吳迪青

(余姚市第四中學(xué) 浙江 余姚 315400)

中學(xué)物理與中段反導(dǎo)

吳迪青

(余姚市第四中學(xué) 浙江 余姚 315400)

中學(xué)物理中在講萬有引力與圓周運動時，如何講“薩德”與“反導(dǎo)”成了許多教師的一個難題，有的都不敢提反導(dǎo)，因為一套高深的彈道理論成了不可逾越的障礙，但利用Excel的計算和描圖功能，另辟蹊徑，成功解決這個難題，通過彈道軌道和攔截軌道的計算和模擬，使得原來的不可能變?yōu)榭赡埽⑶夷苄蜗笳故緩椀儡壽E，由此展開了中學(xué)物理中用現(xiàn)有知識研究“反導(dǎo)之旅”，以此為引導(dǎo)開展研究性學(xué)習(xí)，拓展學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣．

反導(dǎo) 彈道導(dǎo)彈 攔截 萬有引力 速度

各位讀者，你真的沒有看錯，本文講述的是以中學(xué)物理的知識研究彈道導(dǎo)彈的中段反導(dǎo)，不過要借助于一個常用的工具軟件Excel.時下“薩德問題”已對中國的國家安全造成威脅，薩德是美國國家導(dǎo)彈防御計劃中的一部分，所以反導(dǎo)成為熱點.中國的中段反導(dǎo)已成功試驗多次，有資料顯示中國的中段反導(dǎo)世界領(lǐng)先，甚至有學(xué)者表示現(xiàn)在外星人入侵只有中國有能力對付.每次與學(xué)生談及此事，學(xué)生的喜悅之情溢于言表，興奮不已.但是，限于中學(xué)知識的不足，無法做具體的分析和計算，甚是遺憾.今天，我們用Excel的計算和數(shù)據(jù)處理功能，來突破這一障礙，計算彈道導(dǎo)彈的軌道及反導(dǎo)系統(tǒng)的軌道計算，滿足學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的熱情．

1 中學(xué)物理中的彈道導(dǎo)彈軌道計算

1.1 彈道導(dǎo)彈軌道模型

彈道導(dǎo)彈的發(fā)射軌道模型，如圖1所示.

圖1 彈道導(dǎo)彈軌道發(fā)射模型

彈道導(dǎo)彈從地球的A地發(fā)射，命中地球上的B地，彈道導(dǎo)彈飛行的軌道為一橢圓軌道，雖然導(dǎo)彈的初段和末段不是嚴格的橢圓軌道，但我們今天分析的是中段反導(dǎo)，可以按橢圓軌道來處理，為什么呢？

如圖2所示，彈道軌道平面圖.

圖2 彈道導(dǎo)彈平面圖

軌道平面為經(jīng)過A，B兩地及地心的一個平面，虛線為大氣層，國際航空聯(lián)合會定義的大氣層和太空的界線，高度為100 km的界線為卡門線，卡門線外為太空，即大氣層厚度約100 km[1].導(dǎo)彈飛行的初段為圖中的A到C段(C點為出大氣層點)，由于火箭的助推和大氣層的緣故，這段軌道不穩(wěn)定，加上發(fā)射初期雷達的探測盲區(qū)，這一段打擊難度大，第二段火箭助推結(jié)束，導(dǎo)彈飛出大氣層，進行慣性飛行階段，由C經(jīng)遠地點到D段即飛行中段(D點為再入大氣層點)，這一段軌道比較穩(wěn)定，但飛行高度高，導(dǎo)彈速度大，也不易打擊，中國顯然已突破這一難題，我們分析這一段的攔截.因這一段大氣阻力極小，導(dǎo)彈慣性飛行，只受到地球的引力，所以這一段軌道為比較標準的橢圓軌道，以一般洲際彈道導(dǎo)彈遠地點1 000 km為例來計算彈道導(dǎo)彈的飛行參數(shù)[2]萬有引力常量

G=6.67×10-11N·m2/kg2

地球質(zhì)量

M=6.0×1024kg

地球半徑

R=6 400 km

設(shè)A地坐標(3 200，5 542.56) km，B地坐標

(-3 200，5 542.56) km，當導(dǎo)彈飛行到坐標(x，y)位置時，根據(jù)萬有引力和牛頓第二定律有[3]

得到

其中

1.2 用Excel建立數(shù)據(jù)模型[4]

取時間間隔Δt，足夠小，那么在Δt時間內(nèi)的導(dǎo)彈的運動看成是勻變速運動，得到

1.3 建立公式形成數(shù)據(jù)

單元格A1～H1，依次命名如圖3所示.

圖3 單元格A1～H1依次命名

單元格A2～H2,初始化

在單元格A3～H3依次輸入公式如下：

單元格A：“=A2+F2*H2+0.5*D2*H2^2”即

單元格B：“=B2+G2*H2+0.5*E2*H2^2”即

單元格C：“=(A2^2+B2^2)^0.5”即

單元格D：“=-400 200 000 000 000*A3/C3^3”

即

GM=4.002×1014

單元格E：“=-400 200 000 000 000*B3/C3^3”

即

GM=4.002×1014

單元格F：“=F2+D2*H2”即

單元格G：“=G2+E2*H2”即

單元格H：“=H2”即保持Δt

選擇單元格A～H，拖動右下十字光標，智能復(fù)制公式，形成數(shù)據(jù)列，根據(jù)需要決定數(shù)據(jù)的多少，選中A和B列，插入圖表即得彈道軌道圖(圖4)，圖中正圓為地球.

可以看到導(dǎo)彈軌道是以地心為一個焦點的橢圓軌道，軌道沒有閉合可以多拉幾個數(shù)據(jù)讓其閉合，借助計算機利用Excel建立的數(shù)據(jù)模型來畫出導(dǎo)彈的運動軌道[4]．

圖4 得到的彈道軌圖

按理論分析，如果遠地點確定，遠地點的速度確定，那么橢圓軌道是確定的，所以取遠地點7 400 km，打到B(-3 200，5 542.56) km,經(jīng)多次嘗試在遠地點速度vx=-4.996 km/s．導(dǎo)彈即能打到B點時，由Excel計算數(shù)據(jù)得到到B點時速度參數(shù)為vBx=-3 546.75 m/s，vBy=-5 412 m/s,如圖5所示，根據(jù)對稱性可知，此導(dǎo)彈在A位置的發(fā)射參數(shù)vAx=-3 546.75 m/s，vAy=5 412 m/s.

圖5 由Excel計算數(shù)據(jù)

現(xiàn)在把初始狀態(tài)設(shè)成為xA=3 200 km，yA=

5 542.56 Km,vAx=-3 546.75 m/s，vAy=5 412 m/s,得到有A地發(fā)射的導(dǎo)彈軌道，如圖6所示(圓形為地球)，能精確命中B地xB=-3 200 km，yB=5 542.56 km

圖6 由A點發(fā)射的導(dǎo)彈軌道

Excel的優(yōu)勢是既有數(shù)據(jù)運算，又可以描繪軌跡，而且不需要高深的彈道理論和編程知識，中學(xué)知識完全能應(yīng)用自如．

2 反導(dǎo)攔截彈的軌道計算

反導(dǎo)系統(tǒng)有雷達采集到彈道導(dǎo)彈的有效彈道參數(shù)，找準時機發(fā)射攔截彈，把導(dǎo)彈攔截于再入大氣層之前，最好的攔截點為即將入大氣層的附近段，設(shè)攔截彈由于火箭動力，保持6 km/s速度不變，有衛(wèi)星制導(dǎo)始終正對目標導(dǎo)彈方向，如圖2建立坐標；

由題意可知，攔截彈起始坐標在B(-3 200,

5 542.56) km.

在t時刻攔截彈坐標(x1，y1)，導(dǎo)彈的坐標(x2，y2)，則

攔截彈的方向角

經(jīng)過很小的時間間隔Δt，攔截彈的坐標變?yōu)?x1+v1Δtcosθ，y1+v1Δtsinθ)

導(dǎo)彈坐標變?yōu)?x2(n+1)，y2(n+1))，見彈道導(dǎo)彈數(shù)據(jù).

打開原Excel數(shù)據(jù)，留一空行(一定要留出，否則與導(dǎo)彈數(shù)據(jù)發(fā)生關(guān)聯(lián))

A列輸入：“x1+v1Δtcosθ”；

B列輸入：“y1+v1Δtsinθ”；

C列輸入：

D列輸入：

Δt取0.3，接近時可以取得更小點，以便更精確．選A和B列數(shù)據(jù)插入圖表得到攔截彈軌跡如圖8所示(Δt取得越小軌道越精確).

2016-10-12)