文︳石向陽

以中國古代數(shù)學文化為背景的高考題賞析

文︳石向陽

太極圖被稱為“中華第一圖”，是我國比較典型的古代文化符號。2017年，太極圖出現(xiàn)在高考數(shù)學題中，讓人眼前一亮，自豪感倍增。

如圖1，正方形內的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心，成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）。

圖1

毋庸置疑，在高考試題中滲透數(shù)學文化，可以適當引導中學數(shù)學教學，使得更多的教師關注數(shù)學文化，研究數(shù)學文化，將知識的本質傳授給學生。學生通過數(shù)學文化的熏陶，可以促進健全人格的養(yǎng)成。《普通高中數(shù)學課程標準》也把“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”作為高中數(shù)學課程的十項基本理念之一，強調數(shù)學文化是貫穿整個高中數(shù)學課程的重要內容，要求把數(shù)學文化滲透到每個模塊或專題的學習中。

多年以來，無論是各省市高考自主命題的地方卷還是新課標全國卷，均出現(xiàn)了以數(shù)學文化為背景的試題，成為新課改理念下高考改革和發(fā)展的一道靚麗風景，逐漸形成了“依托數(shù)學史料，嵌入數(shù)學名題，彰顯數(shù)學文化”高考數(shù)學命題特色和亮點。

本文選取部分有中國古代數(shù)學文化背景的高考試題進行剖析，為廣大中學數(shù)學教師更合理地利用教材進行數(shù)學文化的教學提供參考。

1.以中國古代數(shù)學名著為命題背景

數(shù)學名著是命制優(yōu)秀考題的好素材，一般是從名著中選取一段相關的數(shù)學材料，在突出所要考查的數(shù)學知識的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

例1（2015年高考全國卷I）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？其意思為：在屋內墻角處堆放米（如圖2，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）。

圖2

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

背景分析 本題依托數(shù)學名著《九章算術》，考查圓錐體積公式。題目屬于生活生產(chǎn)中谷物儲存問題，源于《九章算術》第五章“商功”，結合立體幾何中的基礎知識進行設問，強化了數(shù)學文化的傳承和數(shù)學應用意識的培養(yǎng)。試題插圖的創(chuàng)新是本題的一個亮點，一是增強了數(shù)學問題的生活化，使數(shù)學的應用更貼近學生的生活實際；二是有利于考生分析問題和解決問題；三是探索了高考數(shù)學試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數(shù)學問題形象化的范例。

《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，多次出現(xiàn)在高考試題中，比如2015年的全國高考卷II，2011年、2012年的湖北高考卷等。另外，《算數(shù)書》《數(shù)書九章》等名著都曾出現(xiàn)在高考數(shù)學試題中，值得老師們關注。

2.以中國古代數(shù)學猜想為命題背景

數(shù)學猜想是推動數(shù)學發(fā)展的強大動力之一，也是人類理性中最富有創(chuàng)造性的部分。數(shù)學猜想是命制考題的極好素材，它包含豐富的數(shù)學知識和思想方法，有利于學生形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度。

例2（2013年上海卷（理））在xOy平面上，將兩個半圓弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D（如圖3中陰影部分）。記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面積為+8π，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為__________。

圖3

背景分析 祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時期偉大的科學家。他繼承劉徽和祖沖之的工作，解決了球體積的計算問題，與其父共著《綴術》。在天文學方面，曾測量日影長度,發(fā)現(xiàn)北極星與北天極不動處相差一度有余，糾正了北極星就是北天極不動處的錯誤觀點。主要著作有《漏刻經(jīng)》一卷、《天文錄》三十卷（均已失傳）。祖暅在數(shù)學上的突出貢獻是，他在實踐的基礎上,于5世紀末提出體積計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異?！薄皠荨奔词歉?，“冪”是面積。意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。祖暅提出上面的原理，要比其他國家的數(shù)學家早一千多年，在歐洲直到17世紀才有意大利數(shù)學家卡瓦列利提出上述結論。

3.以中國古代數(shù)學定理為命題背景

歷史長河中積淀下來的數(shù)學成果是數(shù)學家集體智慧的結晶，數(shù)學的發(fā)展自然離不開一個個或熟悉或陌生的面孔，他們滿腔熱情地為數(shù)學大廈貢獻畢生精力。從某種意義上說，數(shù)學史就是數(shù)學家的歷史，數(shù)學家的創(chuàng)新精神正是數(shù)學精神。以數(shù)學家的定理為背景命制考題，正是對創(chuàng)新精神、數(shù)學精神的一種傳承。

例3（1979年高考全國卷）敘述并證明勾股定理。

據(jù)悉，此題為數(shù)學家潘承洞教授所出。當年的得分率非常低，被人戲稱為“百里挑一”。

4.以中國古代數(shù)學名題為命題背景

數(shù)學名題和音樂、繪畫、雕塑、建筑等藝術作品一樣是人類文化的瑰寶，具有非凡的魅力。它常常蘊含深刻的數(shù)學內容、經(jīng)典的數(shù)學方法或與一些數(shù)學大師相關聯(lián)。經(jīng)驗表明，數(shù)學名題是可以持續(xù)地開采出高考題的一脈富礦。

例4（2007年高考湖南卷理科）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖4所示的0-1三角數(shù)表。從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第____行；第61行中1的個數(shù)是____。

背景分析 顯然本題3個小題都有楊輝三角的背景。楊輝三角是特殊的數(shù)陣。本題以楊輝三角為載體，變化出不同的數(shù)陣，別具特色，考查考生的觀察、歸納、猜想的能力和用等價轉化思想解題。楊輝是我國南宋末年的一位杰出數(shù)學家、數(shù)學教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數(shù)的性質有關,楊輝三角中蘊含了許多優(yōu)美的規(guī)律。高中生對這些大數(shù)學家及成果應當有所了解。

以上從四個方面談了試題命制的中國古代數(shù)學文化背景。高考中編制的數(shù)學試題，除了要實現(xiàn)能力考查的要求以外，還應注重對數(shù)學文化的滲透，特別是對中國古代傳統(tǒng)優(yōu)秀文化的滲透，從而促進學生理性思維的發(fā)展。這是新時期數(shù)學學科內容與能力改革考查的目標之一。數(shù)學文化是數(shù)學學科的一個有機組成部分，我國古代數(shù)學里有大量的實際問題，可以結合函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等內容，通過創(chuàng)設新的情境、改變設問方式、選取適合的知識內容等滲透數(shù)學文化。這些問題既注重體現(xiàn)理性思維的本質內涵，也體現(xiàn)了應用性的考查。中國古代數(shù)學文化博大精深，中國古代數(shù)學文化在高考中的浸潤，需要廣大教師用心感悟，仔細品味。

【本文系湖南省教育科學“十三五”規(guī)劃2016年度課題“創(chuàng)新應用導向的小課題研究”（課題編號：XJK016BZXX044）研究成果】

（作者單位：長沙市南雅中學）

圖4