劉名權(quán)

(朝陽師范高等?？茖W校，遼寧朝陽122000)

【基礎理論研究】

在加強改進演化方程方法下的(1+1)-維組合KdV-mKdV方程的精確解

劉名權(quán)

(朝陽師范高等?？茖W校，遼寧朝陽122000)

為了求解更高維數(shù)的發(fā)展方程，使用加強改進演化方程的方法來構(gòu)造非線性發(fā)展方程的變系數(shù)精確解，并使用這種方法獲得了(1+1)-維組合KdV-mKdV方程的精確解，并且從精確解中得到了類孤波解與孤波解．結(jié)果表明，在數(shù)學物理領域中，使用加強改進演化方程的方法是求解非線性發(fā)展方程精確解的有力工具．

加強改進演化方程的方法；非線性發(fā)展方程；精確解；類孤波解；孤波解

0 引言

非線性發(fā)展方程的精確解在眾多物理現(xiàn)象中扮演著重要角色，例如流體力學、光學、離子物理等．近些年來，許多有效的求解方法都已經(jīng)被用來獲得非線性發(fā)展方程的精確解，例如：Hirota雙線性法[1]、擴展的Riccati方程法[2]、單一代數(shù)法[3]、改進G′/G法[4]、指數(shù)函數(shù)法[5]、齊次平衡法[6]、Darboux變換法[7、8]、Painleve檢驗法[9]和加強改進演化方程法[10～12]等．這些方法已經(jīng)得到了許多(1+1)-維非線性發(fā)展方程的精確解，當這些精確解[10～12]存在時，滿足如下形式

(1)

其中，Ak是常系數(shù)，Ψ(ζ)是未知待定函數(shù)．

然而，對于(1+1)-維非線性常系數(shù)方程很難找到變系數(shù)精確解，本文利用加強改進演化方程的方法得到一個常系數(shù)非線性微分方程的變系數(shù)精確解，且解的形式如下：

(2)

其中Ak(t)是t的函數(shù)，Ak(t)與Ψ(ζ)是未知待定函數(shù)，且AN(t)≠0．

受文獻10～12的啟發(fā)，作為這種方法的應用本文將對(1+1)-維非線性發(fā)展方程求變系數(shù)精確解．

1 加強改進演化方程法

假設有如下形式的非線性發(fā)展方程

F(u,ut,ux,uxx,…)=0

(3)

其中F是關于u及u的偏導數(shù)的多項式，且包含它的最高階導數(shù)和非線性項．下面給出該方法的主要步驟：

步驟1 利用廣義變換

u(x,t)=u(ζ)，ζ=p(t)x+q(t)

(4)

其中，p(t)和q(t)是關于t的可微函數(shù)，由(3)、(4)我們有如下常微分方程

(5)

其中·≡d/dt,′≡d/dζ．

步驟2 我們假設方程(5)有如下形式的解

(6)

其中Ak(t)是t的函數(shù)，Ak(t)與Ψ(ζ)是未知待定函數(shù)，且Ak(t)≠0．

步驟3 在方程(5)中使用齊次平衡法來確定方程(6)中的正整數(shù)N．

步驟4 我們將(6)式帶到(5)式中，通過計算得到未知函數(shù)u(ζ)的各階導數(shù)以及函數(shù)Ψ(ζ)，通過這種帶入我們可以得到關于Ψ-n，Ψ-nx，Ψ-nx2，…，n=0,1,2，…的多項式，并令該多項式的所有系數(shù)為0，通過該方法得到的方程組可以確定Ak(t)和Ψ(ζ)，最后我們可以得到方程(3)的精確解．

2 主要結(jié)果

在這部分中，我們使用加強改進演化方程的方法來找到以下非線性發(fā)展方程的精確解、類孤波解和孤波解．

(1+1)-維組合KdV-mKdV方程

ut+(α+βu)uux+γuxxx=0

(7)

其中α、β、γ是非零常數(shù)，并且βγ<0．

方程(7)已經(jīng)利用改進映射法[13]，Jacobi-elliptic函數(shù)法[14～16]討論過，下面我們將使用加強改進演化方程的方法來研究方程(7)．

首先我們使用廣義變換(4)將方程(7)化簡為如下常微分方程

(8)

關于ζ對方程(8)進行積分，并讓所有積分常數(shù)為0，進而得到如下常微分方程

(9)

平衡u3和un項可以得到N=1，因此方程(9)有如下形式解

(10)

其中A0(t)和A(t)是關于t的函數(shù)，由此可知A1(t)≠0，我們很容易得到:

(11)

(12)

將(10)～(12)式代入(9)式中，并且讓Ψ0、Ψ0x、Ψ-1、Ψ-1x、Ψ-2和Ψ-3項的系數(shù)為0，相應得到

(13)

(14)

(15)

(16)

3p(t)A1(t)[αA1(t)Ψ′2+2βA0(t)A1(t)Ψ′2-6γp2(t)Ψ′Ψ″]=0

(17)

(18)

由方程(13)、(14)、(16)、(18)得

(19)

(20)

其中，k為可積常數(shù)，且βγ<0．

接下來我們討論如下兩種情形：

情形一.如果A0(t)=0．

在這種情況下，方程(15)和(17)可以化簡為

(21)

αΑ1Ψ′-6γk2Ψ″=0

(22)

方程(22)可以得到

(23)

由方程(21)、(23)有

(24)

將方程(24)對ζ積分可有

(25)

最后可得到

(26)

(27)

其中，C1(t)、C2(t)和q(t)是t的任意函數(shù)，那么方程(7)有如下形式的精確解

(28)

(29)

(30)

若在方程(29)和(30)中，令q(t)=at+b,那么可以得到如下形式的行波解：

(31)

(32)

其中a、b是常系數(shù)．

在這種情形下，方程(15)和(17)可以簡化為：

(33)

αA1Ψ′+2βA0(t)A1Ψ′-6λk2Ψ″=0

(34)

由方程(34)給出：

(35)

其中G1(t)=A1[α+2βA0(t)]．

將(35)式代入(33)式中，可以得到

(36)

其中H1(t)=A0(t)[3α+4βA0(t)]．

將方程(36)關于ζ積分有

(37)

由(35)和(37)有

(38)

然后有

(39)

其中，C1(t)、C2(t)和q(t)是t的任意函數(shù)，那么方程(7)有如下形式的精確解

(40)

(41)

(42)

若在方程(41)和(42)中，令q(t)=at+b，那么可以得到如下形式的孤波解：

(43)

(44)

其中，a、b是任意常系數(shù)且

H1(t)=A0[3α+4βΑ0]=H1,

G1(t)=A1[α+2βA0]=G1．

3 結(jié)論

本文利用了加強改進演化方程的方法找到了(1+1)-維組合KdV-mKdV方程的變系數(shù)精確解，并且從精確解中得到了該方程的類孤波解和孤波解．可以看出,加強改進演化方程的方法直接有效，并且可以應用到一些其他的非線性發(fā)展方程中．

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(審稿人 王艷華 朱維佳，責任編輯 于 海)

Exact solution of (1+1)-D-Combination KdV-mKdV equation under the method of strengthening and improving the evolution equation

LIU Ming-quan

(Chaoyang Teachers College,Chaoyang Liaoning 122000)

To solve the evolution equation of higher dimension, the method of strengthening and improving evolution equation has been used to obtain the exact solutions of variable coefficient of nonlinear evolution equations, which can be further utilized to obtain the exact solution of (1+1)-D-Combination KdV-mKdV equations from which solitary-like solution and soliton solution can be resolved. The results showed that the method of strengthening and improving the evolution equation is a validate method to solve the exact solutions of nonlinear evolution equations in the field of mathematic and physics.

the method of strengthening and improving evolution equation; nonlinear evolution equations;exact solutions; solitary-like solution;soliton solution

2016—10—10

劉名權(quán)(1965-)，男(蒙古族)，遼寧朝陽縣人，講師，主要從事運籌學、圖論等方面研究．

O175.2

A

1008-5688(2017)01-0001-05