甘肅省靖遠(yuǎn)縣高灣中學(xué) 韓 軍

數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)課堂中的妙用

甘肅省靖遠(yuǎn)縣高灣中學(xué) 韓 軍

所謂“數(shù)形”結(jié)合，就是通過數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化、互相利用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。它可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象思維與形象思維結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對(duì)象的兩個(gè)側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想?！皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來。

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，由數(shù)思形，以形想數(shù)，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

一、以形助數(shù)

1．利用數(shù)形結(jié)合（數(shù)軸）解數(shù)與式

應(yīng)用1：點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)3個(gè)單位長度，且位于原點(diǎn)左側(cè)。若一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)A處向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長度，此時(shí)終點(diǎn)所表示的是什么數(shù)？

分析：首先讓學(xué)生正確畫出數(shù)軸，由“點(diǎn)A在數(shù)軸上距離原點(diǎn)3個(gè)單位長度，且位于原點(diǎn)左側(cè)”確定點(diǎn)A所表示的數(shù)是-3，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這種把給定的數(shù)（-3）用數(shù)軸上的點(diǎn)（A）表示，是由“數(shù)”到“形”的思維過程。一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)A處向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，到點(diǎn)A＇處，則點(diǎn)A＇表示的數(shù)是1，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長度到點(diǎn)A＂處，則點(diǎn)A＂表示的數(shù)是0，因此此時(shí)終點(diǎn)所表示的數(shù)是0。這種指出數(shù)軸上已知點(diǎn)所表示的數(shù)，是由“形”到“數(shù)”的思維過程。這道題從兩個(gè)側(cè)面體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想。借助數(shù)形結(jié)合解這類題既方便又直觀。

解：如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，向右移動(dòng)4個(gè)單位長度到點(diǎn)A＇，點(diǎn)A＇表示的數(shù)為1，再向左移動(dòng)1個(gè)單位到點(diǎn)A＂，點(diǎn)A＂表示的數(shù)為0。所以，此時(shí)終點(diǎn)所表示的數(shù)是0。

應(yīng)用2：解方程：-3x2+22x-24=0。

3×（-6）+1×（-4）=-22。

解：-3x2+22x-24=0，

3x2-22x+24=0 ，

（3x-4）（x-6）=0 ，

這種是將數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，由數(shù)思形，使抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。

2．利用數(shù)形結(jié)合解決“追趕小明”（方程）問題

應(yīng)用1：小明每天早上要在7∶50之前趕到距家1000m的學(xué)校上學(xué)。一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，5min后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書。于是，爸爸以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。

（1）爸爸追上小明用了多長時(shí)間？

（2）追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

分析：當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，兩人所行距離相等.在解決這個(gè)問題時(shí)，要抓住這個(gè)等量關(guān)系。

解：（1）設(shè)爸爸追上小明用了xmin。

根據(jù)題意，得 180x=80x+80×5，

化簡，得100x=400，

解得x=4。

因此，爸爸追上小明用了4min。

（2）180×4=720（m），1000-720=280（m）。

所以，追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有280m。

分析：應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察、分析找出其中的等量關(guān)系，并嘗試借助“線段圖”分析復(fù)雜行程問題中的數(shù)量關(guān)系。這是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，發(fā)展文字語言、圖形語言、符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)化能力。

分析：學(xué)生從“形”上易于發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的函數(shù)圖象（直線）相交，而從“數(shù)”的方面也可以發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)適合這兩個(gè)方程，從而進(jìn)一步體會(huì)二元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系以及方程組的解與函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展幾何直觀。

3．?dāng)?shù)形結(jié)合在“燒煤取暖”（不等式）問題中的應(yīng)用

解不等式②，得x≥4。

在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，如圖：

所以，原不等式組的解集是x≥4。

利用數(shù)軸表示不等式組的解集（找公共部分）是關(guān)鍵。這種表示反映了圖形和數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

二、以數(shù)解形——函數(shù)及其圖象凸顯的數(shù)形結(jié)合

（1）鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是多少？

（2）兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少？

因此頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-20，1），

所以，鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是1m。兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是40m。

[1]馬復(fù)．?dāng)?shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)及教師教學(xué)用書[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2013年6月出版．

[2]馬復(fù)．?dāng)?shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)及教師教學(xué)用書[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2014年7月出版．

[3]馬復(fù)．?dāng)?shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)及教師教學(xué)用書[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2014年11月出版．

[4]馬復(fù)．?dāng)?shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)及教師教學(xué)用書[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2014年6月出版．

[5]馬復(fù)．?dāng)?shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)及教師教學(xué)用書[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2014年11月出版．