力學(xué)壓軸題的多解分析及教學(xué)啟示
——以2016年高考全國(guó)Ⅰ卷第25題為例

陳 翠 肖 洋 熊建文

對(duì)2016年高考全國(guó)Ⅰ卷物理第25題中彈性勢(shì)能的求解進(jìn)行了詳細(xì)分析并給出了多種解法，突出了物理過程模型在解決物理問題中的重要作用．提出一線教師應(yīng)注重模型教學(xué)，讓學(xué)生透徹理解物理概念，學(xué)會(huì)分析物理情境以正確建立物理過程模型，從而減輕學(xué)生認(rèn)知負(fù)擔(dān)，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)．

2016高考 物理過程模型 建模教學(xué)

2016年高考全國(guó)理綜Ⅰ卷物理試題充分體現(xiàn)了以主干知識(shí)與核心概念為載體[1]，緊密聯(lián)系由課程標(biāo)準(zhǔn)和教材轉(zhuǎn)向課堂教學(xué)的課改焦點(diǎn)[2]，著重考査了學(xué)生的物理學(xué)科素養(yǎng)，尤其注重考查學(xué)生的綜合分析和解決物理問題能力．其中，第25題作為力學(xué)綜合壓軸題，將斜面、彈簧及圓弧軌道等傳統(tǒng)實(shí)物材料[2]進(jìn)行組合并創(chuàng)設(shè)出新的物理情境，在體現(xiàn)物理與科學(xué)、生活及社會(huì)密切聯(lián)系的同時(shí)，凸顯了物理過程模型在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用．

物理過程模型是指在物體運(yùn)動(dòng)變化過程中根據(jù)研究問題的性質(zhì)和需要，在包含多種復(fù)雜因素的物理過程中抓住主要因素、忽略次要因素而建立的能夠揭示事物本質(zhì)的理想過程[3]．其作為物理學(xué)的核心內(nèi)容，充分體現(xiàn)物理科學(xué)核心素養(yǎng)，學(xué)生經(jīng)歷物理模型的建構(gòu)過程，可獲得對(duì)知識(shí)深刻而全面的理解并發(fā)展自己的模型建構(gòu)能力[4]．2014年全國(guó)卷、2015年全國(guó)卷和2016年上海卷的力學(xué)壓軸題分別以剎車情境、碰撞和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)為載體考查了勻變速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)等重要物理過程模型，2016年全國(guó)卷又深入考查了勻變速直線運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，可見能充分反映物理核心知識(shí)點(diǎn)的物理過程模型在教學(xué)中已愈顯重要．因此，能否有效地理解命題者所建立的模型是正確解題的關(guān)鍵．基于利用模型研究物理問題的建模教學(xué)已成為一線教師進(jìn)行課堂教學(xué)創(chuàng)新的入手點(diǎn)，對(duì)高中物理教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用．

下面將從不同思維分析過程出發(fā)，對(duì)2016年全國(guó)Ⅰ卷第25題第(2)問進(jìn)行詳細(xì)剖析，突出物理過程模型在求解彈簧彈性勢(shì)能的重要作用，希望對(duì)一線教學(xué)有一定的啟示．

1 試題呈現(xiàn)

(1)求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大??；

(2)求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；

圖1 原圖

2 試題解析

彈簧是中學(xué)物理中常見的研究對(duì)象，彈簧問題往往與高中物理的核心規(guī)律——牛頓運(yùn)動(dòng)定理、能量的轉(zhuǎn)化與守恒規(guī)律以及彈力規(guī)律密切相關(guān)，從而成為高中物理教學(xué)的重點(diǎn)[5]．

第(2)問首先考查學(xué)生對(duì)常見的臨界狀態(tài)——彈性勢(shì)能最大位置的判斷，更重要的是考察學(xué)生選取過程模型的能力．求解物塊P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)(彈簧的壓縮量達(dá)到最大)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能的大小，首先明晰P沿斜面下滑并壓縮彈簧至最低點(diǎn)的“下滑過程”與彈簧回復(fù)時(shí)物塊P沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的“上滑過程”中經(jīng)過的位置關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而明確這些關(guān)鍵點(diǎn)的特點(diǎn)和所處狀態(tài)，構(gòu)建合適的物理過程模型，最后利用動(dòng)能定理進(jìn)行求解．

物塊P由C點(diǎn)沿斜面靜止釋放的“下滑過程”中，先經(jīng)過F點(diǎn)后到達(dá)B點(diǎn)，再壓縮彈簧使其壓縮量最大時(shí)至E點(diǎn)；再由E點(diǎn)被彈回的“上滑過程”中先經(jīng)過B點(diǎn)，最高至F點(diǎn)．在下滑和上滑的兩個(gè)過程中，位置關(guān)鍵點(diǎn)分別是：C，F(xiàn)，B，E點(diǎn)．選擇不同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，構(gòu)建4種物理過程模型．每種模型最終可整合為物塊運(yùn)功路徑的“全過程”、“下滑過程”和“上滑過程”，詳細(xì)物理過程模型分類如圖2所示．

圖2 物理過程模型分類

下面將對(duì)各個(gè)過程模型進(jìn)行詳細(xì)論述．

2.1 過程模型1：B點(diǎn)開始，F(xiàn)點(diǎn)結(jié)束

承接第(1)問，按物理過程發(fā)生的順序建構(gòu)過程模型1．

物塊P以速度vB從B點(diǎn)開始?jí)嚎s彈簧至E點(diǎn)達(dá)到其最大壓縮量(設(shè)BE=x)的下滑過程中，重力做正功，彈力和摩擦力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加；隨后彈簧回復(fù)原長(zhǎng)，P由E點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的上滑過程中，彈力做正功，彈性勢(shì)能減小，摩擦力和重力做負(fù)功；當(dāng)彈簧回復(fù)原長(zhǎng)后，P再沿軌道由B點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)F，摩擦力和重力繼續(xù)做負(fù)功．而P在由B點(diǎn)至E點(diǎn)，再由E點(diǎn)至F點(diǎn)的全過程中，彈力做功之和為零．

由幾何關(guān)系知

BF=AF-AB=2R

解法1：下滑過程(BE段)和上滑過程(EF段)，利用動(dòng)能定理，得

下滑過程

mgxsin 37°-μmgxcos 37°-Ep=

(1)

上滑過程

Ep-mg(x+2R)sin 37°-

μmg(x+2R)cos 37°=0

(2)

已知

聯(lián)立式(1)、(2)，解得

x=R

解法2：全過程，利用動(dòng)能定理

-mg2Rsin 37°-(2x+2R)μmgcos 37°=

2.2 過程模型2：C點(diǎn)開始，F(xiàn)點(diǎn)結(jié)束

由于物塊P從C點(diǎn)沿斜面靜止下滑接觸彈簧后最終上滑至最高F點(diǎn)，在這兩點(diǎn)的動(dòng)能均為零，可將第(1)問求解的速度vB作為中間量不參與運(yùn)算來建立過程模型2．

P由從C點(diǎn)至E點(diǎn)的下滑過程中，重力做正功，彈力和摩擦力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加；由E點(diǎn)至F點(diǎn)

的上滑過程分析與過程模型1的分析相同；全過程中，彈力做功之和為零．

解法1：下滑過程(CE段)和上滑過程(EF段)，利用動(dòng)能定理，得

下滑過程

mg(x+5R)sin 37°-

μmg(x+5R)cos 37°-Ep=0

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)，解得

同時(shí)，將過程模型1中的解法2解得的x=R代入式(3)也可得

解法2：全過程，利用動(dòng)能定理

mg(7R-4R)sin 37°-

μmg(7R+2x)cos 37°=0

(4)

直接解得x=R，將其分別代入式(1)或(2)或(3)，均解得

也可選取物塊在下滑過程和上升過程經(jīng)過的同一點(diǎn)——B點(diǎn)或F點(diǎn)為研究起點(diǎn)和終點(diǎn)，對(duì)物體在斜面運(yùn)動(dòng)的過程采用對(duì)稱的物理思想來分析．

2.3 過程模型3：B點(diǎn)開始，B點(diǎn)結(jié)束

B點(diǎn)恰好是物塊P接觸和離開彈簧的位置，均具有速度，而此時(shí)彈簧正好處于原長(zhǎng)狀態(tài)，其Ep=0．抓住B點(diǎn)，對(duì)其深入研究來建立過程模型3．

P由B點(diǎn)至E點(diǎn)的下滑過程與E點(diǎn)至B點(diǎn)的上滑過程的分析與過程模型1相同．而在全過程中，彈力、重力做功之和均為零．

此時(shí)，分兩步求解．

第一步：求P在上滑過程中經(jīng)過B點(diǎn)的速度vB2．

P在合外力(受力分析示意圖如圖3所示)的作用下，以初速度vB2由B點(diǎn)沿斜面勻減速直線至F點(diǎn)，位移BF=AF-AB=2R．

圖3 上滑時(shí)P的受力分析示意圖

P由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

(-mgsin 37°-μmgcos 37°)×2R=

解得

第二步：求解Ep．

解法1:下滑過程(BE段)和上滑過程(EB段)，利用動(dòng)能定理，得

上滑過程：

Ep-mgxsin 37°-μmgxcos 37°=

(5)

聯(lián)立式(1)、(5)，解得

x=R

解法2:全過程，利用動(dòng)能定理

解得x=R，將其分別代入式(1)或(5)，解得

2.4 過程模型4：F點(diǎn)開始，F(xiàn)點(diǎn)結(jié)束

F點(diǎn)是物塊P在上滑過程中被彈至斜面的最高點(diǎn)，在下滑過程中P在該點(diǎn)獲得速度vF．抓住F點(diǎn)，建立過程模型4．

P由F點(diǎn)至E點(diǎn)的下滑過程中，重力做正功，彈力和摩擦力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加；P由從E點(diǎn)至F點(diǎn)的上升過程的分析與過程模型2相同；在全過程中，重力、彈力做功之和均為零．

同樣，分兩步求解．

第一步：求P在下滑過程中在F點(diǎn)速度vF．

P在合外力(受力分析示意圖如圖4所示)作用下，由C點(diǎn)靜止沿斜面勻加速下滑運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，位移CF=AC-AF=3R．

圖4 上滑時(shí)P的受力分析示意圖

物塊P由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

可得

第二步：求解Ep．

解法1:下滑過程(FE段)和上滑過程(EF段)，利用動(dòng)能定理，得

下滑過程

mg(x+2R)sin 37°-

(6)

聯(lián)立式(2)、(6)，解得

解法2:全過程，利用動(dòng)能定理

直接解得

x=R

將x=R分別代入式(2)或(6)，解得

小結(jié)：在4個(gè)過程模型中，選取全過程可直接求得最大壓縮量x=R．因?yàn)樵谌^程中彈力做功之和為零，只需分析重力、摩擦力做功情況及動(dòng)能的變化量，做到化繁為簡(jiǎn)，最后利用動(dòng)能定理可直接求解x．再結(jié)合在該模型中的下滑過程或上滑過程，即可解得Ep．

利用過程模型3和過程模型4時(shí)，需計(jì)算物塊在上滑過程經(jīng)過B點(diǎn)及在下滑過程經(jīng)過F點(diǎn)的速度大小，雖然在一定程度上增加了計(jì)算量，但利用對(duì)稱思想建立過程模型抓住某一位置點(diǎn)，對(duì)其深入研究，可使研究過程明了．同時(shí)，選取具有特殊物理特點(diǎn)的始末態(tài)，剖析問題的物理本質(zhì)，使物理問題的解決更簡(jiǎn)捷．

可設(shè)AE=x，CE=x，EF=x(x并非彈簧的最大壓縮量)，利用以上方法求解Ep．

3 教學(xué)啟示

基于建構(gòu)主義的建模教學(xué)為改變學(xué)習(xí)者頭腦中的錯(cuò)誤概念進(jìn)而形成科學(xué)概念提供了有利的工具[6]，其有助于矯正傳統(tǒng)教學(xué)方法中的知識(shí)的零碎性和學(xué)生的被動(dòng)性的教學(xué)效果已得到很多研究的證實(shí)[4]，是當(dāng)前“科學(xué)探究”教學(xué)不可或缺的能力[7]．

建模教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜的物理情境中抽取出能描繪該情境的物理量，并找出這些物理量之間的正確聯(lián)系，建構(gòu)足以正確描述、解釋該情境的物理過程模型，促使學(xué)生頭腦中形成一種優(yōu)化的知識(shí)表征方式[8]，能使學(xué)習(xí)者在面對(duì)新問題情境時(shí)調(diào)用已有概念域中的相關(guān)概念成功解決物理問題[9]．在平時(shí)教與學(xué)的過程中，師生應(yīng)該重視從同一角度、同一層次、同一途徑分析不同的物理問題，重視從多側(cè)面、多層次、多途徑分析同一物理問題[10]，注意領(lǐng)會(huì)建立物理模型的思路和方法，使其成為學(xué)生知識(shí)新的增長(zhǎng)點(diǎn)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)自我生長(zhǎng)．同時(shí)，教師在協(xié)助或引導(dǎo)學(xué)生建立模型時(shí)，可以將模型分成數(shù)個(gè)較小模塊，一方面幫助自己設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和評(píng)價(jià)教學(xué)效果；另一方面讓學(xué)生先學(xué)習(xí)過程模型中的小模塊，減輕學(xué)生認(rèn)知負(fù)擔(dān)；最后再將各個(gè)小模塊的知識(shí)整合并發(fā)展出合適、有意義的模型，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)．

教師在利用建模教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多解的發(fā)散思維訓(xùn)練時(shí)應(yīng)使學(xué)生靈活掌握物理知識(shí)的縱橫聯(lián)系，注意培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性及綜合性．同時(shí)，應(yīng)將該訓(xùn)練盡量安排在學(xué)習(xí)某一章節(jié)或某模塊知識(shí)內(nèi)容后，有利于學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的深層次的理解和掌握．

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2017-03-14)