李勝強

1原題

如圖1所示，粒子源靠近水平極板M、N的M板，N板下方有一對長為L，間距為d=1.5 L的豎直極板P、Q，再下方區(qū)域存在著垂直于紙面的勻強磁場，磁場上邊界的部分放有感光膠片。水平極板M、N中間開有小孔，兩小孔的連線為豎直極板P、Q的中線，與磁場上邊界的交點為O。水平極板M、N之間的電壓為U0；豎直極板P、Q之間的電壓UPQ隨時間t變化的圖像如圖2所示；磁場的磁感強度B=1L2mU0q。粒子源連續(xù)釋放初速不計、質(zhì)量為圖1示意圖圖2U-t圖像m、帶電量為+q的粒子，這些粒子經(jīng)加速電場獲得速度進入豎直極板P、Q之間的電場后再進入磁場區(qū)域，都會打到感光膠片上。已知粒子在偏轉(zhuǎn)電場中運動的時間遠小于電場變化的周期，粒子重力不計。求：

（1）帶電粒子進入偏轉(zhuǎn)電場時的動能Ek；

（2）磁場上、下邊界區(qū)域的最小寬度x；

（3）帶電粒子打到磁場上邊界感光膠片的落點范圍。

2教學過程

教師：水平極板M、N的作用是什么？M、N之間的電壓為U0這個信息怎么利用？

學生：水平極板M、N間形成一勻強電場，粒子源釋放初速不計、質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子在M、N間做勻加速直線運動，由動能定理得：

qU0=12mv20-0

解得：

v0=2qU0m

教師：豎直極板P、Q的作用是什么？P、Q之間的電壓UPQ這個信息怎么利用？

學生：豎直極板P、Q間形成一變化的電場，初速度v0=2qU0m的粒子在M、N間做類平拋曲線運動，利用運動的合成與分解，沿初速度方向做勻速直線運動（L=v0t），垂直初速度方向做勻加速速直線運動（y=12at2，a=qUPQmd）。

教師：電壓UPQ隨時間t變化的圖像如圖乙所示，垂直初速度方向做勻加速速直線運動，對嗎？有沒有反對意見？

學生迷惑，積極思考，小組交流，審視結(jié)論。

教師：題干中“已知粒子在偏轉(zhuǎn)電場中運動的時間遠小于電場變化的周期，粒子重力不計”這句話有什么用？怎么理解“遠小于”這三個字？

學生：再次審題，思考“遠小于”的理解。

教師：“遠小于”能否理解為電場變化的周期很長，粒子在偏轉(zhuǎn)電場中運動的時間很短，粒子在偏轉(zhuǎn)電場中運動的過程中電場幾乎不變化。

學生：這樣的話，t=0時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子不受電場力作用，沿直線運動到O點，t=T2時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子做類平拋運動，a=qUPQmd=q×3U0m×1.5L=2qU0mL。

教師：不同時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子的命運是否不同？類平拋運動的加速度是否不同？垂直初速度方向的最大偏轉(zhuǎn)位移怎樣計算？

學生：積極思考，體會最大位移的影響因素，y=12at2=12×2qU0mL×L2v20=qU0Lmv20，不同時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子的命運略有不同，偏轉(zhuǎn)電壓為零時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子將沿直線運動，偏轉(zhuǎn)電壓不為零時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子將做類平拋運動，不同時刻進入的類平拋的加速度也不同（a=qUPQmd）。

教師：不同時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子在進入勻強磁場時的速度有什么區(qū)別？（提示可從速度的大小和方向兩個角度分析）

學生：0～12T時間內(nèi)進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子，在勻強磁場中的速度v的大小隨著偏轉(zhuǎn)電壓UPQ的增大而增大，偏離v0的夾角，隨著偏轉(zhuǎn)電壓UPQ的增大而增大，進入勻強磁場后在磁場中磁偏轉(zhuǎn)的圓心角隨著偏轉(zhuǎn)電壓UPQ的增大而減小。

教師：如圖3所示，假設(shè)進入勻強磁場時的速度v偏離v0的夾角為α，怎樣構(gòu)建Δx與R的關(guān)系？

圖3帶電粒子在磁場中運動學生：利用三角函數(shù)和幾何關(guān)系構(gòu)建Δx與R的關(guān)系為Δx=R-Rsinα=R（1-sinα）。

教師：聯(lián)系電加速、電偏轉(zhuǎn)和磁偏轉(zhuǎn)階段的物理規(guī)律，能否推導出Δx與R的最終關(guān)系式？

學生：可以。

Δx=R（1-sinα）=mvqB（1-sinα）

=mv0qB×1-sinαcosα=1-sinαcosαL

教師：結(jié)合推導的表達式，能否再結(jié)合數(shù)學知識求解Δx的最大值？

學生：利用函數(shù)求導的方法可求出當α=0時，Δx有最大值為L，故磁場上、下邊界區(qū)域的最小寬度x=L。

教師：上圖磁偏轉(zhuǎn)過程中圓周運動的弦長與α有什么關(guān)系？是否α越大，弦長越短？

學生：構(gòu)建Δs與R的關(guān)系為Δs=2Rcosα=2mvqBcosα=2mv0qB=2L，弦長為定值。

教師：t=0時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子在進入勻強磁場經(jīng)歷磁偏轉(zhuǎn)的軌跡是什么？此時打在感光膠片上的位置是什么？

學生：軌跡是半個圓周，打在感光膠片上的位置是距離O點2 L處。

教師：t=12T時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子在進入勻強磁場經(jīng)歷磁偏轉(zhuǎn)的軌跡是什么？此時打在感光膠片上的位置是什么？

學生：t=12T時刻UPQ=3U0，電偏轉(zhuǎn)的位移y=12at2=12×2qU0mL×L2v02=12L，此時磁偏轉(zhuǎn)的軌跡為一段劣弧，但弧長為定值2 L。故此時打在感光膠片上的位置是距離O點52L處。

教師：如圖4所示，帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的臨界軌跡，體會“動態(tài)圓”、“縮放圓”、“平移圓”模型在本題中的呈現(xiàn)，你能否總結(jié)一下縮放圓、動態(tài)圓、平移圓模型的不同？

圖4帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)軌跡學生：當帶電粒子的速度大小不變而速度方向不確定時，應(yīng)考慮“動態(tài)圓”；當帶電粒子的速度方向確定而速度大小不確定時，應(yīng)考慮“縮放圓”；當帶電粒子的速度大小和方向都確 定但入射點不確定時，應(yīng)考慮“平移圓”。

教師：原題中不同時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子在進入勻強磁場時的速度的大小和方向均不同，故體現(xiàn)了“動態(tài)圓”和“縮放圓”的結(jié)合，但磁偏轉(zhuǎn)過程中圓周運動的弦長Δs與R的關(guān)系為Δs=2Rcosα=2mvqBcosα=2mv0qB=2 L，弦長為定值，體現(xiàn)了“平移圓”的應(yīng)用。

學生：這道題真奇妙，恍然大悟！

教師：追加一個問題，t=14T時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子在進入勻強磁場時速度的大小和方向如何？打在感光膠片上的位置是什么？

學生：t=14T時刻UPQ=32U0，vy=at=qU0mL×Lv0=qU0mv0=qU02m=12v0，tanθ=vyv0=12，v=vy2+v02=52v0，電偏轉(zhuǎn)的位移y=12at2=12×qU0mL×L2v02=14L，此時磁偏轉(zhuǎn)的軌跡為一段劣弧，但弧長為定值2 L。故此時打在感光膠片上的位置是距離O點94L處。

教師：本題是三圓共存背景下的習題設(shè)計，命題思路清晰，命題技巧高超，命題視覺獨特，命題難度合理，是個不可多得的好題。

3教學反思

帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)是高中物理的一個重點，“動態(tài)圓”、“縮放圓”、“平移圓”又是個難點，通過本題的問題引導，加強學生對物理問題的認識的思維提升，通過層層遞進的問題設(shè)計，環(huán)環(huán)相扣，緊緊抓住變量與變量的關(guān)系構(gòu)建情景，在變中找不變。

（1）偏轉(zhuǎn)電壓UPQ是個變量，但粒子在偏轉(zhuǎn)電場中運動的時間遠小于電場變化的周期，故粒子在偏轉(zhuǎn)電場中偏轉(zhuǎn)運動時，UPQ緊緊發(fā)生微小的變化，可以認為UPQ是個常量，這里實際上是利用微元的思想解決問題，當然也有近似處理的思想。不同時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子做類平拋運動的加速度也不同（a=qUPQmd），因為UPQ是個常量，但也是個變量。

（2）不同時刻進入偏轉(zhuǎn)電場的粒子在進入勻強磁場時的速度的大小和方向均不同，但磁偏轉(zhuǎn)過程中圓周運動的弦長Δs與R的關(guān)系為Δs=2Rcosα=2mvqBcosα=2mv0qB=2L，弦長卻為定值，體現(xiàn)了變中不變的物理規(guī)律。endprint