時(shí)統(tǒng)業(yè),李 軍

(海軍指揮學(xué)院 信息系,南京 211800)

關(guān)于p-凸函數(shù)的不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè),李 軍

(海軍指揮學(xué)院 信息系,南京 211800)

已有文獻(xiàn)證明了h-凸函數(shù)的h-左導(dǎo)數(shù)、h-右導(dǎo)數(shù)的存在性和單調(diào)性.p-凸函數(shù)是h-凸函數(shù)的特例,所以p-凸函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在且單調(diào).借助單側(cè)導(dǎo)數(shù)建立了p-凸函數(shù)的積分不等式,從而得到p-凸函數(shù)的加權(quán)Hermite-Hadamard型不等式的加強(qiáng).

p-凸函數(shù); h-凸函數(shù); Hermite-Hadamard型不等式; 積分不等式

式(1)即Hermite-Hadamard不等式.

文[1,2]給出了由式(1)生成的兩個(gè)差值的估計(jì).

定理1[1,2]設(shè)h:[a,β]→?是凸函數(shù),則有

定理2[3]設(shè)是[a,b]上的凸函數(shù),則有

作為凸函數(shù)的推廣,文[4]引入p-凸函數(shù)的概念.

定義 1[5]設(shè)I??,若對任意x1,x2∈I和任意則稱I為p-凸集.

定義 2[4,5]設(shè)I(??)是 p-凸集,f:I→?,若對任意x1,x2∈I和t∈[0,1],存在或使得

則稱 f為I上的p-凸函數(shù).若不等式(2)的不等號反向,則稱f為I上的p-凹函數(shù).

若f為I上的正的p-凸(凹)函數(shù),則f-1是 I上的 MH-凹(凸)函數(shù)[6].

文[5]討論了單調(diào)p-凸函數(shù)的性質(zhì).文[7]利用凸函數(shù)與p-凸函數(shù)的關(guān)系建立了p-凸函數(shù)的Hadamard型不等式.文[8]從p-凸函數(shù)的定義出發(fā)建立了p-凸函數(shù)的Hadamard型不等式.

定理3[7,8]設(shè)f是[a,b](?(0,+∞))上的p-凸函數(shù),則有

2001年,王良成在文[12]中引入了h-凸函數(shù)和h-導(dǎo)數(shù)的概念.

定義 3[12]設(shè) h是[a,b]上的連續(xù)嚴(yán)格遞增函數(shù),f是定義在[a,b]上的函數(shù),若對任意時(shí),有

則稱f是[a,b]上的h-凸函數(shù).

定義 4[12]設(shè)x0∈(a,b),若極限存在,則稱之為 f在x0處關(guān)于 h的左(右)導(dǎo)數(shù),記為此時(shí)稱f在x0處關(guān)于h-左(右)可導(dǎo).

通常的凸函數(shù)就是h(x)=x時(shí)的 h-凸函數(shù).一些由二元冪平均給出的凸函數(shù)對應(yīng)著 h-凸函數(shù).比如可以證明,f為調(diào)和平方凸函數(shù)[13]當(dāng)且僅當(dāng)是-凸的.f為 GH-凸函數(shù)[14]當(dāng)且僅當(dāng)是lnx-凸的.p-凸函數(shù)就是當(dāng)h(x)=xp時(shí)的 h-凸函數(shù),這是因?yàn)閷θ我庥惺?2)成立當(dāng)且僅當(dāng)對任意當(dāng) x1＜x＜x2時(shí),有式(5)成立.

由于 p-凸函數(shù)是凸函數(shù)的推廣,一個(gè)自然的想法就是將關(guān)于凸函數(shù)的結(jié)果推廣到 p-凸函數(shù).本文仿照文[1]的方法,建立p-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.為此,需先證明p-凸函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)的存在性和單調(diào)性,并建立 p-凸函數(shù)與其單側(cè)導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系,這只需要利用文[12]的結(jié)果.綜合文[12]的性質(zhì)和定理,有下面的

引理1[12]設(shè)f是[a,b]上的h-凸函數(shù),則

(ⅰ)f在(a,b)內(nèi)各點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在;

(ⅲ)對任意 x∈[a,b],y∈(a,b),有

受文[3]的啟發(fā),有下面的

本文所采用的思想方法還可參見文[15]和[16].

主要結(jié)果

對任意 x∈[y,b],有

將式(7)和式(8)乘以p(x),分別在[a,y]和[y,b]上對x積分,然后將所得的兩個(gè)不等式相加,注意到

式(6)得證.

注1 由式(9)和式(10)得到定理3所給p-凸函數(shù)的Hadamard型不等式左邊部分的加強(qiáng).

證明 由引理2(ⅱ)知式(11)的左邊不等式成立.由引理2(ⅲ),對任意x∈[a,y],有

對任意x∈[y,b],有

以下證明類似于定理4,這里從略.

推論2 設(shè)f是[a,b](?(0,+∞))上的p-凸函數(shù),且皆存在,則有

注2 由式(11)和式(12)得到定理3所給p-凸函數(shù)的Hadamard型不等式右邊部分的加強(qiáng).

注3 式(13)和式(14)是定理2所給凸函數(shù)的不等式在p-凸函數(shù)中的推廣.

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Inequalities for p-Convex Functions

SHI Tongye,LI Jun
(Department of Information,PLA Naval Command College,Nanjing 211800,China)

The existing literatures have shown that the left and right h-derivatives for h-convex functions are monotone.p-convex functions is a special case of h-convex functions,so unilateral derivatives of p-convex functions are monotone.With the aid of unilateral derivatives,we established inequalities for p-convex functions,and obtain weighted Hermite-Hadamard type inequalities for p-convex functions.

p-convex function,h-convex function,Hermite-Hadamard type inequality,integral inequality

O178 文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A 文章編號: 1672-5298(2017)02-0001-05

2017-02-26

時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963-),男,河北張家口人,碩士,海軍指揮學(xué)院信息系副教授.主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)