陳日福

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化、結(jié)構(gòu)化的過程。根據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容以及學(xué)生已有的不同的知識(shí)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)模型的建立存在不同的形式。筆者在教學(xué)實(shí)踐過程中將建模教學(xué)的形式總結(jié)為“創(chuàng)?！薄敖枘！焙汀敖鑴?chuàng)結(jié)合”三種。本文以長(zhǎng)方體、圓柱和圓錐的體積計(jì)算為例闡述在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的一些具體做法。

1. 創(chuàng)模

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)模型的載體，數(shù)學(xué)教學(xué)過程可以說是數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建過程。從建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀點(diǎn)看，數(shù)學(xué)建模過程就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的意義建構(gòu)過程，教師一定要盡量創(chuàng)造條件讓學(xué)生親身體驗(yàn)這個(gè)過程，不能因?yàn)樨澐奖?、怕耗時(shí)或怕完成不了教學(xué)任務(wù)而由教師的講解代替了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的意義建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)既可以是學(xué)生個(gè)體自主的，也可以是小組合作的，甚至是班級(jí)互動(dòng)的；既可以課內(nèi)模擬的，也可以是課外實(shí)踐的。學(xué)生在深刻的體驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容規(guī)律，從而建立自己能理解的、會(huì)靈活應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型。下面以長(zhǎng)方體的體積計(jì)算教學(xué)來簡(jiǎn)要闡述數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建過程。

長(zhǎng)方體的體積計(jì)算是學(xué)生學(xué)習(xí)物體體積計(jì)算的起始，是最基礎(chǔ)也是最簡(jiǎn)單的體積計(jì)算模型，學(xué)生深刻建立長(zhǎng)方體的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型，是今后學(xué)習(xí)柱體、錐體、球體的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵。因此，教學(xué)時(shí)教師要通過合理的現(xiàn)實(shí)情境引起學(xué)生學(xué)習(xí)體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型的內(nèi)在需要，通過實(shí)物學(xué)具的具體操作、多媒體動(dòng)畫模擬演示等學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生探究長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高三者乘積的關(guān)系，形象生動(dòng)地建立長(zhǎng)方體的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高，或者長(zhǎng)方體的體積=底面積×高。同時(shí)從柱體體積計(jì)算的系統(tǒng)性角度考慮，引導(dǎo)學(xué)生得出長(zhǎng)方體更具代表性的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型：長(zhǎng)方體的體積=底面積×高，為學(xué)習(xí)圓柱的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型做好知識(shí)準(zhǔn)備。

2. 借模

“借?！笔枪P者在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究過程中相對(duì)于“創(chuàng)模”提出的，也就是在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，有些數(shù)學(xué)模型不需要學(xué)生進(jìn)行原始創(chuàng)建，可直接從學(xué)生已有認(rèn)知領(lǐng)域中的借用自己已經(jīng)熟悉的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)母拍钷D(zhuǎn)換即可建立新的數(shù)學(xué)模型，而這種新舊的數(shù)學(xué)模型之間沒有本質(zhì)的差別。比如圓柱的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型就可引用長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型：底面積×高，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行建模教學(xué)則效果更好。教學(xué)時(shí)，首先引導(dǎo)復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算方法都可以用底面積s乘以高h(yuǎn)來計(jì)算，也即V=sh。接著引導(dǎo)學(xué)生通過小組學(xué)習(xí)活動(dòng)，仿照?qǐng)A轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形來創(chuàng)建圓的面積計(jì)算數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn)把圓柱轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，從而建立了圓柱體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在“借模”過程中發(fā)現(xiàn)柱體體積計(jì)算方法的高度統(tǒng)一：體積=底面積×高。

這樣不僅可以提高課堂教學(xué)效率，避免學(xué)習(xí)活動(dòng)的重復(fù)，又可讓學(xué)生增強(qiáng)對(duì)同類數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，做到融會(huì)貫通。與長(zhǎng)方體的體積計(jì)算模型相比，圓柱體積計(jì)算模型的建立重在遷移和類推，而不是原始創(chuàng)建，這種數(shù)學(xué)模型的建立過程筆者稱之為“借?！薄?/p>

3. 借創(chuàng)結(jié)合

圓錐和長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等幾種幾何體不同，圓錐不是柱體而是錐體，但其共通之處都有底面積和高，在其體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型也存在共同點(diǎn)。因此，圓錐體積計(jì)算的數(shù)學(xué)模型的建立可以通過“借創(chuàng)結(jié)合”的方式完成。即是先借用柱體體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型“底面積×高”計(jì)算與圓錐等底等高的圓柱體積，再通過等底等高的圓錐與圓柱的體積關(guān)系求出圓錐的體積。其建模過程如下：

第一，小組討論，探索得出“圓錐的體積和長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等柱體的體積都是由底面積和高來決定”的結(jié)論，為“借?！贝蚝弥R(shí)基礎(chǔ)。

第二，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，在分析長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等柱體的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型，猜測(cè)圓錐的體積計(jì)算數(shù)學(xué)模型（體積計(jì)算公式），使學(xué)生逐步清晰圓錐與底面積和高有關(guān)，但又不能直接用底面積和高相乘計(jì)算得出。再通過類比三角形面積計(jì)算數(shù)學(xué)模型的建立方式（三角形面積是它等底等高平行四邊形面積的一半），猜測(cè)圓錐的體積與它等底等高的圓柱體積的關(guān)系，提出圓錐體積可能的計(jì)算方法。

第三，在猜測(cè)的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過小組合作進(jìn)行操作體驗(yàn)，驗(yàn)證猜想：等底等高的圓錐與圓柱的體積關(guān)系，建立圓錐的體積計(jì)算模型。

上面的第一、第二點(diǎn)可以說建立圓錐的體積計(jì)算模型的“借模”部分，第三點(diǎn)則是在“借?！被A(chǔ)上的“創(chuàng)?！?。通過“借”“創(chuàng)”結(jié)合，完成圓錐了的體積計(jì)算模型的建立過程。