譚福玲

黑河學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)系

反例教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生積極心理品質(zhì)的研究
——學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)研究

譚福玲

黑河學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)系

培養(yǎng)學(xué)生積極心里品質(zhì)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要意義，本文針對(duì)反例教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生積極心里品質(zhì)的若干作用進(jìn)行了分析介紹，并配以相關(guān)的教學(xué)實(shí)例對(duì)分析過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。

反例教學(xué)；積極心里品質(zhì)；洞察力；開(kāi)放性思維能力；求知力；創(chuàng)造性思維能力

“核心素養(yǎng)”指學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛(ài)、家國(guó)情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐[1]。自主發(fā)展要求學(xué)生具有健全的人格，要自信自愛(ài)，堅(jiān)韌樂(lè)觀，有自制力，能調(diào)節(jié)和管理自己的情緒，具有抗挫折能力等積極的心理品質(zhì)。所以培養(yǎng)學(xué)生積極心里品質(zhì)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要意義。

學(xué)生的積極心理品質(zhì)包括知識(shí)與智慧維度(創(chuàng)造力、求知力、思維與洞察力)、情感維度(真誠(chéng)、執(zhí)著、謙遜、樂(lè)觀)、態(tài)度維度(友善、合作、求真)及價(jià)值維度(善良、理想)[1]。數(shù)學(xué)中的反例能夠把一個(gè)很難說(shuō)清楚或容易混淆的問(wèn)題變得淺顯易懂，作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要的組成部分，反例教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生積極心理品質(zhì)具有重要作用，從知識(shí)與智慧維度看，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力、求知力、思維與洞察力具有重要的促進(jìn)作用，從情感維度看，它能夠幫助學(xué)生形成實(shí)事求是、堅(jiān)持真理、嚴(yán)謹(jǐn)誠(chéng)實(shí)的個(gè)性品質(zhì)。

一、運(yùn)用反例教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的洞察力

所謂的洞察力是對(duì)所處環(huán)境周圍事物和發(fā)生的現(xiàn)象進(jìn)行的全面、細(xì)致地查看，并通過(guò)事物發(fā)生現(xiàn)象的原本面目，剖析并確立二者之間的性質(zhì)和關(guān)系的普遍的心理現(xiàn)象.而反例教學(xué)不但能夠使學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和漏洞,修補(bǔ)相關(guān)知識(shí)，而且通過(guò)這樣不斷地發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、修補(bǔ)漏洞[2]，更能夠不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀思維能力，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的洞察力。

我們知道，數(shù)學(xué)中的許多概念、定理及相關(guān)結(jié)論等一般都是比較抽象的，其中涉及到的每一個(gè)字、詞及每一句話等都具有特定的意義，是需要認(rèn)真細(xì)致地推敲的,而要想從正面全面、深刻地理解和掌握這些知識(shí)是不容易的，有時(shí)針對(duì)其中的某個(gè)條件或定理、結(jié)論的必要性及充分性舉反例進(jìn)行說(shuō)明或論證，能夠很好的幫助學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己理解錯(cuò)誤或理解得不到位的地方，更能不斷提高學(xué)生的洞察能力。

例如高等代數(shù)教材中關(guān)于可約多項(xiàng)式與不可約多項(xiàng)式是這樣定義的：如果F[x]的一個(gè)n(n＞0)次多項(xiàng)式f(x)能夠分解成F[x]中的兩個(gè)次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式g(x)與h(x)的積，即f(x)=g(x)h(x)，那么f(x)在F上可約。如果f(x)在F[x]中的任一形如f(x)=g(x)h(x)的分解式中含有一個(gè)零次因式，那么f(x)在F上不可約。該定義中指出如果f(x)為可約多項(xiàng)式或不可約多項(xiàng)式，則f(x)的次數(shù)應(yīng)大于零，但很多初學(xué)者對(duì)該定義把握得不夠嚴(yán)密或理解得不夠深刻，在實(shí)際應(yīng)用中常常忽略該條件或誤以為零多項(xiàng)式及零次多項(xiàng)式既然在定義中沒(méi)有被提到，那么他們應(yīng)該是不可約多項(xiàng)式。為了減少或避免這種教學(xué)效果發(fā)生，教師在授課過(guò)程中可以給出有針對(duì)性的反例，例如對(duì)照定義列舉多項(xiàng)式f(x)=c(c∈C)，提問(wèn)學(xué)生判斷該多項(xiàng)式是可約多項(xiàng)式還是不可約多項(xiàng)式。

在介紹多元函數(shù)可微分、可偏導(dǎo)及連續(xù)的相關(guān)定理時(shí)，如果單從正面強(qiáng)調(diào)可偏導(dǎo)不一定連續(xù)，可偏導(dǎo)不一定可微分會(huì)顯得很生硬，且不會(huì)給學(xué)生留下較深刻的印象，學(xué)生也很難掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，若能夠給出反例

結(jié)合偏導(dǎo)數(shù)的定義、多元函數(shù)連續(xù)的定義及多元函數(shù)可微分與連續(xù)的關(guān)系推得fx(x,y)=0,fy(x,y)=0，但(x,y)不存在，便可證明f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可偏導(dǎo)但不連續(xù)，從而f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微。

二、運(yùn)用反例教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維能力及求知力

首先，反例教學(xué)本身就是啟發(fā)學(xué)生打破常規(guī)思維方式，轉(zhuǎn)換思考角度，從相反的方向考慮問(wèn)題，其次，教師在反例教學(xué)中常常要引導(dǎo)學(xué)生如何根據(jù)一個(gè)具體的問(wèn)題構(gòu)造相應(yīng)的反例去解決問(wèn)題，所構(gòu)造的反例要與所要解決的問(wèn)題很好的結(jié)合，并能夠充分的解決問(wèn)題。而在構(gòu)造反例的過(guò)程中要求學(xué)生對(duì)相應(yīng)問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有一定的把握，并能夠應(yīng)用這些知識(shí)開(kāi)拓思路，可以從多角度的去考慮并解決問(wèn)題[3]。因此反例教學(xué)不僅提高了學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和掌握程度，更培養(yǎng)或促進(jìn)了學(xué)生的開(kāi)放性思維能力。另外，反例在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)辨別錯(cuò)誤有很好的直觀性和很強(qiáng)的說(shuō)服力，學(xué)生一旦掌握了這種用反例去說(shuō)明問(wèn)題的方法，就會(huì)常常針對(duì)所遇到的具體問(wèn)題，查閱相關(guān)的知識(shí)，積極地去尋找相對(duì)應(yīng)的反例，這樣的過(guò)程不僅幫助學(xué)生積累了知識(shí)，更鍛煉了學(xué)生的自學(xué)能力，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)更有信心，能夠更有興趣的去學(xué)習(xí)。

∑∞其它知識(shí)列舉反例來(lái)否定級(jí)數(shù)(un+vn)是發(fā)散級(jí)數(shù)，例如級(jí)數(shù)

n=1師能夠經(jīng)常對(duì)學(xué)生做這樣的訓(xùn)練，不僅能夠幫助學(xué)生更進(jìn)一步的掌握相關(guān)知識(shí)，還能夠在一定程度上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲望，更能夠逐步培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維能力。

三、運(yùn)用反例教學(xué)，幫助學(xué)生形成實(shí)事求是、堅(jiān)持真理、嚴(yán)謹(jǐn)誠(chéng)實(shí)的個(gè)性品質(zhì)

首先，反例教學(xué)的過(guò)程就是幫助學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和漏洞,修補(bǔ)相關(guān)知識(shí),從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性及嚴(yán)謹(jǐn)性的過(guò)程,而一個(gè)思維嚴(yán)謹(jǐn)又對(duì)事物認(rèn)識(shí)深刻的人，必定是一個(gè)言必有據(jù)、一絲不茍、堅(jiān)持真理、具有實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度的人；其次，在構(gòu)造反例的過(guò)程中,常常需要根據(jù)所討論問(wèn)題的某一個(gè)已知條件或相關(guān)的某一知識(shí)點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的反例,經(jīng)過(guò)相關(guān)的嚴(yán)格的推理論證,得出與該已知條件或相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)相矛盾的結(jié)論,這樣的構(gòu)造反例,及利用反例解決問(wèn)題的過(guò)程就是讓學(xué)生經(jīng)歷信息梳理、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和解決的過(guò)程，能夠有效地鍛煉學(xué)生的推理論證能力，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、堅(jiān)持真理、嚴(yán)謹(jǐn)誠(chéng)實(shí)的個(gè)性品質(zhì)具有重要的促進(jìn)作用。

如高等數(shù)學(xué)教材中關(guān)于邊界點(diǎn)的概念是這樣定義的：如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既含有屬于E的點(diǎn)，又含有不屬于E的點(diǎn)，那么稱P為E的邊界點(diǎn)。很多初學(xué)者對(duì)定義理解得不夠深刻，他們往往對(duì)照附圖理解定義，誤以為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)就一定在點(diǎn)集E的邊界上，對(duì)此，教師在授課過(guò)程中可以對(duì)照邊界點(diǎn)的概念給出不在點(diǎn)集E的邊界上的邊界的點(diǎn)的反例,如邊界點(diǎn)P2不同,但根據(jù)邊界點(diǎn)的定義可以證明但它符合邊界點(diǎn)的定義，是E的邊界點(diǎn)。

四、運(yùn)用反例教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力

反例的構(gòu)建是一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性的活動(dòng)，通過(guò)猜想、試驗(yàn)、推理等多重思維活動(dòng)，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力[4]。

如矩陣A與B相似，則A與B等價(jià)，那么若A與B等價(jià)，則A與B一定相似嗎，當(dāng)然不是，若想說(shuō)明此問(wèn)題，從正面證明是不容易的，若能舉出相應(yīng)的反例，問(wèn)題便迎刃而解了，試想構(gòu)造出兩個(gè)矩陣A與B，它們等價(jià)，但不相似，由于A與B等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)r(A)=r(B),而若A與B相似，則A與B必有相同的特征值，那么只需構(gòu)造秩相等但特征值不相等的兩個(gè)矩陣A與B就行了，這樣的例子太多了，簡(jiǎn)單型陣A與B有相同特征值，但A與B未必相似問(wèn)題時(shí)，學(xué)生很容易A同，且B不能夠相似對(duì)角化，根據(jù)線性方程組理論，只需讓3-r(E3-B)≠2，即r(E3-B)≠1即可，這樣的B有很多，如構(gòu)造上三會(huì)想到若A與B相似，則A與B等價(jià)，即A與B的秩相等，那么構(gòu)造兩個(gè)特征值相等，但秩不同的兩個(gè)矩陣就可以了，這樣的例子也很與B有相同特征值，但A與B未必相似問(wèn)題，當(dāng)然還可以從其它角度構(gòu)造相應(yīng)的反例，如若A與B相似，且A可相似對(duì)角化，則B必可相似對(duì)角化，構(gòu)造特征值相同，其中一個(gè)可對(duì)角化，另一個(gè)不可以對(duì)角化的兩個(gè)矩陣即可?？蓪?duì)角化的矩陣容易構(gòu)造，實(shí)對(duì)稱的矩陣都可以，最簡(jiǎn)單的就是對(duì)角陣了，特征值互不同的不可以，先構(gòu)r(E3-B)=2≠1。

通過(guò)反例構(gòu)造訓(xùn)練，學(xué)生不僅可以舉一反三，更能夠?qū)W會(huì)從多角度、多方面去思考問(wèn)題，這當(dāng)然是學(xué)生開(kāi)放性思維的體現(xiàn)，這樣的反例構(gòu)造訓(xùn)練，更是誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的重要途徑。

[1]施久銘.核心素養(yǎng)：為了培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”[J].人民教育, 2014，(10)：13.

[2]蓋虹,范東昕.反例教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代交際，2015（12）：191.

[3]許建平.巧用反例法提高教學(xué)實(shí)效[J].考試周刊，2013,(46)：68-69.

[4]王元知.巧用反例培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)[J].教育科學(xué)（引文版），2016,18（5）：114.

譚福玲（1978-），女，黑龍江哈爾濱人，黑河學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)系教師，副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育及泛函分析研究。

黑龍江省高等教育學(xué)會(huì)“十三五”高等教育科研課題《基于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的教師教育課程整合研究》，項(xiàng)目編號(hào)：16G379。