIA V5和Geomagic Qualify的汽車零部件質量快速檢測[J].北京汽車,2011,12(5):40-43

[7] 鄭德華,岳東杰,岳建平.基于幾何特征約束的建筑物點云配準算法[J].測繪學報,2008,37(4):464-468

P258

B

1672-4623（2017）09-0019-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.09.006

2016-07-12。

項目來源：國家自然科學基金資助項目（41174002）。

黃楠，碩士研究生，主要研究方向為精密工程測量。