劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

2-距離空間中(ψ,φ,θ)-壓縮映象的公共耦合不動點(diǎn)定理

劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

在完備的2-距離空間中, 通過討論一類(ψ,φ,θ)-壓縮條件, 研究了耦合重合點(diǎn)和耦合公共不動點(diǎn)的存在性和唯一性問題，從而得到一個新的公共耦合不動點(diǎn)定理，改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.

完備2-距離空間; (ψ,φ,θ)-壓縮映象; 耦合重合點(diǎn); 耦合公共不動點(diǎn); 混合g-單調(diào)性

1 引言和預(yù)備知識

1963年, G?hler[1]首次引入了2-距離空間的概念. 1976年, Iséki等[2]開始研究關(guān)于2-距離空間中映象的不動點(diǎn)問題. 近年來, 2-距離空間中的不動點(diǎn)理論得到了較大的發(fā)展[3-8]. 受上述文獻(xiàn)的啟發(fā), 該文在完備的2-距離空間中, 引入一類新的(ψ,φ,θ)-壓縮條件, 并在此條件下研究耦合重合點(diǎn)和公共耦合不動點(diǎn)的存在性和唯一性問題, 得到了一個新的耦合公共不動點(diǎn)定理, 在很大程度上改進(jìn)和發(fā)展了相關(guān)文獻(xiàn)的一些已知結(jié)果.

在介紹主要結(jié)果之前, 先介紹一些基本概念和已知結(jié)果.

定義1[8]設(shè)X是非空集,d:X×X×X→[0,+),滿足：

1) 對每一對點(diǎn)a,b∈X,a≠b, 存在一點(diǎn)c∈X, 使得d(a,b,c)≠0;

2)d(a,b,c)=0, 當(dāng)a,b,c中至少有二元相等;

3)d(a,b,c)=d(a,c,b)=d(b,c,a)=d(b,a,c)=d(c,a,b)=d(c,b,a);

4)d(a,b,c)≤d(a,b,x)+d(a,x,c)+d(x,b,c), 其中x是X中的任一元.

則稱(X,d)為2-距離空間.

定義4[8]2-距離空間(X,d)稱為完備的, 如果X中的每一Cauchy列都是X中的收斂列.

引理1[8]設(shè)(X,d)為2-距離空間. 對于任意一序列{xn}→x∈X, 那么有

注1[8]正如G?hler[1]證明了, 盡管2-距離空間d對每一個變元都是連續(xù)的, 但它不必對二變元同時(shí)連續(xù); 如果對任二變元同時(shí)連續(xù), 則必同時(shí)對三變元連續(xù).

定義5[9]稱(x,y)∈X×X是映象F:X×X→X 的耦合不動點(diǎn), 如果F(x,y)=x,F(y,x)=y.

定義6[11]稱(x,y)∈X×X是映象對F:X×X→X和g:X→X 的耦合重合點(diǎn), 如果F(x,y)=gx,F(y,x)=gy.

定義7[11]稱(x,y)∈X×X是映象對F:X×X→X和g:X→X 的耦合公共不動點(diǎn),如果F(x,y)=gx=x,F(y,x)=gy=y.

定義8[11]設(shè)X為一非空集. 映象對F:X×X→X和g:X→X稱為是w-相容, 當(dāng)F(x,y)=gx,F(y,x)=gy時(shí), 滿足gF(x,y)=F(gx,gy)成立.

定義9[12]設(shè)(X,?)是一偏序集, 函數(shù)T:X×X→X,g:X→X. T稱為具有混合g-單調(diào)性質(zhì), 如果T(x,y)在x處是g-單調(diào)不減, 在y處是g-單調(diào)不增, 即對任意的x,y∈X, 有

x1,x2∈X,gx1?gx2?T(x1,y)?T(x2,y);

y1,y2∈X,gy1?gy2?T(x,y1)T(x,y2).

(i) mi>ni+1,ni→(i→);

(ii) d(ymi,yni,a0)≥ε0;d(ymi-1,yni,a0)<ε0,i=1,2,3,….

2 主要結(jié)果

該文處處假設(shè)以下3種類型的函數(shù)[13]：

定理1 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集. g:X→X為X上的自映象. 映象T:X×X→X具有混合g-單調(diào)性, 且與g可交換. g,T都為連續(xù)映象. 實(shí)數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件：

1) T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得 gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

(1)

其中

則g和T在X中有耦合重合點(diǎn).

證明 由條件(2)可得, ?(x0,y0)∈X×X使得gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0), 由于T(X×X)?g(X), 則?x1,y1∈X, 使得gx1=T(x0,y0),gy1=T(y0,x0).同樣道理, ?x2,y2∈X, 使得gx2=T(x1,y1),gy2=T(y1,x1). 由gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0), 可知gx0?gx1,gy0gy1. 由于映象T具有混合g-單調(diào)性, 所以可知

gx1=T(x0,y0)?T(x0,y1)?T(x1,y1)=gx2;

gy1=T(y0,x0)T(y0,x1)T(y1,x1)=gy2.

這樣繼續(xù)做下去就可得到X中的兩個序列{gxn}和{gyn}, 分別為

gxn=T(xn,yn)和gyn=T(yn,xn).

且{gxn}和{gyn}滿足

gx0?gx1?gx2?…?gxn?gxn+1?…,

(2)

gy0gy1gy2…gyngyn+1….

(3)

在式(1)中令(x,y)=(xn,yn)和(u,v)=(xn+1,yn+1), 由式(2)和(3)可得

ψ(d(gxn+1,gxn+2,a))=ψ(d(T(xn,yn),T(xn+1,yn+1),a))≤

ψ(M(xn,yn,xn+1,yn+1))-φ(M(xn,yn,xn+1,yn+1))+Mθ(N(xn,yn,xn+1,yn+1)).

(4)

其中

(5)

(6)

由式(4)—(6)得

ψ(d (gxn+1,gxn+2,a))≤

(7)

同樣道理, 可得

ψ(d(gyn+1,gyn+2,a))≤

(8)

令

δn=max{d(gxn,gxn+1,a),d(gyn,gyn+1,a)}.

(9)

由于max{ψ(a),ψ(b)}=ψ(max{a,b}),?a,b∈[0,+), 可得

ψ(δn+1)=max{ψ(d(gxn+1,gxn+2,a)),ψ(d(gyn+1,gyn+2,a))}.

(10)

再由式(7)—(10)得

ψ(δn +1)≤

ψ(max{d(gxn,gxn+1,a),d(gyn,gyn+1,a),d(gxn+1,gxn+2,a),d(gyn+1,gyn+2,a)})-

φ(max{d(gxn,gxn+1,a),d(gyn,gyn+1,a),d(gxn+1,gxn+2,a),d(gyn+1,gyn+2,a)})=

ψ(max{δn+1,δn})-φ(max{δn+1,δn}).

(11)

如果δn+1>δn(δn+1>0, 否則δn<0, 出現(xiàn)矛盾), 此時(shí)式(11)可整理為

ψ(δn+1)≤ψ(δn+1)-φ(δn+1)<ψ(δn+1).

結(jié)果出現(xiàn)矛盾,故

δn+1≤δn,n=0,1,2,….

(12)

(13)

結(jié)合式(12), 式(11)可整理為

δn+1≤ψ(δn)-φ(δn).

(14)

ψ(δ)≤ψ(δ)-φ(δ)<ψ(δ).

出現(xiàn)矛盾 , 于是δ=0, 即

那么有

(15)

下面將證明

(16)

若不然，由引理1知, 必存在某一a0∈X和某一ε0>0, 且存在正整數(shù)列{mi},{ni}, 使得

(i) mi>ni+1,ni→(i→)；

(ii)max{d(gxni,gxmi,a0),d(gyni,gymi,a0)}≥ε0,max{d(gxni,gxmi-1,a0),d(gyni,gymi-1,a0)}<ε0,i=1,2,3,….

運(yùn)用三角不等式，得

d(gxni,gxmi,a0)≤d(gxni,gxmi,gxmi-1)+d(gxni,gxmi-1,a0)+d(gxmi-1,gxmi,a0);

d(gyni,gymi,a0)≤d(gyni,gymi,gymi-1)+d(gyni,gymi-1,a0)+d(gymi-1,gymi,a0).

(17)

再次運(yùn)用三角不等式得

d(gxni-1,gxmi-1,a0)≤d(gxni-1,gxmi-1,gxni)+d(gxni-1,gxni,a0)+d(gxni,gxmi-1,a0);

d(gyni-1,gymi-1,a0)≤d(gyni-1,gymi-1,gyni)+d(gyni-1,gyni,a0)+d(gyni,gymi-1,a0).

(18)

利用式(15)和條件(ii), 并將式(17)和(18)兩邊令i→, 取極限, 可得

(19)

(20)

由式(1)可得

ψ(d(gxni,gxmi,a0))= ψ(d(T(xni-1,yni-1),T(xmi-1,ymi-1),a0))≤

ψ(M(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1))-φ(M(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1))+

Mθ(N(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1)).

(21)

其中

M(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1)=

(22)

(23)

將式(22)和(23)代入(21), 兩邊令i→時(shí), 取極限, 并將式(15),(19)和(20)代入得

即得

ψ(ε0)≤ψ(ε0)-φ(ε0)<ψ(ε0).

由此推出矛盾. 即證得式(16)成立, 進(jìn)而可知

又因?yàn)?-距離空間(X,d)是完備的, 所以?x,y∈X, 使得

(24)

由g和T的可交換性, 可得

g(gxn+1)=g(T(xn,yn))=T(gxn,gyn), g(gyn+1)=g(T(yn,xn))=T(gyn,gxn).

(25)

于是可得,(x,y)是g和T的耦合重合點(diǎn),即gx=T(x,y),gy=T(y,x).證畢.

定理2 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集.g:X→X為X上的自映象. 映象T:X×X→X具有混合g-單調(diào)性, 且與g可交換.g,T都為連續(xù)映象. 實(shí)數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件:

1)T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

3) ?x,y,u,v,a∈X, 如果gx?gu,gygv或者gxgu,gygv, 那么有(x,y,u,v)).其中

則g和T在X中有耦合重合點(diǎn).

證明 與定理 1 證明方法相同, 略去.

推論1 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集.g:X→X為X上的自映象. 映象T:X×X→X具有混合g-單調(diào)性, 且與g可交換.g,T都為連續(xù)映象. 實(shí)數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件:

1) T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得 gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

其中：

.

則g和T在X中有耦合重合點(diǎn).

推論2 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集. I:X→X為X上的恒等映象. 映象T:X×X→X具有混合I-單調(diào)性, 且與g可交換. g,T都為連續(xù)映象. 實(shí)數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件:

1) T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得 gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

其中：

.

則T在X中有耦合不動點(diǎn).

證明 令定理1中的自映象g為恒等映象I, 即可證得.

3 不動點(diǎn)的唯一性

設(shè)(X,?)是偏序集, 我們在2-距離空間(X,d)中規(guī)定一種可比較關(guān)系如下:

定理3 在定理1中, 對于g和T的任意兩個耦合重合點(diǎn)(x*,y*)和(z*,t*), 都能找到(u*,v*)∈X×X, 使得(gu*,gv*)分別和(gx*,gy*),(gz*,gt*)滿足以上可比較關(guān)系, 這時(shí), g和T有唯一的耦合重合點(diǎn)和唯一的耦合公共不動點(diǎn).

證明 由定理1可知, g,T至少存在一個耦合重合點(diǎn). 設(shè)(x,y)和(z,t)是g,T任意兩個耦合重合點(diǎn), 即T(x,y)=gx,T(y,x)=gy和T(z,t)=gz,T(t,z)=gt. 現(xiàn)證(gx,gy)=(gz,gt).

由于?(u,v)∈(X×X), 使得(gu,gv)分別和(gx,gy),(gt,gz)滿足以上可比較關(guān)系.

情況1 當(dāng)可比較關(guān)系為

(gx,gy)?(gu,gv),(gt,gz)?(gu,gv).

(26)

令u0=u,v0=v,則?(u1,v1)∈X×X, 使得gu1=T(u0,v0),gv1=T(v0,u0).依次類推, 會得到兩個數(shù)列{gun}和{gvn}分別為gun+1=T(un,vn),gvn+1=T(vn,un),n=1,2,3,….令

x0=x,y0=y，z0=z,t0=t.

(27)

同樣道理, 可以得到數(shù)列{gxn},{gyn}和{gzn},{gtn}分別為

gxn+1=T(xn,yn),gyn+1=T(yn,xn),n=0,1,2,….

gzn+1=T(zn,tn),gtn+1=T(tn,zn),n=0,1,2,….

由于(x,y)是g,T的耦合重合點(diǎn), 則有

gx1=T(x0,y0)=T(x,y)=gx=gx0,gy1=T(y0,x0)=T(y,x)=gy=gy0；

gx2=T(x1,y1)=T(x0,y0)=gx1,gy2=T(y1,x1)=T(y0,x0)=gy1.

依次類推可知gx0=gx1=…=gxn=…,gy0=gy1=…=gyn=…. 即

gxn=gx,gyn=gy,?n=0,1,2,….

(28)

相同道理可知

gzn=gz,gtn=gt,?n=0,1,2,….

(29)

由于式(26)和(27)可整理為

(gx0,g0)?(gu0,gv0),(gt0,gz0)?(gu0,gv0).

又T具有混合g-單調(diào)性, 所以

即(gx1,gy1)?(gu1,gv1).同樣道理, 有(gx2,gy2)?(gu2,gv2). 這樣繼續(xù)做下去, 可得

(gxn,gyn)?(gun,gvn),n=0,1,2,….

類似方法,可得

(gtn,gzn)?(gun,gvn),n=0,1,2,….

結(jié)合式(28)和(29)可得

(gx,gy)?(gun,gvn),(gt,gz)?(gun,gvn).

由式(1)得到

ψ(d(gx,gun+1,a))=ψ(d(T(x,y),T(un,vn,a))≤

ψ(M(x,y,un,vn))-φ(M(x,y,un,vn))+Mθ(N(x,y,un,vn)).

(30)

其中

M(x,y,un, vn)=

N(x,y,un,vn)=

于是式(30)整理為

ψ(d(gx,gun+1,a))≤

(31)

同理可得

ψ(d(gy,gvn+1,a))≤

(32)

現(xiàn)令

(33)

聯(lián)立式(31)—(33), 又由max{ψ(a),ψ(b)}=ψ(max{a,b}),?a,b∈[0,+), 得到

(34)

設(shè)γn<γn+1.γn+1>0(否則γn<0 , 出現(xiàn)矛盾).

此時(shí)式(34)可整理為

ψ(γn+1)≤ψ(γn+1)-φ(γn+1)<ψ(γn+1).

進(jìn)而可知

(35)

同樣道理可證得

(36)

由式(35)和(36)得到

即(gx,gy)=(gz,gt). 所以g和T具有唯一的耦合重合點(diǎn). 又因?yàn)間和T具有可交換性, 得到

g(gx)=g(T(x,y))=T(gx,gy),g(gy)=g(T(y,x))=T(gx,gy).

(37)

由于?m,n∈X, 使得gx=m,gy=n, 那么式(37)可整理為

gm=T(m,n),gn=T(n,m).

(38)

因此(m,n)也是g和T的一個耦合重合點(diǎn), 由耦合重合點(diǎn)的唯一性知gm=gx=m,gn=gy=n. 又由式(38)可得m=gm=T(m,n),n=gn=T(n,m).即證得g和T有耦合公共不動點(diǎn). 由于g和T的耦合重合點(diǎn)具有唯一性, 因此g和T的耦合公共不動點(diǎn)也具有唯一性.

情況2 當(dāng)可比較關(guān)系為(gu,gv)?(gx,gy),(gt,gz)?(gu,gv).

情況3 當(dāng)可比較關(guān)系為(gx,gy)?(gu,gv),(gu,gv)?(gt,gz).

情況4 當(dāng)可比較關(guān)系為(gu,gv)?(gx,gy),(gu,gv)?(gt,gz).

同情況1的證明方法類似, 上述3種情況同樣也能證得g和T的耦合公共不動點(diǎn)也具有唯一性.

[1]GHERS.2-metrischeR?umeundihretopogischeStruktur[J].MathNachr,1963,26(1/2/3/4):115-148.

[2]ISéKIK.Fixedpointtheoremsin2-mericspaces[J].MathSeminarNotes,KobeUniv,1975,3(1):133-136.

[3]DESHPANDEB,CHOUHANS.Commonfixedpointtheoremsforhybridpairsofmappingswithsomeweakerconditionsin2-mericspaces[J].FascMath,2011,46:37-55.

[4]ALIOUCHEA,SIMPSONC.Fixedpointsandlinesin2-metricspaces[J].AdvMath,2012,229(1):668-690.

[5]LAHIRIBK,DASP,DEYLK.Cantor’stheoremin2-metricspacesanditsapplicationstofixedpointproblems[J].TaiwanJMath,2011,15(1):337-352.

[6]LIUZQ,ZHANGF.Characterizationsofcommonfixedpointsin2-metricspace[J].RostockMathKolloq,2001,55(1):49-64.

[7]DUBEYRP.Somefixedpointtheoremsonexpansionmappingsin2-metricspaces[J].PureApplMathSci,1990,32(1):33-37.

[8] 張石生.不動點(diǎn)理論及其應(yīng)用[M].重慶:重慶出版社,1984.

[9]BHASKARTG,LAKSHMIKANTHAMV.Fixedpointtheoremsinpartiallyorderedmetricspacesandapplications[J].NonlinearAnal,2006,65(7):1379-1393.

[10]CHOUDHURYBS,MAITYP.Coupledfixedpointresultsingeneraliaedmetricspaces[J].MathComputModelling,2011,54(1/2):73-79.

[11]LAKSHMIKANTHAMV,IRIL.Coupledfixedpointtheoremsfornonlinearcontractionsinpartiallyorderedmetricspaces[J].NonlinearAnal, 2009, 70(12):4341-4349.

[12]BERINDEV,BORCUTM.Tripledfixedpointtheoremsforcontractivetypemappingsinpartiallyorderedmetricspaces[J].NonlinearAnal, 2011,74(15):4889-4897.

[13] 谷峰.不動點(diǎn)定理與非線性算子迭代序列的收斂性[M].哈爾濱：黑龍江科技出版社,2002.

A Common Fixed Point Theorem of (ψ,φ,θ)-contractive Mappings in 2-metric Spaces

LIU Liya，GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In complete 2-metric spaces, by discussing a class of (ψ,φ,θ)-contractive condition, the existence and the uniqueness of the coupled coincidence point and coupled common fixed point were studied, then a new common coupled fixed point theorem was obtained, which improved the corresponding results in some references.

complete 2-metric space; (ψ,φ,θ)-contractive mappings; coupled coincidence point; coupled common fixed point; mixedg-monotone property

2016-06-04

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y6110287).

谷 峰(1960—), 男,教授, 主要從事非線性泛函分析及應(yīng)用研究. E-mail：gufeng99@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.04.013

O177.91 MSC(2010)：47H10； 54H25

A

1674-232X(2017)04-0416-08