吉繆明

(無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué),江蘇 無(wú)錫 214000)

高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧

吉繆明

(無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué),江蘇 無(wú)錫 214000)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)之一，作為需要空間思維的立體幾何，我們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)、處理及選擇正確思維方法直接決定了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和應(yīng)用水平.本文中筆者基于自身多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)分析了立體幾何解決技巧，以供同仁參考.

立體幾何;解題;技巧

立體幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)試卷中的一大難點(diǎn)，在高考試卷中占有較大比重的分值.在一般的練習(xí)或者考試中，由于立體幾何知識(shí)本身的特殊性、多變性以及學(xué)生自身數(shù)學(xué)邏輯的不足性，解決題目方法的單一性，最終導(dǎo)致學(xué)生在解決題目時(shí)出現(xiàn)大量的錯(cuò)誤，失去了很高的分值.其實(shí)針對(duì)立體幾何的相關(guān)習(xí)題，不是一味的枯燥的計(jì)算，立體幾何也有其相關(guān)的解題技巧和解題方法.

一、借助輔助，實(shí)現(xiàn)題目簡(jiǎn)單化

構(gòu)造輔助線是在立體幾何中常會(huì)出現(xiàn)的解題方法，也是最有效、最簡(jiǎn)便的一種解題方法.通過(guò)構(gòu)造輔助線，可以使原來(lái)的立體幾何的圖形變得更加清晰，更加條理分明，題目的解決相較來(lái)說(shuō)也會(huì)更加的容易.

例如，如右圖所示，有一二面角α-l-β，其中A、B∈α,D∈l，P∈β，PA⊥α，且PA=PD，ABCD是一個(gè)矩形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，證明：MN是異面直線AB和PC的公垂線.

分析 對(duì)于這道題目，看到題目的已知后，我們就能夠知道僅靠題目的已知是無(wú)法進(jìn)行結(jié)論的證明的，要想實(shí)現(xiàn)結(jié)論的證明，就必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助輔助線，實(shí)現(xiàn)結(jié)論的證明.根據(jù)題目給出的已知：M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，我們可以考慮“利用中點(diǎn)，連接中位線”的方法實(shí)現(xiàn)證明.針對(duì)這道題目，我們就可以選取PD的中點(diǎn)Q(如圖所示)，然后連接QN、QA，于是QN就是三角形的中位線，由題目給出的已知，得出AM∥DC，于是接下來(lái)就可以根據(jù)題目的已知進(jìn)一步地實(shí)現(xiàn)題目的證明.通過(guò)已知，加上輔助線實(shí)現(xiàn)題目的最終證明，這樣的解題技巧是我們應(yīng)當(dāng)掌握的.

二、轉(zhuǎn)換觀念，實(shí)現(xiàn)解題快速化

針對(duì)立體幾何來(lái)說(shuō)，對(duì)于其中的一些特殊的問(wèn)題，如求最值問(wèn)題或者運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題等，可以通過(guò)轉(zhuǎn)換思想觀念的方法實(shí)現(xiàn)題目的解決.

例如，如圖所示，有一正方體ABCD——A′B′C′D′，其棱長(zhǎng)為2，已知長(zhǎng)度為2的線段PQ滿足：P在正方體的AA′棱上，Q在面A′B′C′D′內(nèi)，那么問(wèn)PQ的中點(diǎn)M的軌跡的面積是多少？

分析 針對(duì)這道題，這是一道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，我們要抓住問(wèn)題的關(guān)鍵和題目的已知，仔細(xì)的進(jìn)行分析，對(duì)于題目中給出的已知“P在正方體的AA′棱上，Q在面內(nèi)”我們可以分析出無(wú)論線段PQ在什么位置，都有PA′⊥A′Q，然后再根據(jù)三角形的性質(zhì)“斜邊上的中線等于斜邊的一半”就可以實(shí)現(xiàn)全部已知條件的利用，于是接下來(lái)的題目的解決就變得簡(jiǎn)單了.在這道題目中，我們通過(guò)將題目中PQ=2的這一定長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為了MA=l的這一定長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)了題目的解決.在立體幾何中，經(jīng)常有多種類(lèi)似的問(wèn)題，我們只要掌握好轉(zhuǎn)換的思想，巧妙地應(yīng)用解題觀念的轉(zhuǎn)換，那么就可以顯著提高解題的速度.

三、巧設(shè)未知，實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)便化

針對(duì)立體幾何的計(jì)算，有一個(gè)實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)便化的方法，就是根據(jù)題目設(shè)置未知數(shù)，然后利用未知數(shù)構(gòu)建相關(guān)的算式與方程，最終通過(guò)未知數(shù)使得計(jì)算方法能夠進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終實(shí)現(xiàn)題目的具體解決.

例如，如圖所示，有一個(gè)正四棱臺(tái)，其上、下底面面積分別為Q1,Q2，側(cè)面積是Q，試求其中一個(gè)對(duì)角面的面積.

分析 對(duì)于這道題，題目中給出的已知非常的少，只有三個(gè)計(jì)算的數(shù)據(jù)，但是要求解其中的一個(gè)對(duì)角面，需要的條件比較多，如何才能夠簡(jiǎn)單的進(jìn)行計(jì)算呢？這時(shí)，就可以采用“設(shè)而不求”的計(jì)算方法，通過(guò)在題目中構(gòu)造參數(shù)，然后實(shí)現(xiàn)題目的求解.我們可以設(shè)出需要的已知量，設(shè)上下底面的邊長(zhǎng)分別為a，b，斜高是l，棱臺(tái)的高是h，于是對(duì)角面的計(jì)算應(yīng)該是：

總而言之，針對(duì)立體幾何的解題來(lái)說(shuō)，我們面對(duì)題目時(shí)應(yīng)當(dāng)不慌不忙，不驕不躁，靜下心來(lái)仔細(xì)地讀每一道習(xí)題，認(rèn)真審題，找出題目中給出的已知，認(rèn)真地進(jìn)行分析，選擇合適的解題方法技巧：設(shè)而不求，做輔助線，轉(zhuǎn)換思想等，最終實(shí)現(xiàn)題目的輕松解決.

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[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-06-01

吉繆明(1978-)男,江蘇無(wú)錫人,本科,中學(xué)一級(jí),主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

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