劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

2-距離空間中(ψ,φ,θ)-壓縮映象的公共耦合不動點定理

劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

在完備的2-距離空間中, 通過討論一類(ψ,φ,θ)-壓縮條件, 研究了耦合重合點和耦合公共不動點的存在性和唯一性問題，從而得到一個新的公共耦合不動點定理，改進了相關(guān)文獻的結(jié)果.

完備2-距離空間; (ψ,φ,θ)-壓縮映象; 耦合重合點; 耦合公共不動點; 混合g-單調(diào)性

1 引言和預(yù)備知識

1963年, G?hler[1]首次引入了2-距離空間的概念. 1976年, Iséki等[2]開始研究關(guān)于2-距離空間中映象的不動點問題. 近年來, 2-距離空間中的不動點理論得到了較大的發(fā)展[3-8]. 受上述文獻的啟發(fā), 該文在完備的2-距離空間中, 引入一類新的(ψ,φ,θ)-壓縮條件, 并在此條件下研究耦合重合點和公共耦合不動點的存在性和唯一性問題, 得到了一個新的耦合公共不動點定理, 在很大程度上改進和發(fā)展了相關(guān)文獻的一些已知結(jié)果.

在介紹主要結(jié)果之前, 先介紹一些基本概念和已知結(jié)果.

定義1[8]設(shè)X是非空集,d:X×X×X→[0,+),滿足：

1) 對每一對點a,b∈X,a≠b, 存在一點c∈X, 使得d(a,b,c)≠0;

2)d(a,b,c)=0, 當(dāng)a,b,c中至少有二元相等;

3)d(a,b,c)=d(a,c,b)=d(b,c,a)=d(b,a,c)=d(c,a,b)=d(c,b,a);

4)d(a,b,c)≤d(a,b,x)+d(a,x,c)+d(x,b,c), 其中x是X中的任一元.

則稱(X,d)為2-距離空間.

定義4[8]2-距離空間(X,d)稱為完備的, 如果X中的每一Cauchy列都是X中的收斂列.

引理1[8]設(shè)(X,d)為2-距離空間. 對于任意一序列{xn}→x∈X, 那么有

注1[8]正如G?hler[1]證明了, 盡管2-距離空間d對每一個變元都是連續(xù)的, 但它不必對二變元同時連續(xù); 如果對任二變元同時連續(xù), 則必同時對三變元連續(xù).

定義5[9]稱(x,y)∈X×X是映象F:X×X→X 的耦合不動點, 如果F(x,y)=x,F(y,x)=y.

定義6[11]稱(x,y)∈X×X是映象對F:X×X→X和g:X→X 的耦合重合點, 如果F(x,y)=gx,F(y,x)=gy.

定義7[11]稱(x,y)∈X×X是映象對F:X×X→X和g:X→X 的耦合公共不動點,如果F(x,y)=gx=x,F(y,x)=gy=y.

定義8[11]設(shè)X為一非空集. 映象對F:X×X→X和g:X→X稱為是w-相容, 當(dāng)F(x,y)=gx,F(y,x)=gy時, 滿足gF(x,y)=F(gx,gy)成立.

定義9[12]設(shè)(X,?)是一偏序集, 函數(shù)T:X×X→X,g:X→X. T稱為具有混合g-單調(diào)性質(zhì), 如果T(x,y)在x處是g-單調(diào)不減, 在y處是g-單調(diào)不增, 即對任意的x,y∈X, 有

x1,x2∈X,gx1?gx2?T(x1,y)?T(x2,y);

y1,y2∈X,gy1?gy2?T(x,y1)T(x,y2).

(i) mi>ni+1,ni→(i→);

(ii) d(ymi,yni,a0)≥ε0;d(ymi-1,yni,a0)<ε0,i=1,2,3,….

2 主要結(jié)果

該文處處假設(shè)以下3種類型的函數(shù)[13]：

定理1 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集. g:X→X為X上的自映象. 映象T:X×X→X具有混合g-單調(diào)性, 且與g可交換. g,T都為連續(xù)映象. 實數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件：

1) T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得 gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

(1)

其中

則g和T在X中有耦合重合點.

證明 由條件(2)可得, ?(x0,y0)∈X×X使得gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0), 由于T(X×X)?g(X), 則?x1,y1∈X, 使得gx1=T(x0,y0),gy1=T(y0,x0).同樣道理, ?x2,y2∈X, 使得gx2=T(x1,y1),gy2=T(y1,x1). 由gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0), 可知gx0?gx1,gy0gy1. 由于映象T具有混合g-單調(diào)性, 所以可知

gx1=T(x0,y0)?T(x0,y1)?T(x1,y1)=gx2;

gy1=T(y0,x0)T(y0,x1)T(y1,x1)=gy2.

這樣繼續(xù)做下去就可得到X中的兩個序列{gxn}和{gyn}, 分別為

gxn=T(xn,yn)和gyn=T(yn,xn).

且{gxn}和{gyn}滿足

gx0?gx1?gx2?…?gxn?gxn+1?…,

(2)

gy0gy1gy2…gyngyn+1….

(3)

在式(1)中令(x,y)=(xn,yn)和(u,v)=(xn+1,yn+1), 由式(2)和(3)可得

ψ(d(gxn+1,gxn+2,a))=ψ(d(T(xn,yn),T(xn+1,yn+1),a))≤

ψ(M(xn,yn,xn+1,yn+1))-φ(M(xn,yn,xn+1,yn+1))+Mθ(N(xn,yn,xn+1,yn+1)).

(4)

其中

(5)

(6)

由式(4)—(6)得

ψ(d (gxn+1,gxn+2,a))≤

(7)

同樣道理, 可得

ψ(d(gyn+1,gyn+2,a))≤

(8)

令

δn=max{d(gxn,gxn+1,a),d(gyn,gyn+1,a)}.

(9)

由于max{ψ(a),ψ(b)}=ψ(max{a,b}),?a,b∈[0,+), 可得

ψ(δn+1)=max{ψ(d(gxn+1,gxn+2,a)),ψ(d(gyn+1,gyn+2,a))}.

(10)

再由式(7)—(10)得

ψ(δn +1)≤

ψ(max{d(gxn,gxn+1,a),d(gyn,gyn+1,a),d(gxn+1,gxn+2,a),d(gyn+1,gyn+2,a)})-

φ(max{d(gxn,gxn+1,a),d(gyn,gyn+1,a),d(gxn+1,gxn+2,a),d(gyn+1,gyn+2,a)})=

ψ(max{δn+1,δn})-φ(max{δn+1,δn}).

(11)

如果δn+1>δn(δn+1>0, 否則δn<0, 出現(xiàn)矛盾), 此時式(11)可整理為

ψ(δn+1)≤ψ(δn+1)-φ(δn+1)<ψ(δn+1).

結(jié)果出現(xiàn)矛盾,故

δn+1≤δn,n=0,1,2,….

(12)

(13)

結(jié)合式(12), 式(11)可整理為

δn+1≤ψ(δn)-φ(δn).

(14)

ψ(δ)≤ψ(δ)-φ(δ)<ψ(δ).

出現(xiàn)矛盾 , 于是δ=0, 即

那么有

(15)

下面將證明

(16)

若不然，由引理1知, 必存在某一a0∈X和某一ε0>0, 且存在正整數(shù)列{mi},{ni}, 使得

(i) mi>ni+1,ni→(i→)；

(ii)max{d(gxni,gxmi,a0),d(gyni,gymi,a0)}≥ε0,max{d(gxni,gxmi-1,a0),d(gyni,gymi-1,a0)}<ε0,i=1,2,3,….

運用三角不等式，得

d(gxni,gxmi,a0)≤d(gxni,gxmi,gxmi-1)+d(gxni,gxmi-1,a0)+d(gxmi-1,gxmi,a0);

d(gyni,gymi,a0)≤d(gyni,gymi,gymi-1)+d(gyni,gymi-1,a0)+d(gymi-1,gymi,a0).

(17)

再次運用三角不等式得

d(gxni-1,gxmi-1,a0)≤d(gxni-1,gxmi-1,gxni)+d(gxni-1,gxni,a0)+d(gxni,gxmi-1,a0);

d(gyni-1,gymi-1,a0)≤d(gyni-1,gymi-1,gyni)+d(gyni-1,gyni,a0)+d(gyni,gymi-1,a0).

(18)

利用式(15)和條件(ii), 并將式(17)和(18)兩邊令i→, 取極限, 可得

(19)

(20)

由式(1)可得

ψ(d(gxni,gxmi,a0))= ψ(d(T(xni-1,yni-1),T(xmi-1,ymi-1),a0))≤

ψ(M(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1))-φ(M(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1))+

Mθ(N(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1)).

(21)

其中

M(xni-1,yni-1,xmi-1,ymi-1)=

(22)

(23)

將式(22)和(23)代入(21), 兩邊令i→時, 取極限, 并將式(15),(19)和(20)代入得

即得

ψ(ε0)≤ψ(ε0)-φ(ε0)<ψ(ε0).

由此推出矛盾. 即證得式(16)成立, 進而可知

又因為2-距離空間(X,d)是完備的, 所以?x,y∈X, 使得

(24)

由g和T的可交換性, 可得

g(gxn+1)=g(T(xn,yn))=T(gxn,gyn), g(gyn+1)=g(T(yn,xn))=T(gyn,gxn).

(25)

于是可得,(x,y)是g和T的耦合重合點,即gx=T(x,y),gy=T(y,x).證畢.

定理2 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集.g:X→X為X上的自映象. 映象T:X×X→X具有混合g-單調(diào)性, 且與g可交換.g,T都為連續(xù)映象. 實數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件:

1)T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

3) ?x,y,u,v,a∈X, 如果gx?gu,gygv或者gxgu,gygv, 那么有(x,y,u,v)).其中

則g和T在X中有耦合重合點.

證明 與定理 1 證明方法相同, 略去.

推論1 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集.g:X→X為X上的自映象. 映象T:X×X→X具有混合g-單調(diào)性, 且與g可交換.g,T都為連續(xù)映象. 實數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件:

1) T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得 gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

其中：

.

則g和T在X中有耦合重合點.

推論2 設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的一偏序集. I:X→X為X上的恒等映象. 映象T:X×X→X具有混合I-單調(diào)性, 且與g可交換. g,T都為連續(xù)映象. 實數(shù)M∈R. 如果滿足以下條件:

1) T(X×X)?g(X);

2) ?(x0,y0)∈X×X使得 gx0?T(x0,y0),gy0T(y0,x0);

其中：

.

則T在X中有耦合不動點.

證明 令定理1中的自映象g為恒等映象I, 即可證得.

3 不動點的唯一性

設(shè)(X,?)是偏序集, 我們在2-距離空間(X,d)中規(guī)定一種可比較關(guān)系如下:

定理3 在定理1中, 對于g和T的任意兩個耦合重合點(x*,y*)和(z*,t*), 都能找到(u*,v*)∈X×X, 使得(gu*,gv*)分別和(gx*,gy*),(gz*,gt*)滿足以上可比較關(guān)系, 這時, g和T有唯一的耦合重合點和唯一的耦合公共不動點.

證明 由定理1可知, g,T至少存在一個耦合重合點. 設(shè)(x,y)和(z,t)是g,T任意兩個耦合重合點, 即T(x,y)=gx,T(y,x)=gy和T(z,t)=gz,T(t,z)=gt. 現(xiàn)證(gx,gy)=(gz,gt).

由于?(u,v)∈(X×X), 使得(gu,gv)分別和(gx,gy),(gt,gz)滿足以上可比較關(guān)系.

情況1 當(dāng)可比較關(guān)系為

(gx,gy)?(gu,gv),(gt,gz)?(gu,gv).

(26)

令u0=u,v0=v,則?(u1,v1)∈X×X, 使得gu1=T(u0,v0),gv1=T(v0,u0).依次類推, 會得到兩個數(shù)列{gun}和{gvn}分別為gun+1=T(un,vn),gvn+1=T(vn,un),n=1,2,3,….令

x0=x,y0=y，z0=z,t0=t.

(27)

同樣道理, 可以得到數(shù)列{gxn},{gyn}和{gzn},{gtn}分別為

gxn+1=T(xn,yn),gyn+1=T(yn,xn),n=0,1,2,….

gzn+1=T(zn,tn),gtn+1=T(tn,zn),n=0,1,2,….

由于(x,y)是g,T的耦合重合點, 則有

gx1=T(x0,y0)=T(x,y)=gx=gx0,gy1=T(y0,x0)=T(y,x)=gy=gy0；

gx2=T(x1,y1)=T(x0,y0)=gx1,gy2=T(y1,x1)=T(y0,x0)=gy1.

依次類推可知gx0=gx1=…=gxn=…,gy0=gy1=…=gyn=…. 即

gxn=gx,gyn=gy,?n=0,1,2,….

(28)

相同道理可知

gzn=gz,gtn=gt,?n=0,1,2,….

(29)

由于式(26)和(27)可整理為

(gx0,g0)?(gu0,gv0),(gt0,gz0)?(gu0,gv0).

又T具有混合g-單調(diào)性, 所以

即(gx1,gy1)?(gu1,gv1).同樣道理, 有(gx2,gy2)?(gu2,gv2). 這樣繼續(xù)做下去, 可得

(gxn,gyn)?(gun,gvn),n=0,1,2,….

類似方法,可得

(gtn,gzn)?(gun,gvn),n=0,1,2,….

結(jié)合式(28)和(29)可得

(gx,gy)?(gun,gvn),(gt,gz)?(gun,gvn).

由式(1)得到

ψ(d(gx,gun+1,a))=ψ(d(T(x,y),T(un,vn,a))≤

ψ(M(x,y,un,vn))-φ(M(x,y,un,vn))+Mθ(N(x,y,un,vn)).

(30)

其中

M(x,y,un, vn)=

N(x,y,un,vn)=

于是式(30)整理為

ψ(d(gx,gun+1,a))≤

(31)

同理可得

ψ(d(gy,gvn+1,a))≤

(32)

現(xiàn)令

(33)

聯(lián)立式(31)—(33), 又由max{ψ(a),ψ(b)}=ψ(max{a,b}),?a,b∈[0,+), 得到

(34)

設(shè)γn<γn+1.γn+1>0(否則γn<0 , 出現(xiàn)矛盾).

此時式(34)可整理為

ψ(γn+1)≤ψ(γn+1)-φ(γn+1)<ψ(γn+1).

進而可知

(35)

同樣道理可證得

(36)

由式(35)和(36)得到

即(gx,gy)=(gz,gt). 所以g和T具有唯一的耦合重合點. 又因為g和T具有可交換性, 得到

g(gx)=g(T(x,y))=T(gx,gy),g(gy)=g(T(y,x))=T(gx,gy).

(37)

由于?m,n∈X, 使得gx=m,gy=n, 那么式(37)可整理為

gm=T(m,n),gn=T(n,m).

(38)

因此(m,n)也是g和T的一個耦合重合點, 由耦合重合點的唯一性知gm=gx=m,gn=gy=n. 又由式(38)可得m=gm=T(m,n),n=gn=T(n,m).即證得g和T有耦合公共不動點. 由于g和T的耦合重合點具有唯一性, 因此g和T的耦合公共不動點也具有唯一性.

情況2 當(dāng)可比較關(guān)系為(gu,gv)?(gx,gy),(gt,gz)?(gu,gv).

情況3 當(dāng)可比較關(guān)系為(gx,gy)?(gu,gv),(gu,gv)?(gt,gz).

情況4 當(dāng)可比較關(guān)系為(gu,gv)?(gx,gy),(gu,gv)?(gt,gz).

同情況1的證明方法類似, 上述3種情況同樣也能證得g和T的耦合公共不動點也具有唯一性.

[1]GHERS.2-metrischeR?umeundihretopogischeStruktur[J].MathNachr,1963,26(1/2/3/4):115-148.

[2]ISéKIK.Fixedpointtheoremsin2-mericspaces[J].MathSeminarNotes,KobeUniv,1975,3(1):133-136.

[3]DESHPANDEB,CHOUHANS.Commonfixedpointtheoremsforhybridpairsofmappingswithsomeweakerconditionsin2-mericspaces[J].FascMath,2011,46:37-55.

[4]ALIOUCHEA,SIMPSONC.Fixedpointsandlinesin2-metricspaces[J].AdvMath,2012,229(1):668-690.

[5]LAHIRIBK,DASP,DEYLK.Cantor’stheoremin2-metricspacesanditsapplicationstofixedpointproblems[J].TaiwanJMath,2011,15(1):337-352.

[6]LIUZQ,ZHANGF.Characterizationsofcommonfixedpointsin2-metricspace[J].RostockMathKolloq,2001,55(1):49-64.

[7]DUBEYRP.Somefixedpointtheoremsonexpansionmappingsin2-metricspaces[J].PureApplMathSci,1990,32(1):33-37.

[8] 張石生.不動點理論及其應(yīng)用[M].重慶:重慶出版社,1984.

[9]BHASKARTG,LAKSHMIKANTHAMV.Fixedpointtheoremsinpartiallyorderedmetricspacesandapplications[J].NonlinearAnal,2006,65(7):1379-1393.

[10]CHOUDHURYBS,MAITYP.Coupledfixedpointresultsingeneraliaedmetricspaces[J].MathComputModelling,2011,54(1/2):73-79.

[11]LAKSHMIKANTHAMV,IRIL.Coupledfixedpointtheoremsfornonlinearcontractionsinpartiallyorderedmetricspaces[J].NonlinearAnal, 2009, 70(12):4341-4349.

[12]BERINDEV,BORCUTM.Tripledfixedpointtheoremsforcontractivetypemappingsinpartiallyorderedmetricspaces[J].NonlinearAnal, 2011,74(15):4889-4897.

[13] 谷峰.不動點定理與非線性算子迭代序列的收斂性[M].哈爾濱：黑龍江科技出版社,2002.

A Common Fixed Point Theorem of (ψ,φ,θ)-contractive Mappings in 2-metric Spaces

LIU Liya，GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In complete 2-metric spaces, by discussing a class of (ψ,φ,θ)-contractive condition, the existence and the uniqueness of the coupled coincidence point and coupled common fixed point were studied, then a new common coupled fixed point theorem was obtained, which improved the corresponding results in some references.

complete 2-metric space; (ψ,φ,θ)-contractive mappings; coupled coincidence point; coupled common fixed point; mixedg-monotone property

2016-06-04

國家自然科學(xué)基金項目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金項目(Y6110287).

谷 峰(1960—), 男,教授, 主要從事非線性泛函分析及應(yīng)用研究. E-mail：gufeng99@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.04.013

O177.91 MSC(2010)：47H10； 54H25

A

1674-232X(2017)04-0416-08