江蘇省如皋市第二中學(xué) 楊小娟

善用韋達(dá)定理，提高解題效率

江蘇省如皋市第二中學(xué) 楊小娟

韋達(dá)定理在高中數(shù)學(xué)中有諸多應(yīng)用，無(wú)論是解析幾何中求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題、代數(shù)問(wèn)題中求方程根的問(wèn)題，還是與三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)用韋達(dá)定理都能起到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的作用，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)這一定理應(yīng)當(dāng)加以重視。

兩點(diǎn)距離；代數(shù)方程；三角函數(shù)

韋達(dá)定理反映了一元二次方程兩根之間的關(guān)系，對(duì)于某些問(wèn)題，并不需要求出一元二次方程兩個(gè)根的具體值，通過(guò)韋達(dá)定理的應(yīng)用，就可以解決相關(guān)問(wèn)題，所以韋達(dá)定理的應(yīng)用避免了煩瑣的計(jì)算，大大提高了解題效率。

一、合理轉(zhuǎn)化，巧求兩點(diǎn)距離

對(duì)于解析幾何中求兩點(diǎn)之間距離的問(wèn)題，直接求點(diǎn)的坐標(biāo)往往會(huì)比較麻煩。如果能夠得到相關(guān)的方程，通過(guò)韋達(dá)定理，換一種思路表示出兩點(diǎn)之間的距離，則可以使得解題柳暗花明，達(dá)到事半功倍的效果。

二、單刀直入，解出方程實(shí)根

在解方程的相關(guān)問(wèn)題中，如果題目條件中給出了兩根之間的關(guān)系，可以聯(lián)想到使用韋達(dá)定理，再結(jié)合其他相關(guān)的條件，構(gòu)造出一個(gè)新的方程，從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化。下面的例子就是韋達(dá)定理在代數(shù)方程問(wèn)題中的典型應(yīng)用。

三、緊密聯(lián)系，解決三角函數(shù)問(wèn)題

數(shù)學(xué)中的知識(shí)相互之間都是緊密聯(lián)系的，三角函數(shù)與方程的根相結(jié)合的問(wèn)題也是非常常見(jiàn)的，對(duì)于復(fù)合的三角函數(shù)問(wèn)題，直接求解并不可行，若能通過(guò)韋達(dá)定理將問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，就可以很好地解決相關(guān)問(wèn)題。

例3 已知tanα，tanβ是方程mx2=（2m-3）x+（m-2）=0的兩個(gè)根，求tan（α+β）的最小值。

解析：由于方程mx2=（2m-3）x+（m-2）=0有兩個(gè)實(shí)根，所以m≠0且Δ≥0，即解得且 m≠0。根據(jù)韋達(dá)定理，有而tan（α+β）且m≠0，所以等號(hào)成立，所以tan（α+β）的最小值為

綜上所述，作為高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，韋達(dá)定理在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛。應(yīng)用韋達(dá)定理可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，將煩瑣復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直接，同時(shí)也可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生敢于追求數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美。

[1]眭錫坤．應(yīng)用韋達(dá)定理解題的一個(gè)問(wèn)題探討[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，1992（02）．

[2]肖世安．運(yùn)用韋達(dá)定理解題應(yīng)注意的問(wèn)題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（21）．