蔡 陽(yáng) 黃紹書(shū)

(六盤(pán)水市第23中學(xué) 貴州 六盤(pán)水 553001)

一道全國(guó)物理競(jìng)賽試題的簡(jiǎn)解及其引起的思考

蔡 陽(yáng) 黃紹書(shū)

(六盤(pán)水市第23中學(xué) 貴州 六盤(pán)水 553001)

根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，對(duì)一道全國(guó)物理競(jìng)賽試題給出巧妙而簡(jiǎn)捷的解答，并對(duì)由此引起的一些相關(guān)問(wèn)題予以討論．

角動(dòng)量守恒定律 物理競(jìng)賽 巧解 討論

1 問(wèn)題的提出

第八屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽已經(jīng)過(guò)去25年，然其預(yù)賽第一試試題第5題，如今想起依然歷久彌新．賽場(chǎng)監(jiān)考看到的情景，僅有少數(shù)參賽選手能零散地列出個(gè)別方程組，多數(shù)甚至無(wú)從下筆．本次競(jìng)賽后一周，中央電視臺(tái)一套節(jié)目特邀有關(guān)專家針對(duì)該題作專題剖析，可見(jiàn)其難度之大．

【題目】如圖1所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著3個(gè)大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別是m1，m2和m3，且m2=m3=2m1．小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽略不計(jì)．開(kāi)始時(shí)，3球處在槽中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的位置，彼此間距離相等；m2和m3靜止，m1以初速度

圖1 題目題圖

根據(jù)競(jìng)賽組委會(huì)提供的參考答案以及目前相關(guān)網(wǎng)站搜索的信息，這道題形成共識(shí)的解答思路，就是根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律計(jì)算出各個(gè)小球之間的每次相互碰撞前后的速度，分析出各次相互碰撞的位置和相鄰兩次碰撞之間經(jīng)歷的時(shí)間，從而得出問(wèn)題的解．由于要多次涉及高次方程組的求解和多次碰撞的復(fù)雜性，使得問(wèn)題的解答特別困難．

2 試題的簡(jiǎn)解

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量守恒定律[1]可知，由于窄槽對(duì)3個(gè)小球組成的系統(tǒng)作用力的力矩為零，因此系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的角動(dòng)量守恒．

設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)心速度為v，那么

Rm1v0=R(m1+m2+m3)v

所以

因此

3 共識(shí)普遍解[2,3]

由于各個(gè)小球之間的碰撞均為彈性碰撞，因此，碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量和機(jī)械能都守恒．

得

得

至此，3個(gè)小球組成的系統(tǒng)相對(duì)于原位置均分別改變了120°，且速度與初始狀態(tài)相同．故再經(jīng)過(guò)這樣兩個(gè)相同的過(guò)程就完成一個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期T，因此

T=3(t1+t2+t3+t4)=20 s

4 思考與討論

“簡(jiǎn)解”與“普遍解”的計(jì)算量和繁簡(jiǎn)程度存在很大的反差．由此，引起一些相關(guān)問(wèn)題值得討論．

(1)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期與各小球的初始位置無(wú)關(guān)，但初始位置對(duì)“普遍解”的計(jì)算復(fù)雜性有較大的影響．

(2)各個(gè)小球之間的碰撞如果是非彈性碰撞，那么不存在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期問(wèn)題，因?yàn)橄到y(tǒng)不可能恢復(fù)到初始狀態(tài)．

(3)質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量守恒定律，在特定條件下可理解為切線方向的動(dòng)量守恒定律．

1 漆安慎， 杜嬋英. 力學(xué). 北京： 高等教育出版社, 2005. 167～178

2 第八屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

3 網(wǎng)絡(luò).http://www.1010jiajiao.com/gzwl/

2016-12-08)