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        投影法求異面直線夾角

        2017-09-03 09:36:46王寒山
        數(shù)理化解題研究 2017年19期
        關(guān)鍵詞:異面成角余弦

        王寒山

        (上海市向明中學(xué),上海 200020)

        投影法求異面直線夾角

        王寒山

        (上海市向明中學(xué),上海 200020)

        在學(xué)習(xí)異面直線夾角時,有同學(xué)提出問題“已知兩異面直線在同一平面內(nèi)的投影垂直,那么是否可以很快算出來異面直線所成角?”.筆者研究了如何利用兩異面直線在同一平面內(nèi)攝影的夾角,來計算兩異面直線夾角問題,得到了一個有趣的公式.

        投影;平面;直線

        首先我們先來介紹一下三面角O-ABC的余弦公式(圖1),此處不做證明:cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC+cosθsin∠AOBsin∠AOC,其中θ為二面角C-OA-B的平面角.

        我們把兩異面直線平移到同一個點(diǎn) ,得到如圖2形狀,其中異面直線所成角是∠AOB=θ,OC,OD分別是OA,OB在平面內(nèi)的投影線,其有向角(與角∠AOB開口同向)為∠COD=α(0≤α≤π),此時面AOC⊥面DOC,面BOD⊥面DOC.令OB,OA與平面所成的線面角為∠BOD=θ1,∠AOC=θ2,過B作BD⊥OD于點(diǎn)D,過D作DC⊥OC于點(diǎn)C,連接BC.

        特別地,①當(dāng)兩直線投影相互垂直時,兩異面直線的夾角的余弦值cosθ=sinθ1·sinθ2.②當(dāng)OA與OC重合時,就是我們非常熟悉的cosθ=cosα·cosθ1.③當(dāng)OA與OC重合并且OB與OD重合時,就是我們常用的平移法cosθ=cosα.④當(dāng)OC變?yōu)橐粋€點(diǎn)時,也就是OA⊥面COD,此時cosθ=sinθ2,這是顯然結(jié)論.

        由此可見該公式包含了我們所有常見的求異面直線夾角的方法.

        下面我們來看幾個例題,對此結(jié)論加以熟悉和應(yīng)用:

        例1 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn),求異面直線AM與CN所成角的余弦值.

        分析與解答 我們?nèi)∶鍭C作為投影面,并且平移直線到面的同側(cè),容易知道AM,CN的射影

        例3 如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,BE=EB1且CF=2FD.求異面直線AE與D1F所成的角的余弦值.

        評析 本題若是平移到面AC異側(cè),得到的答案余弦值是一個負(fù)值,與異面直線所成角的范圍矛盾.

        例4 長方體ABCD-A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求異面直線B1D與BC1所成角的大小.

        例題中的解法是從本文的結(jié)論出發(fā),通過在同一個面內(nèi)的投影進(jìn)行求解的.我們常見的求異面直線所成的角作法有:①平移法:在異面直線的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”,作另一條直線的平行線,常用中位線;②建系法:建立合適的空間直角坐標(biāo)系,把問題轉(zhuǎn)化為空間向量夾角問題,用向量的運(yùn)算解決問題. 以上4個例題都可以通過這兩種常用方法解決,讀者可以自己嘗試.

        練習(xí):

        1.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是A1D1的中點(diǎn).求直線AE和BA1所成的角的余弦值.

        2.如圖,四面體A-BCD中,E為AD的中點(diǎn),AC=CD=DA=8,AB=BD=5,BC=7.求異面直線BE與CD所成的角的余弦值.

        [1]劉詩雄.金牌之路競賽輔導(dǎo)[M].陜西:陜西師范大學(xué)出版社,2003.

        [2]唐立華.命題人講座——向量與立體幾何[M].上海:上??茖W(xué)教育出版社,2010.

        [責(zé)任編輯:楊惠民]

        2017-05-01

        王寒山(1983.11-),男,河北,漢,碩士,中學(xué)二級,研究方向:高中數(shù)學(xué).

        G632

        B

        1008-0333(2017)19-0023-02

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