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        關(guān)于p-內(nèi)平凡模的若干結(jié)論

        2017-09-06 05:22:21黃文林
        關(guān)鍵詞:投射模西羅子群

        黃文林

        (中國(guó)人民大學(xué)信息學(xué)院,北京 100872)

        關(guān)于p-內(nèi)平凡模的若干結(jié)論

        黃文林

        (中國(guó)人民大學(xué)信息學(xué)院,北京 100872)

        研究了p-內(nèi)平凡kG-模的結(jié)構(gòu),證明了,p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模V是有蓋型的,此時(shí),內(nèi)p-置換kG-模V的蓋與V作為p-內(nèi)平凡模的蓋是一致的.

        p-內(nèi)平凡模;內(nèi)p-置換模;頂

        0 引 言

        在有限群表示論中,文獻(xiàn)[1]首次引入p-可除kG-模來(lái)研究格林環(huán)中的冪零元素,p-可除kG-模是一類(lèi)由有限群G的階來(lái)控制的模類(lèi),它擴(kuò)充了G上的投射模和相對(duì)投射模;內(nèi)平凡kG-模是由Dade定義的模類(lèi)[2],它的內(nèi)同態(tài)(自同態(tài))環(huán)作為典范的kG-模在kG的穩(wěn)定模范疇中是平凡的,它在kG的塊代數(shù)的穩(wěn)定模范疇的自等價(jià)、Dade群的結(jié)構(gòu)等方面起著關(guān)鍵的作用[3-5]. 本文利用p-可除kG-模將內(nèi)平凡kG-模擴(kuò)充為p-內(nèi)平凡kG-模.

        p-內(nèi)平凡kG-模V還是一種特殊的可裂跡OG-格,也就是,跡映射Tr:End(V)→O為可裂映射的OG-格V,文獻(xiàn)[6]證明了可裂跡OG-格與關(guān)于O的幾乎可裂序列的張量積一定不可裂,給出了OG-格的張量積的直和分解的方法.

        1 p-內(nèi)平凡模

        本文中,我們?cè)O(shè)定,p是素?cái)?shù),k是一個(gè)特征為p的代數(shù)封閉域,所有的群都是有限群,所有的模都是有限生成的. 記號(hào)和術(shù)語(yǔ)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8].

        對(duì)于有限群G和kG-模V,若V的任意不可分解直因子的維數(shù)能被p整除,則稱(chēng)V是一個(gè)p-可除kG-模[1].

        本文限定,所有涉及p-可除kG-模的有限群G的階都被p整除.

        注1p-可除kG-模類(lèi)是有限群G上的一個(gè)較大的模類(lèi),它包含所有的P-投射kG-模,這里P是G的真p-子群,特別地,它包含所有的投射kG-模([7,習(xí)題21.2,23.2]);但是,平凡kG-模k不是p-可除kG-模.

        注2 設(shè)U,V是p-可除kG-模,W是kG-模,那么,U*,U⊕V,U?W,Hom(U,V)都是p-可除kG-模([1,性質(zhì)2.2]).

        注3 限制到代數(shù)封閉域k,由于任何不可分解kG-模都是絕對(duì)不可分解的,所以,文獻(xiàn)[1]中的絕對(duì)p-可除模即是本文的p-可除kG-模,并得知,本文的p-可除kG-模本質(zhì)上是由素?cái)?shù)p完全控制的.

        引理1 設(shè)H是G的子群,P是H的p-子群,U是kP-模,V是kG-模;

        證明 1)由Krull-Schmidt定理即知結(jié)論成立.

        定義1 設(shè)V是kG-模,若內(nèi)同態(tài)(自同態(tài))模End(V)可以分解為平凡模和p-可除kG-模的直和,也即,End(V)=k⊕U,這里U是p-可除kG-模,那么,我們稱(chēng)V是p-內(nèi)平凡kG-模.

        注4 由注1知,p-內(nèi)平凡kG-模的定義是合理的,它推廣了熟知的(相對(duì))內(nèi)平凡模的概念[2,9];平凡模k是最簡(jiǎn)單的p-內(nèi)平凡kG-模,任何p-可除kG-模都不是p-內(nèi)平凡kG-模.

        引理2 設(shè)P是G的真p-子群,V是p-內(nèi)平凡kG-模;那么,dim(V)=1 (p),并且,任何p-內(nèi)平凡kG-模都不是P-投射kG-模.

        證明 End(V)=k⊕U,這里U是p-可除kG-模,那么,

        由此,dim(V)=1 (p);再由[7,習(xí)題23.2]得知,任何p-內(nèi)平凡kG-模都不是P-投射kG-模.

        性質(zhì)1 設(shè)U和V是p-內(nèi)平凡kG-模,W是P-可除kG-模,g∈G,n∈Z;那么,

        1)V*是p-內(nèi)平凡kG-模;

        2)U?V是p-內(nèi)平凡kG-模,反之也成立;

        3) Hom(U,V)是p-內(nèi)平凡kG-模;

        4) Ωn(V) 是p-內(nèi)平凡kG-模.

        證明 1)設(shè)End(V)=k⊕M,這里M是p-可除kG-模,那么,End(V*)=(End(V))*=k⊕M*,由注2,M*是p-可除kG-模,由此,V*是p-內(nèi)平凡kG-模.

        2)設(shè)End(U)=k⊕U1,End(V)=k⊕V1,這里,U1和V1都是p-可除kG-模,那么,

        End(U?V)? End(U)? End(V)=(k⊕U1)? (k⊕V1)?k⊕U1⊕V1⊕(U1?V1),

        而由注2得知,U1⊕V1⊕(U1?V1)是p-可除kG-模,也即,U?V是p-內(nèi)平凡kG-模;

        結(jié)合注2和Krull-Schmidt定理,得知,X1,Y1都是p-可除kG-模.

        3)由1)、2)和kG-模同構(gòu)Hom(U,V)?U*?V,得知結(jié)論成立.

        4)一方面,End(Ωn(V))?Ωn(V)*?Ωn(V)?Ω-n(V*)?Ωn(V)?Ω0(V*?V)⊕(投射模);另一方面,V*?V?k⊕(p-可除模)?Ω0(V*?V)⊕(投射模);這說(shuō)明,Ω0(V*?V)?k⊕X,這里,X是非投射p-可除kG-模,由此,End(Ωn(V))是平凡模和p-可除kG-模的直和,也即,Ωn(V)是p-內(nèi)平凡kG-模.

        性質(zhì)1表明,n次Heller算子Ωn(-)置換不可分解p-內(nèi)平凡kG-模的同構(gòu)類(lèi),它是不可分解非投射kG-模的同構(gòu)類(lèi)的子類(lèi)([8,性質(zhì)11.7.1]).

        定理1 設(shè)V是p-內(nèi)平凡kG-模,W是p-可除kG-模,那么,

        1)V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模;

        2)在kG-模同構(gòu)的意義下,V是它的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子和一個(gè)p-可除kG-模的直和.

        證明 1)由下面的典范的kG-模同構(gòu),

        End(V⊕W)? End(V)⊕End(W)⊕Hom(V,W)⊕Hom(W,V),

        (1)

        以及End(W)、Hom(V,W)、Hom(W,V)都是p-可除kG-模(注2),得知,End(V⊕W)是平凡模和p-可除kG-模的直和,也即,V⊕W是p-內(nèi)平凡kG-模.

        2)相反,設(shè)U是V的不可分解非p-可除直因子,由典范同構(gòu)式(1)、Krull-Schmidt定理,以及V是p-內(nèi)平凡kG-模得知,End(U) =k⊕M,這里M是p-可除kG-模,也即,U是p-內(nèi)平凡kG-模.

        下面證明U是V的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子. 若X是V的另一個(gè)不可分解p-內(nèi)平凡直因子,由典范同構(gòu)式(1)以及X是p-內(nèi)平凡kG-模得知,k⊕k│End(V),這與[10,定理2.1]相矛盾.

        綜上所述,在kG-模同構(gòu)的意義下,V有唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子,并且,V是它的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子和一個(gè)p-可除kG-模的直和.

        注5 我們稱(chēng)定理1中的V的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子為它的蓋,定理1證明了,任何p-內(nèi)平凡kG-模是它的蓋和若干個(gè)不可分解p-可除kG-模的直和.

        推論1 設(shè)0→U→W→V→0 是kG-模短正合列,若W是投射kG-模,那么,U是p-內(nèi)平凡kG-模當(dāng)且僅當(dāng)V是p-內(nèi)平凡kG-模.

        證明 由Schanuel引理,可得到下面的kG-模同構(gòu):

        U?Ω(V)⊕U1,

        (2)

        V?Ω-1(U)⊕V1,

        (3)

        式(2)和(3)中的U1和V1都是投射kG-模,由性質(zhì)1的4)和定理1得知結(jié)論成立.

        定理2 設(shè)H是G的子群,V是kG-模;

        設(shè)End(V)=k⊕X,這里,X是kG-模;那么,

        2)設(shè)End(V)=k⊕Y,這里,Y是p-可除kG-模;那么,

        性質(zhì)2 設(shè)H是G的子群,V是p-內(nèi)平凡kG-模;若V是不可分解kG-模,那么,V的頂是G的西羅p-子群,并且,V從屬于G的滿(mǎn)虧p-塊;若V是H-投射的,那么,H包含G的西羅p-子群.

        證明 對(duì)第一部分應(yīng)用反證法. 若不可分解模V的頂P是G的真p-子群,那么,由[7,習(xí)題23.2]得知,p│dim(V),從而,再由引理1得知,V不是p-內(nèi)平凡kG-模,矛盾;所以,不可分解模V的頂P是G的西羅p-子群.

        若V從屬于G的p-塊B,那么,B的虧群包含V的頂P,從而,B的虧群也是G的西羅p-子群,也即,B是G的滿(mǎn)虧p-塊.

        第二部分的證明. 由于H-投射kG-模的不可分解直因子仍是H-投射的,所以,結(jié)合第一部分的結(jié)論得知,H必須包含G的某個(gè)西羅p-子群.

        注6 性質(zhì)2說(shuō)明,任何p-內(nèi)平凡kG-模的蓋的頂是G的西羅p-子群.

        2 p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模

        當(dāng)P是G的真p-子群時(shí),由注1得知,V是p-可除kG-模.

        性質(zhì) 3 設(shè)H是G的子群,U和V是內(nèi)p-置換kG-模;

        2)若V是p-內(nèi)平凡kG-模,那么,Ωn(V) 是p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模;

        3)若U和V是p-內(nèi)平凡kG-模,那么,U*和U?V都是p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模.

        3)由性質(zhì)1、[11,性質(zhì)0.2]以及[7,性質(zhì)28.2]得知結(jié)論成立.

        定理3 設(shè)P是有限p-群,U是內(nèi)平凡kP-模,V是不可分解有蓋型內(nèi)置換kP-模;那么,

        1)U是有蓋型內(nèi)置換kP-模;

        2)V是p-內(nèi)平凡kP-模,并且,

        (4)

        這里,Q1,Q2,…,Qn是P的真p-子群.

        證明 1)設(shè)End(U)=k⊕X,這里,X是投射kP-模,由[8,性質(zhì)11.6.2]得知,X是1-投射kP-模,從而,X的每個(gè)不可分解直因子都是平凡源模,X是置換kP-模,U是內(nèi)置換kP-模.

        U是內(nèi)平凡kP-模,那么,由性質(zhì)2得知,U的蓋的頂是G的西羅p-子群,由此,U是有蓋型內(nèi)置換kP-模.

        2)設(shè)P是G的西羅p-子群,V是p-內(nèi)平凡的內(nèi)p-置換kG-模;那么,V有唯一的頂為P的不可分解直因子,從而,V是有蓋型內(nèi)p-置換kG-模,它的蓋與p-內(nèi)平凡kG-模V的蓋重合;并且,End(V)=k⊕X,這里,X的任意不可分解直因子都是頂為G的真p-子群的平凡源模.

        2)由定理1,設(shè)V=V1⊕L,這里,V1是V的唯一的不可分解p-內(nèi)平凡直因子,L是p-可除kG-模,由性質(zhì)2得知,V1的頂為G的西羅p-子群;L的任何不可分解直因子W是一個(gè)p-可除的內(nèi)p-置換kG-模,由引理3得知,W的頂是G的真p-子群,由此,V的唯一的p-內(nèi)平凡直因子是它的唯一的頂為G的西羅p-子群的直因子,也即,V有唯一的頂為P的不可分解直因子,從而,V是有蓋型內(nèi)p-置換kG-模,它的蓋與p-內(nèi)平凡kG-模V的蓋重合.

        設(shè)End(V)=k⊕X,這里X是p-可除kG-模,那么,X的任何不可分解直因子N都是p-可除kG-模,并且是p-置換kG-模[11],從而,由引理3得知,N的頂是G的真p-子群,這說(shuō)明,X的任何不可分解直因子是頂為G的真p-子群的平凡源kG-模.

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        Some Results on thep-endotrivialkG-modules

        HUANG Wenlin

        (School of Information,Renmin University of China,Beijing 100872,China)

        This paper studies thep-endotrivialkG-module, and proves that any endo-p-permutationkG-moduleVwhich isp-endotrivial at the same time must be capped, and the moment, the cap of the endo-p-permutationkG-moduleVis the same as that ofVas ap-endotrivialkG-module.

        p-endotrivial module;endo-p-permutation module;vertex

        2016-11-09

        國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10826057).

        黃文林(1977—),男,博士,主要從事有限群表示論研究. E-mail: wenlinhuang@163.com

        10.3969/j.issn.1674-232X.2017.04.014

        O152.6 MSC2010:20C05; 20C20

        A

        1674-232X(2017)04-0424-06

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