楊 潔

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院物理視覺(jué)工作室 浙江 湖州 313000)

雙電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡①*

楊 潔

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

姜付錦

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院物理視覺(jué)工作室 浙江 湖州 313000)

給出了質(zhì)量和電荷值相等的雙電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程，討論了運(yùn)動(dòng)守恒量和軌跡特性；數(shù)值求解方程，給出了軌跡封閉時(shí)軌跡曲線．

雙電荷 勻強(qiáng)磁場(chǎng) 軌跡

點(diǎn)電荷在勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，隨著初始條件的不同，軌跡可以為拋物線、螺旋線、擺線等[1，2]；作為推廣，我們考慮點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)復(fù)合電磁場(chǎng)中點(diǎn)電荷的軌跡問(wèn)題，分為三種模型．三種模型都是在起始時(shí)刻加上一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng), 磁場(chǎng)垂直于點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)平面. 第一種模型是一個(gè)負(fù)電荷固定，一個(gè)正電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加上勻強(qiáng)磁場(chǎng)后正電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡；第二個(gè)模型是自由異號(hào)雙電荷，起始靜止，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡；第三個(gè)是自由同號(hào)雙電荷，起始靜止，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡．

1 第一種模型對(duì)應(yīng)的電荷運(yùn)動(dòng)軌跡

設(shè)固定電荷電荷量為-q，運(yùn)動(dòng)電荷為+q，質(zhì)量為m，原先繞固定電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑是L．以加入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)刻記時(shí)，以固定電荷為原點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)電荷的位移為r，那么運(yùn)動(dòng)方程是

(1)

無(wú)論為了解析分析還是數(shù)值計(jì)算方便，要把以上方程量綱歸一化．設(shè)長(zhǎng)度量綱是L，時(shí)間量綱是T0，磁場(chǎng)量綱是B0．式(1)中的3項(xiàng)量綱相等，都是力的量綱，得到

(2)

由此得到

采用極坐標(biāo)，設(shè)磁場(chǎng)強(qiáng)度為B=kB0ez，其中k是磁場(chǎng)相對(duì)強(qiáng)度，即磁場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)量綱B0的比值．運(yùn)動(dòng)電荷位移為r=ρeρ.

(3)

把以上各式代入式(1)，得到量綱歸一化后的運(yùn)動(dòng)方程

(4)

(5)

(6)

(7)

這個(gè)守恒量其實(shí)就是量綱歸一化后的能量．式(6)中解出角速度的表達(dá)式，然后代入式(7)，化簡(jiǎn)得到

(8)

利用數(shù)學(xué)軟件分析發(fā)現(xiàn)，式(8)右邊有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)是ρ=1，還有一個(gè)就是矢徑極值．電荷從矢徑為1的地方運(yùn)動(dòng)到矢徑極值處，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到矢徑為1的地方，形成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期，這也為數(shù)值計(jì)算結(jié)果所驗(yàn)證．但是周期轉(zhuǎn)動(dòng)角不再是2π的有理數(shù)倍，一般不會(huì)返回到原處．

我們用數(shù)值求解式(4)和式(5)的方法來(lái)求軌跡．?dāng)?shù)值計(jì)算給出，當(dāng)磁場(chǎng)相對(duì)強(qiáng)度k取適當(dāng)值時(shí)，周期轉(zhuǎn)動(dòng)角是2π的有理數(shù)倍，電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡封閉且有對(duì)稱性．磁場(chǎng)正方向時(shí)，對(duì)稱封閉軌跡如圖1所示.

圖1 磁場(chǎng)正方向時(shí)正電荷的對(duì)稱封閉軌跡

磁場(chǎng)反方向時(shí)，對(duì)稱封閉軌跡如圖2所示.

圖2 磁場(chǎng)反方向時(shí)正電荷的對(duì)稱封閉軌跡

2 第二種模型對(duì)應(yīng)的電荷運(yùn)動(dòng)軌跡

設(shè)起始時(shí)候正電荷在坐標(biāo)(1,0)處，負(fù)電荷在(-1,0)處，兩個(gè)電荷起始速度都為零．設(shè)正電荷的坐標(biāo)是(x1,y1)，負(fù)電荷的坐標(biāo)是(x2,y2)．由對(duì)稱性可知

x1(t)=-x2(t)=x(t)

y1(t)=y2(t)=y(t)

那么兩個(gè)電荷的量綱歸一化后的4個(gè)運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為以下兩個(gè)方程

(9)

(10)

(11)

那么右邊正電荷在(xmin,1)區(qū)間做周期運(yùn)動(dòng)．

當(dāng)磁場(chǎng)相對(duì)強(qiáng)度k分別等于0.6,0.9,1.2時(shí)，兩個(gè)電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示.

圖3 小于臨界值時(shí)不同相對(duì)強(qiáng)度磁場(chǎng)下的異號(hào)雙電荷軌跡

圖4 大于臨界值時(shí)不同相對(duì)強(qiáng)度磁場(chǎng)下 異號(hào)雙電荷周期運(yùn)動(dòng)軌跡

3 第三種模型對(duì)應(yīng)的電荷運(yùn)動(dòng)軌跡

設(shè)起始時(shí)候一個(gè)正電荷在坐標(biāo)(1,0)處，另一個(gè)正電荷在(-1,0)處．采用極坐標(biāo)，由對(duì)稱性，兩個(gè)電荷的坐標(biāo)分別是(ρ,θ)和(ρ,θ+π)．仿照第一種情況的推導(dǎo)，得到量綱歸一化后的運(yùn)動(dòng)方程

(12)

(13)

由對(duì)稱性，磁場(chǎng)正方向和反方向的軌跡一樣，只是運(yùn)動(dòng)方向相反，所以我們只考慮正方向的磁場(chǎng)．?dāng)?shù)值求解式(12)和式(13)，當(dāng)磁場(chǎng)相對(duì)強(qiáng)度k取適當(dāng)值時(shí)，周期轉(zhuǎn)動(dòng)角是2π的有理數(shù)倍，電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)封閉且有對(duì)稱性，如圖5所示.

圖5 不同相對(duì)強(qiáng)度磁場(chǎng)下同號(hào)雙電荷周期運(yùn)動(dòng)軌跡

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)數(shù)值求解雙電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程，發(fā)現(xiàn)繞固定電荷運(yùn)動(dòng)的電荷軌跡具有周期性，磁場(chǎng)相對(duì)強(qiáng)度取適當(dāng)值時(shí)，軌跡具有封閉對(duì)稱性；自由異號(hào)雙電荷存在一個(gè)臨界磁場(chǎng)，小于這個(gè)臨界值，它們會(huì)相遇；大于這個(gè)臨界值，它們會(huì)做對(duì)稱的周期運(yùn)動(dòng)．自由同號(hào)雙電荷則做對(duì)稱的周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)磁場(chǎng)相對(duì)強(qiáng)度取適當(dāng)值時(shí)，軌跡具有封閉對(duì)稱性．以上3種軌跡，推廣了文獻(xiàn)中電荷運(yùn)動(dòng)軌跡，給物理中的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線寶庫(kù)增加了新成員．

1 汪靜誼．電子在相互垂直的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的討論.大學(xué)物理，1988，7(9)：43～45

2 佘守憲，唐瑩．重力場(chǎng)和正交均勻電磁場(chǎng)中的旋輪線(擺線).物理與工程，2001，11(6)：12～18

TheMotionTrajectoryofDoubleChargeintheUniformMagneticFields

YangJie

(SchoolofScience,HuZhouTeachersCollege,HuZhou,ZheJiang313000)

JiangFujin

(TheFirstHighSchoolofHuangpiDistrictinWuhan,Wuhan,Hubei430300)

QiuWeigang

(PhysicsVisualStudio,HuZhouTeachersCollege,HuZhou,ZheJiang313000)

The equations of motion of double-charge in the uniform magnetic field are given. The constants of motion and the characteristics of orbits are discussed. The closed symmetric orbits are drawn from the numerical solution.

double charge;uniform magnetic field;orbit

*高等學(xué)校力學(xué)課程教學(xué)研究項(xiàng)目，編號(hào)：JZW-15-LX-15；湖州師范學(xué)院教改項(xiàng)目，編號(hào)：JGB16022；浙江省高校物理教學(xué)研究項(xiàng)目，編號(hào)：w201709；國(guó)家自然科學(xué)基金，編號(hào)：11475062

楊潔 (1996- ),女，在讀本科生.

2017-02-02)

①《物理通報(bào)》湖州工作室、武漢工作室供稿.