王寒山

(上海市向明中學(xué),上海 200020)

投影法求異面直線夾角

王寒山

(上海市向明中學(xué),上海 200020)

在學(xué)習(xí)異面直線夾角時，有同學(xué)提出問題“已知兩異面直線在同一平面內(nèi)的投影垂直，那么是否可以很快算出來異面直線所成角？”．筆者研究了如何利用兩異面直線在同一平面內(nèi)攝影的夾角，來計算兩異面直線夾角問題，得到了一個有趣的公式．

投影；平面；直線

首先我們先來介紹一下三面角O-ABC的余弦公式(圖1),此處不做證明：cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC+cosθsin∠AOBsin∠AOC,其中θ為二面角C-OA-B的平面角.

我們把兩異面直線平移到同一個點(diǎn) ，得到如圖2形狀，其中異面直線所成角是∠AOB=θ,OC，OD分別是OA,OB在平面內(nèi)的投影線，其有向角(與角∠AOB開口同向)為∠COD=α(0≤α≤π)，此時面AOC⊥面DOC,面BOD⊥面DOC.令OB,OA與平面所成的線面角為∠BOD=θ1,∠AOC=θ2,過B作BD⊥OD于點(diǎn)D，過D作DC⊥OC于點(diǎn)C，連接BC.

特別地，①當(dāng)兩直線投影相互垂直時，兩異面直線的夾角的余弦值cosθ=sinθ1·sinθ2.②當(dāng)OA與OC重合時，就是我們非常熟悉的cosθ=cosα·cosθ1.③當(dāng)OA與OC重合并且OB與OD重合時，就是我們常用的平移法cosθ=cosα.④當(dāng)OC變?yōu)橐粋€點(diǎn)時，也就是OA⊥面COD，此時cosθ=sinθ2，這是顯然結(jié)論.

由此可見該公式包含了我們所有常見的求異面直線夾角的方法.

下面我們來看幾個例題，對此結(jié)論加以熟悉和應(yīng)用:

例1 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，求異面直線AM與CN所成角的余弦值.

分析與解答 我們?nèi)∶鍭C作為投影面，并且平移直線到面的同側(cè)，容易知道AM,CN的射影

例3 如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，BE=EB1且CF=2FD．求異面直線AE與D1F所成的角的余弦值.

評析 本題若是平移到面AC異側(cè)，得到的答案余弦值是一個負(fù)值，與異面直線所成角的范圍矛盾.

例4 長方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=BC=3,AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小.

例題中的解法是從本文的結(jié)論出發(fā)，通過在同一個面內(nèi)的投影進(jìn)行求解的.我們常見的求異面直線所成的角作法有：①平移法：在異面直線的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，常用中位線；②建系法：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，把問題轉(zhuǎn)化為空間向量夾角問題，用向量的運(yùn)算解決問題. 以上4個例題都可以通過這兩種常用方法解決，讀者可以自己嘗試.

練習(xí):

1.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D1的中點(diǎn).求直線AE和BA1所成的角的余弦值.

2.如圖，四面體A-BCD中，E為AD的中點(diǎn)，AC=CD=DA=8，AB=BD=5,BC=7．求異面直線BE與CD所成的角的余弦值．

[1]劉詩雄.金牌之路競賽輔導(dǎo)[M].陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2003.

[2]唐立華.命題人講座——向量與立體幾何[M].上海：上?？茖W(xué)教育出版社，2010.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王寒山(1983.11-),男，河北，漢，碩士，中學(xué)二級，研究方向：高中數(shù)學(xué)．

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