江蘇省江陰市青陽高級中學(xué) 譚 穎 范祥東

把握學(xué)習(xí)起點，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性

江蘇省江陰市青陽高級中學(xué) 譚 穎 范祥東

美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說過：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此教學(xué)?！笨磥?，課堂教學(xué)是否有效，不是指教師有沒有教完內(nèi)容或教得好不好，而是指學(xué)生有沒有學(xué)到什么或?qū)W得好不好，其有效性是建立在課堂的教學(xué)起點和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點之上。本文筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，就如何把握學(xué)習(xí)起點，提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性談幾點體會。

一、以學(xué)生的生活經(jīng)驗為學(xué)習(xí)起點，提高課堂教學(xué)的有效性

數(shù)學(xué)知識來源于生活，許多內(nèi)容能在現(xiàn)實生活中找到相應(yīng)的原型。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認知起點不僅限于邏輯關(guān)系上的知識基礎(chǔ)，而且還包含現(xiàn)實生活中積累的經(jīng)驗，即學(xué)生的現(xiàn)實起點，這一點越來越成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識。教學(xué)的最大浪費就是無視學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，只有在找準學(xué)生現(xiàn)有的知識起點的基礎(chǔ)上，才能研究如何把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。因此在新課標指引下的數(shù)學(xué)課堂，教師要全面了解學(xué)生，認識學(xué)生的現(xiàn)實起點。

案例1：在教學(xué)“等比數(shù)列的前n項和”時，創(chuàng)設(shè)了如下情境：

在印度有一個古老的傳說：舍罕王打算獎賞國際象棋（國際象棋棋盤共有8行8列，構(gòu)成64個格子）的發(fā)明人——宰相西薩·班·達依爾。國王問他想要什么，他對國王說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子，在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”國王覺得這要求太容易滿足了，就欣然同意了他的要求。你認為國王有能力滿足發(fā)明者的上述要求嗎？

師：每個格子里的麥粒數(shù)是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍，共有64個格子，每個格子里的麥粒數(shù)是多少？其麥粒總數(shù)是多少？

師：要求麥粒總數(shù)實際上就是求上述數(shù)列的和，那么這是一個什么數(shù)列呢？

生3：相鄰兩項相差2倍，利用消項求和。

生4：不能消項求和，因為這個等式不具有加減消項的特征。

師：回答得很好，請同學(xué)們再想想（生生互動，合作探究），究竟能不能求和？若能求和，那又要怎樣來求和？

生5：利用2倍的關(guān)系，在等式的兩邊同時乘以2，得到一個新的等式，然后再兩式相減，具體為：現(xiàn)將①的兩邊同時乘以2，得到，最后由②-①得

此時學(xué)生的情緒也異常激動和興奮，怎么也想不到竟有如此大的數(shù)目，同學(xué)們都十分驚訝和好奇。

上述案例的導(dǎo)入是從生活實際出發(fā)，放手讓學(xué)生交流、討論、探究，使學(xué)生參與知識的形成過程，弄清數(shù)學(xué)的現(xiàn)實意義，體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，同時也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性和熱情。這樣的教學(xué)無疑把數(shù)學(xué)知識與解決實際問題緊密聯(lián)系起來，有效突破了教學(xué)難點，與新課程倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)源于生活”相吻合，實現(xiàn)了課堂的有效性。

二、以學(xué)生的原有知識為學(xué)習(xí)起點，提高課堂教學(xué)的有效性

抓住新舊知識的連接點。數(shù)學(xué)是邏輯性很強的學(xué)科，它體現(xiàn)的是一種循序漸進，數(shù)學(xué)知識之間有著承前啟后的作用，因此，在課堂教學(xué)中，要善于抓住知識的連接點，讓學(xué)生的思維順暢無阻，感覺一切都是水到渠成。

案例2：“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)中，設(shè)計與構(gòu)想如下：

針對“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)，筆者就“終邊定義法”的教材安排，選擇“摩天輪情境”引入，然后從已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“銳角三角函數(shù)的定義”出發(fā)，筆者給出教學(xué)設(shè)計與構(gòu)想：

1.給出勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪情境，提出描述坐在座艙里的一個人的位置的問題，引導(dǎo)學(xué)生恰當建立平面直角坐標系——以摩天輪中心為坐標原點。借助于坐標系研究，并回顧任意角的意義，得到兩種可能的描述形式：與把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進而提出在坐標系下探究與的關(guān)系的問題。

2.直接就任意角的情形探究是困難的，學(xué)生很難獨立完成探究過程，需要教師啟發(fā)引導(dǎo)：首先，遇到新問題怎么辦？如果問題比較復(fù)雜，該從哪里切入呢？——讓學(xué)生萌發(fā)從“簡單開始”的念頭；其次，對任意角而言，簡單情形是什么呢？——銳角，即當為銳角時的情形，進而引導(dǎo)學(xué)生形成先研究“為銳角情形”的方案，此時問題轉(zhuǎn)化為：先研究為銳角時，與的關(guān)系；再次，你打算怎樣研究呢？——具體要探究當為銳角時，是什么，有何意義？引導(dǎo)學(xué)生自己畫圖（如圖）。

此時直角三角形OMP自然“浮出水面”，原有的知識——初中直角三角形中的銳角三角函數(shù)也隨之而來，對新知識的探究自然回到已有的基礎(chǔ)起點。

三、以教材中蘊含的思想方法為起點，提高課堂教學(xué)的有效性

所謂數(shù)學(xué)思想方法，筆者的理解是：數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是一個抽象與具體并存的統(tǒng)一體，當我們偏重于提煉其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)性作用時，稱之為數(shù)學(xué)思想（具有一定甚至是高度的抽象性）；當我們側(cè)重于它的數(shù)學(xué)操作性作用（如推理、解題和建模等）時，可以稱之為數(shù)學(xué)方法（嚴格來說，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化）。如同語言是思維的載體，數(shù)學(xué)方法就是數(shù)學(xué)思想的具體化，是數(shù)學(xué)思想的外殼和物質(zhì)形式。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，無論怎樣的數(shù)學(xué)實踐活動，都需要數(shù)學(xué)方法，當然也就離不開數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)。而數(shù)學(xué)思想需要長期對大量的數(shù)學(xué)實踐中的做法、規(guī)律等進行思考、總結(jié)和提煉，才能獲得升華。但數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教材中并沒有明確提出，只是通過一些文字敘述或題目以及解題過程等來蘊含，這就需要教師有意識地研究教材，深入挖掘其中所蘊含的思想方法，從而提高課堂教學(xué)的有效性。

先觀察圖1，這是某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計算這堆鋼管的總數(shù)呢？

看起來極為普通和常見的計算鋼管總根數(shù)的問題，卻通過文字敘述和一幅圖的變化，向我們展示了幾個值得玩味的數(shù)學(xué)的東西：

首先，“假設(shè)在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管”這一句話向我們展示了等差數(shù)列求和的具體方法——倒序相加，其優(yōu)點是不用考慮的奇偶性而直接相加。

其次，“這樣，每層的鋼管數(shù)量都等于4+9，共有6層，從而原來一堆鋼管的總數(shù)為，則向我們展示了等差數(shù)列求和公式——梯形面積公式其優(yōu)點是形象、熟悉，因而也就容易記憶。

總之，在課堂教學(xué)中，對于教學(xué)起點的把握絕非是靜止的，它應(yīng)該是動態(tài)的、富有變化的，教師在現(xiàn)實教學(xué)中要善于分析。當學(xué)生的現(xiàn)實起點遠遠高于教材的邏輯起點時，我們有必要對課堂教學(xué)的起點進行適度的調(diào)整。那種置學(xué)生的需求、困惑和情緒于不顧的課堂不是真正有效的課堂，那種多數(shù)學(xué)生只是當了一回“觀眾”的課堂，更不是真正有效的課堂。教師要善于在教學(xué)實踐中，根據(jù)鮮活的學(xué)情做出現(xiàn)場處理，根據(jù)學(xué)生課堂上表現(xiàn)出來的現(xiàn)實起點做隨機調(diào)控，必須充分預(yù)設(shè)學(xué)生課堂的生成情況，并把學(xué)生現(xiàn)場生成的學(xué)習(xí)資源轉(zhuǎn)化為引出新知的背景，讓學(xué)生在觀察、思考、分析、討論中，最終獲取新知。