黃文林
(中國人民大學信息學院,北京 100872)
關于p-內平凡模的若干結論
黃文林
(中國人民大學信息學院,北京 100872)
研究了p-內平凡kG-模的結構,證明了,p-內平凡的內p-置換kG-模V是有蓋型的,此時,內p-置換kG-模V的蓋與V作為p-內平凡模的蓋是一致的.
p-內平凡模;內p-置換模;頂
在有限群表示論中,文獻[1]首次引入p-可除kG-模來研究格林環(huán)中的冪零元素,p-可除kG-模是一類由有限群G的階來控制的模類,它擴充了G上的投射模和相對投射模;內平凡kG-模是由Dade定義的模類[2],它的內同態(tài)(自同態(tài))環(huán)作為典范的kG-模在kG的穩(wěn)定模范疇中是平凡的,它在kG的塊代數的穩(wěn)定模范疇的自等價、Dade群的結構等方面起著關鍵的作用[3-5]. 本文利用p-可除kG-模將內平凡kG-模擴充為p-內平凡kG-模.
p-內平凡kG-模V還是一種特殊的可裂跡OG-格,也就是,跡映射Tr:End(V)→O為可裂映射的OG-格V,文獻[6]證明了可裂跡OG-格與關于O的幾乎可裂序列的張量積一定不可裂,給出了OG-格的張量積的直和分解的方法.
本文中,我們設定,p是素數,k是一個特征為p的代數封閉域,所有的群都是有限群,所有的模都是有限生成的. 記號和術語可參見文獻[7-8].
對于有限群G和kG-模V,若V的任意不可分解直因子的維數能被p整除,則稱V是一個p-可除kG-模[1].
本文限定,所有涉及p-可除kG-模的有限群G的階都被p整除.
注1p-可除kG-模類是有限群G上的一個較大的模類,它包含所有的P-投射kG-模,這里P是G的真p-子群,特別地,它包含所有的投射kG-模([7,習題21.2,23.2]);但是,平凡kG-模k不是p-可除kG-模.
注2 設U,V是p-可除kG-模,W是kG-模,那么,U*,U⊕V,U?W,Hom(U,V)都是p-可除kG-模([1,性質2.2]).
注3 限制到代數封閉域k,由于任何不可分解kG-模都是絕對不可分解的,所以,文獻[1]中的絕對p-可除模即是本文的p-可除kG-模,并得知,本文的p-可除kG-模本質上是由素數p完全控制的.
引理1 設H是G的子群,P是H的p-子群,U是kP-模,V是kG-模;
證明 1)由Krull-Schmidt定理即知結論成立.
定義1 設V是kG-模,若內同態(tài)(自同態(tài))模End(V)可以分解為平凡模和p-可除kG-模的直和,也即,End(V)=k⊕U,這里U是p-可除kG-模,那么,我們稱V是p-內平凡kG-模.
注4 由注1知,p-內平凡kG-模的定義是合理的,它推廣了熟知的(相對)內平凡模的概念[2,9];平凡模k是最簡單的p-內平凡kG-模,任何p-可除kG-模都不是p-內平凡kG-模.
引理2 設P是G的真p-子群,V是p-內平凡kG-模;那么,dim(V)=1 (p),并且,任何p-內平凡kG-模都不是P-投射kG-模.
證明 End(V)=k⊕U,這里U是p-可除kG-模,那么,
由此,dim(V)=1 (p);再由[7,習題23.2]得知,任何p-內平凡kG-模都不是P-投射kG-模.
性質1 設U和V是p-內平凡kG-模,W是P-可除kG-模,g∈G,n∈Z;那么,
1)V*是p-內平凡kG-模;
2)U?V是p-內平凡kG-模,反之也成立;
3) Hom(U,V)是p-內平凡kG-模;
4) Ωn(V) 是p-內平凡kG-模.
證明 1)設End(V)=k⊕M,這里M是p-可除kG-模,那么,End(V*)=(End(V))*=k⊕M*,由注2,M*是p-可除kG-模,由此,V*是p-內平凡kG-模.
2)設End(U)=k⊕U1,End(V)=k⊕V1,這里,U1和V1都是p-可除kG-模,那么,
End(U?V)? End(U)? End(V)=(k⊕U1)? (k⊕V1)?k⊕U1⊕V1⊕(U1?V1),
而由注2得知,U1⊕V1⊕(U1?V1)是p-可除kG-模,也即,U?V是p-內平凡kG-模;
結合注2和Krull-Schmidt定理,得知,X1,Y1都是p-可除kG-模.
3)由1)、2)和kG-模同構Hom(U,V)?U*?V,得知結論成立.
4)一方面,End(Ωn(V))?Ωn(V)*?Ωn(V)?Ω-n(V*)?Ωn(V)?Ω0(V*?V)⊕(投射模);另一方面,V*?V?k⊕(p-可除模)?Ω0(V*?V)⊕(投射模);這說明,Ω0(V*?V)?k⊕X,這里,X是非投射p-可除kG-模,由此,End(Ωn(V))是平凡模和p-可除kG-模的直和,也即,Ωn(V)是p-內平凡kG-模.
性質1表明,n次Heller算子Ωn(-)置換不可分解p-內平凡kG-模的同構類,它是不可分解非投射kG-模的同構類的子類([8,性質11.7.1]).
定理1 設V是p-內平凡kG-模,W是p-可除kG-模,那么,
1)V⊕W是p-內平凡kG-模;
2)在kG-模同構的意義下,V是它的唯一的不可分解p-內平凡直因子和一個p-可除kG-模的直和.
證明 1)由下面的典范的kG-模同構,
End(V⊕W)? End(V)⊕End(W)⊕Hom(V,W)⊕Hom(W,V),
(1)
以及End(W)、Hom(V,W)、Hom(W,V)都是p-可除kG-模(注2),得知,End(V⊕W)是平凡模和p-可除kG-模的直和,也即,V⊕W是p-內平凡kG-模.
2)相反,設U是V的不可分解非p-可除直因子,由典范同構式(1)、Krull-Schmidt定理,以及V是p-內平凡kG-模得知,End(U) =k⊕M,這里M是p-可除kG-模,也即,U是p-內平凡kG-模.
下面證明U是V的唯一的不可分解p-內平凡直因子. 若X是V的另一個不可分解p-內平凡直因子,由典范同構式(1)以及X是p-內平凡kG-模得知,k⊕k│End(V),這與[10,定理2.1]相矛盾.
綜上所述,在kG-模同構的意義下,V有唯一的不可分解p-內平凡直因子,并且,V是它的唯一的不可分解p-內平凡直因子和一個p-可除kG-模的直和.
注5 我們稱定理1中的V的唯一的不可分解p-內平凡直因子為它的蓋,定理1證明了,任何p-內平凡kG-模是它的蓋和若干個不可分解p-可除kG-模的直和.
推論1 設0→U→W→V→0 是kG-模短正合列,若W是投射kG-模,那么,U是p-內平凡kG-模當且僅當V是p-內平凡kG-模.
證明 由Schanuel引理,可得到下面的kG-模同構:
U?Ω(V)⊕U1,
(2)
V?Ω-1(U)⊕V1,
(3)
式(2)和(3)中的U1和V1都是投射kG-模,由性質1的4)和定理1得知結論成立.
定理2 設H是G的子群,V是kG-模;
設End(V)=k⊕X,這里,X是kG-模;那么,
2)設End(V)=k⊕Y,這里,Y是p-可除kG-模;那么,
性質2 設H是G的子群,V是p-內平凡kG-模;若V是不可分解kG-模,那么,V的頂是G的西羅p-子群,并且,V從屬于G的滿虧p-塊;若V是H-投射的,那么,H包含G的西羅p-子群.
證明 對第一部分應用反證法. 若不可分解模V的頂P是G的真p-子群,那么,由[7,習題23.2]得知,p│dim(V),從而,再由引理1得知,V不是p-內平凡kG-模,矛盾;所以,不可分解模V的頂P是G的西羅p-子群.
若V從屬于G的p-塊B,那么,B的虧群包含V的頂P,從而,B的虧群也是G的西羅p-子群,也即,B是G的滿虧p-塊.
第二部分的證明. 由于H-投射kG-模的不可分解直因子仍是H-投射的,所以,結合第一部分的結論得知,H必須包含G的某個西羅p-子群.
注6 性質2說明,任何p-內平凡kG-模的蓋的頂是G的西羅p-子群.
當P是G的真p-子群時,由注1得知,V是p-可除kG-模.
性質 3 設H是G的子群,U和V是內p-置換kG-模;
2)若V是p-內平凡kG-模,那么,Ωn(V) 是p-內平凡的內p-置換kG-模;
3)若U和V是p-內平凡kG-模,那么,U*和U?V都是p-內平凡的內p-置換kG-模.
3)由性質1、[11,性質0.2]以及[7,性質28.2]得知結論成立.
定理3 設P是有限p-群,U是內平凡kP-模,V是不可分解有蓋型內置換kP-模;那么,
1)U是有蓋型內置換kP-模;
2)V是p-內平凡kP-模,并且,
(4)
這里,Q1,Q2,…,Qn是P的真p-子群.
證明 1)設End(U)=k⊕X,這里,X是投射kP-模,由[8,性質11.6.2]得知,X是1-投射kP-模,從而,X的每個不可分解直因子都是平凡源模,X是置換kP-模,U是內置換kP-模.
U是內平凡kP-模,那么,由性質2得知,U的蓋的頂是G的西羅p-子群,由此,U是有蓋型內置換kP-模.
2)設P是G的西羅p-子群,V是p-內平凡的內p-置換kG-模;那么,V有唯一的頂為P的不可分解直因子,從而,V是有蓋型內p-置換kG-模,它的蓋與p-內平凡kG-模V的蓋重合;并且,End(V)=k⊕X,這里,X的任意不可分解直因子都是頂為G的真p-子群的平凡源模.
2)由定理1,設V=V1⊕L,這里,V1是V的唯一的不可分解p-內平凡直因子,L是p-可除kG-模,由性質2得知,V1的頂為G的西羅p-子群;L的任何不可分解直因子W是一個p-可除的內p-置換kG-模,由引理3得知,W的頂是G的真p-子群,由此,V的唯一的p-內平凡直因子是它的唯一的頂為G的西羅p-子群的直因子,也即,V有唯一的頂為P的不可分解直因子,從而,V是有蓋型內p-置換kG-模,它的蓋與p-內平凡kG-模V的蓋重合.
設End(V)=k⊕X,這里X是p-可除kG-模,那么,X的任何不可分解直因子N都是p-可除kG-模,并且是p-置換kG-模[11],從而,由引理3得知,N的頂是G的真p-子群,這說明,X的任何不可分解直因子是頂為G的真p-子群的平凡源kG-模.
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Some Results on thep-endotrivialkG-modules
HUANG Wenlin
(School of Information,Renmin University of China,Beijing 100872,China)
This paper studies thep-endotrivialkG-module, and proves that any endo-p-permutationkG-moduleVwhich isp-endotrivial at the same time must be capped, and the moment, the cap of the endo-p-permutationkG-moduleVis the same as that ofVas ap-endotrivialkG-module.
p-endotrivial module;endo-p-permutation module;vertex
2016-11-09
國家自然科學基金項目(10826057).
黃文林(1977—),男,博士,主要從事有限群表示論研究. E-mail: wenlinhuang@163.com
10.3969/j.issn.1674-232X.2017.04.014
O152.6 MSC2010:20C05; 20C20
A
1674-232X(2017)04-0424-06